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Una serie de ecuaciones diferenciales y su resolución paso a paso, incluyendo la solución complementaria y particular, así como la utilización del método de Gauss-Jordán para encontrar el determinante de una matriz. El autor también incluye un inventario de conocimientos relacionados con el tema. El documento puede ser útil para estudiantes de matemáticas y ciencias que estén estudiando ecuaciones diferenciales.
Tipo: Ejercicios
1 / 23
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Inventario de conocimientos.
Jesus Ivan Marquez Moyron
INSTITUTO TECNOLOGICO DE LOS CABOS
Contenido
Ecuaciones Diferenciales ............................................................................................................... 1
Inventario de conocimientos. .............................................................................................. 1
𝑎) 𝑦′′′ + 2 𝑦′′ − 4 𝑦′ − 8 𝑦 = 𝑥𝑒
2 𝑥
...................................................................................... 4
𝑏)𝑥
2
𝑦′′ + 2 𝑥𝑦′ = 𝑥
− 1
........................................................................................................ 6
c) y’’’’+𝑦′′=𝑥
2
𝑑) 𝑥
3
𝑦′′′ + 𝑥
2
𝑦′′ − 6 𝑥𝑦′ + 6 𝑥 = 30 𝑥 ............................................................................. 17
′′′
′′
′
2 𝑥
3
2
Factorizamos.
2
1
2
3
Por lo tanto, nuestra solución complementaria.
𝑐
1
2 𝑥
2
− 2 𝑥
3
− 2 𝑥
𝑝
2 𝑥
Dado el caso de que nuestra solución particular se
parece a nuestra solución complementaria, por lo
tanto, tenemos que arreglarla.
𝑝
2 𝑥
𝑝
2
2 𝑥
2 𝑥
Y empezamos a derivar la solución particular.
′
𝑝
2 𝑥
′
𝑝
2 𝑥
2
′
𝑝
2 𝑥
2
Cambiamos en la ecuación original.
Multiplicamos y Simplificamos.
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
Armamos el sistema de ecuaciones. Sabiendo que se
puede igualar 32 𝐴𝑥𝑒
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
2 𝑥
𝑒
2 𝑥
( 2 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐴) + 2 𝐵𝑥 + 𝐵) + 2 [𝑒
2 𝑥
( 4 𝐴𝑥
2
2 𝑥
( 2 𝑥(𝐴𝑥 + 𝐴) + 2 𝐵𝑥 + 𝐵)] − 8 [𝐴𝑥
2
𝑒
2 𝑥
2 𝑥
]
Igualamos en la ecuación particular.
𝑝
2
2 𝑥
2 𝑥
𝑝
2
2 𝑥
2 𝑥
𝑐
𝑝
1
2 𝑥
2
− 2 𝑥
3
− 2 𝑥
2
2 𝑥
2 𝑥
Y multiplicamos las funciones en la ecuación
particular, Por lo que nos quedaría una solución
general de la siguiente manera.
𝑐
𝑝
1
2
′
1
4
2
′
1
2
′
1
2
1
′
2
3
2
′
2
′
2
2
c) y’’’’+𝑦′′=𝑥
2
4
2
2
2
2
2
1
2
3
4
Por lo tanto, ensamblamos nuestra ecuación general,
conjugando las raíces que se repiten.
𝑐
1
2
3
cos
4
Ahora desarrollamos nuestra ecuación particular.
𝑝
1
2
3
cos(𝑥) + 𝑢
4
𝑝
2
3
= cos
4
sen
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
− cos
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)
Podemos encontrar el determinante de la matriz 4x4 por
gauss Jordán donde el punto principal es triangular
la matriz es decir que los números o variables debajo
de la diagonal principal quede igualada a cero. (voy
a denotar a los renglones por 𝑅
𝑛
1
0 𝑥 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
cos
0 − cos(𝑥) −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
− cos
De igual manera podemos conseguir el determinante
triangulando y multiplicando la diagonal principal.
Cambiamos el renglón 1 con el renglón 4. (método de
Gauss Jordán)
1
2
1 −𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
0 − cos
𝑥 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) )
1
2
0 sen
−cos
1 −𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)
0 − cos
𝑥 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2
4
(
−𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)
− cos(𝑥)
) 𝑅
3
4
1
Multiplicamos la diagonal principal, sin embargo, como
cambiamos renglones, aplicamos propiedades de las
matrices donde nos dice que si cambiamos “n” renglones
que sea impar este cambia su signo a negativo, por lo
tanto, necesitamos multiplicar por (-1).
Simplificamos.
2
2
(𝑥) + cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠
2
(𝑥) − cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥))
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
Continuamos buscando los demás wroskyanos.
1
2
2
(𝑥) + cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
Cambiamos renglones.
𝑊
3
2
( − 1
) (−𝑠𝑒𝑛
( 𝑥
) )
𝑊
3
2
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
) 𝑅
3
4
𝑊
4
=
( − cos
( 𝑥
))( 𝑥
2
)
Y reconocemos 𝑈′
1
2
3
4
; y empezamos a integrar.
′
1
3
2
′
1
3
2
1
4
3
′
2
2
′
2
2
2
3
2
′
3
2
′
3
2
Hacemos uso de la integración por partes.
2
𝑣 = − cos
3
2
− cos
− cos
3
2
cos
− cos
Ordenamos.
Factorizamos.
𝑝
4
4
3
3
2
Factorizamos por M.C.M & M.C.D
𝑝
4
3
2
𝑐
𝑝
1
2
3
cos
4
4
3
2
𝑝
4
3
4
3
2
2
2
2
cos
cos
2
2
2
2
− cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 𝑝
= −
𝑥
4
4
𝑥
4
3
−
𝑥
3
3
𝑥
3
2
− 𝑥
2
𝑐𝑜𝑠
2
( 𝑥
) − 𝑥
2
𝑠𝑒𝑛
2
( 𝑥
) − 𝑥𝑐𝑜𝑠
2
( 𝑥
) − 𝑥𝑠𝑒𝑛
2
( 𝑥
)
2
( 𝑥
)
2
( 𝑥
)
3
′′′
2
′′
′
3
′′′
2
′′
′
𝑚
′
𝑚− 1
′′
𝑚− 2
′′′
𝑚− 3
3
𝑚− 3
2
𝑚− 2
𝑚− 1
Multiplicamos y factorizamos.
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
3
2
2
𝑚
2
𝑚
𝑚
3
2
2
2
𝑚
3
2
𝑚
3
2
2
Saco las raíces utilizando la formula general,
quedándome las raíces como:
1
2
3
𝑐
1
2
1 +√ 6
3
1 −√ 6
𝑝
1
2
1 + √
6
3
1 − √
6
1
2
1 + √
6
3
1 − √
6
2
1
1 + √
6
1 − √
6
√
6
− √
6
2
√
6 − 1
− √
6 − 1
Factorizamos.
1
1
1
1
1
1 + √
6
1 − √
6
√
6
− √
6
2
√ 6 − 1
−√ 6 − 1
1 + √
6
√
6
2
√ 6 − 1
1
1 +√ 6
−√ 6
2
2
√ 6
1 −√ 6
′
1
′
1
′
1
′
1
1
2
1 − √
6
− √
6
2
− √
6 − 1
2
1 −√ 6
−√ 6
2
−√ 6 − 1
2
2
2
− √
6
2
2
√ 6
2
√
6 + 2
