SOLUCIONARIO CAPITULO 3
POR: EDGAR PIRELA
INGENIERO MECÁNICO
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca documentos en el Store
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ranking de las universidades
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Ejercicios de Estática, Ejercicios de Física
Ejercicios de Estatica resueltos
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 38
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
En oferta
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Ejercicios de Estática y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
Solución :
P = N − = N ←
x 16 cos( 28 º 20 º) 15. 84 P = Nsen − = N ↓ y
M 15. 84 Nx ( 0. 17 msen 20 º) 2. 23 Nx ( 0. 17 m cos 20 º) B
Momento : M = P. d
M Nm B
Solución :
P N N
ABC = 16 cos 28 º= 14. 13 P Nsen N ABC
⊥
Momento :
M Nx m Nx m B
M Nm B
M = P. d
Solución :
M N x m Nsen x m D = 300 cos 25 º 0. 2 − 300 25 º 0. 1 M Nm D
M = P. d
2 2
0. 2 0. 2
- 7
= = Nm d M P
B B
P N
B
α = arctg α= 45 º
Solución :
M N x m Nsen x m D = 300 cos 25 º 0. 2 − 300 25 º 0. 1 M Nm D
M = P. d
a ) m Nm d M P
y C Cx
0. 125
- 7 = = P = N →
Cx
α= arctg
b )
c ) CD m
2 2
= 0. 2 + 0. 125
CD = 0. 236 m m Nm d M P
CD C C
min
= =
P N
C
min
α= 32 º
luegohallamoselangulocomplementario :
β = 90 º− α β= 90 º − 32 º β= 58 º Solución :
P = lb = lb → x 8 cos 25 º 7. 25 P = lbsen = lb ↓ y
Momento : M = P. d
M lbx in lbx in B
M lb in B
Solución :
in lbin d M P
AB B A 2 2
8 22
= = P lb
A
= 8. 97
8 22 α = arctg α= 70 º luegohallamoselangulocomplementario : β = 90 º− α β = 90 º − 70 º
β= 20 º
Solución :
AB B A
d
M P = P 11 lb cos α
Ax
P lbsen α
Ay
M P cos x 22 Psen x 8 B
− =− α − α
− 250 lb. in =− 11 cos α x 22 − 11 sen α x 8 − 250 lb. in =− 242 cos α − 88 sen α 250 lb. in − 242 cos α = 88 sen α
- 84 lb. in − 2. 75 cos α = sen α
2 2
( 2. 84 lb. in − 2. 75 cosα ) =( sen α)
α α α
2 2 2 2
- 07 lb. in − 15. 62 cos + 7. 5625 cos = 1 −cos
- 5625 cos 15. 62 cos 7. 07. 0 2 2 2
α− α+ lbin =
resolviendolaecuacióncuadratica :
cos 0. 83297 1
cos 0. 99126 2
arccos 0. 83297 1
1
arccos 0. 99126 2
2
Solución :
α = arctg α= 47. 9 º
M = F x cos α x ( 90 + 72 )+ F xsen α( 120 − 65 ) C BO BO M = 485 x cos 47. 9 º x ( 90 + 72 )+ 485 xsen 47. 9 º( 120 − 65 ) C M N mm C = 72450. M Nm C
Solución :
i k ˆ ˆ j ˆ
B B i Bsen j
= cosβ + β C C i Csen j
= cosα + α B B i Bsen j
′= ′cosβ − ′ β
) ( cos
BxC =( B cosβ i + Bsen β j × C α i + Csen α j B xC BCsen k BCsen k
cos
= α cosβ − β α B xC BCsen k
= (α − β)
) ( cos
BxC ( B cosβ i Bsen β j × C α i + Csen α j
B xC BCsen k BCsen k
cos
′ = ′ α cosβ + ′ β α B xC BCsen k
′ = ′ (α + β) sen ( α ± β)= sen αcos β± sen βcos α recordandolaidentidadtrigonometrica : entonces : luegosumamoslosresultados : B ′ Csen ( α + β)= B ′ Csen αcos β+ B ′ Csen βcos α BC sen (α −β)= BCsen αcosβ− BCsen βcos α BC sen ( α + β)+ BCsen ( α− β)= 2 BCsen αcos β α β α β α β cos
BCsen BC sen BCsen
luegosimplificandonosqueda : cos ( ) ( ) 2 1 2 1 sen α β= sen α+β + sen α− β
Solución :
( ) ( )
0 0
y − y = mx − x
G
A
B y x ( 1 ) 21 20 ( y + 4 )= x +
2 1 2 1
x x
y y m − − = 21 20 20 1 16 4 =
m = 21 y + 84 = 20 x + 20 20 x − 21 y − 64 = 0
2 2
A B
Ax By C d
=
2 2
20 21
20 ( 0 ) 21 ( 0 ) 64
- − d = d = 2. 21 m Solución :
O OA A
M = r xF
a )
)
ˆ 3 ˆ 5 ˆ ) ( 4 ˆ 4 ˆ 3 ˆ M ( 2 i j k x i j k
O
= − + + −
) ˆ 22 ˆ 22 ˆ M ( 11 i j k
O
= − + +
i k ˆ ˆ j ˆ
b )
)
ˆ 3 ˆ 5 ˆ ) ( 4 ˆ
- 5 ˆ
- 5 ˆ M ( 2 i j k x i j k
O
= + − + −
) ˆ 0 ˆ 0 ˆ M ( 0 i j k
O
c )
)
ˆ 3 ˆ 5 ˆ ) ( 4 ˆ 6 ˆ 5 ˆ M ( 2 i j k x i j k
O
= + + + −
) ˆ 10 ˆ 30 ˆ M ( 45 i j k
O
=− + −
Solución :
O OA A
M = r xF
a )
)
ˆ 5 ˆ 3 ˆ ) ( 2 ˆ ˆ ˆ M ( i j k x i j k
O
= + + − + +
) ˆ 5 ˆ 7 ˆ M ( 2 i j k
O
= − +
i k ˆ ˆ j ˆ
b )
)
ˆ 5 ˆ 3 ˆ ) ( 2 ˆ 5 ˆ 3 ˆ M ( 2 i j k x i j k
O
= + − − + +
) ˆ 12 ˆ 0 ˆ M ( 30 i j k
O
c )
)
ˆ 5 ˆ 3 ˆ ) ( 2 ˆ 10 ˆ 6 ˆ M ( 4 i j k x i j k
O
= − + + − + +
) ˆ 0 ˆ 0 ˆ M ( 0 i j k
O
= + +
Solución :
A AC C M = r xF r i j k m AC
cos 60
cos 30
F 200 N ( 0 i j k C
F i j k N C
M ( 0. 06 i j k x i j k A
M i j k N m A
Solución :
i j k
F N
AB
i j k
F N
BC
F i j k N AB
F i j k N BC
AB BC
R = F + F
R i j kN i j k ) N
R i j k ) N
M r x R O OB
M jmx i j k N O
= ( 7 − + M i j kNm O
Solución :
BC
BC F F
BC BC
i j k F kN BC
A AB BC
M = r xF
F i j k kN BC
M i j k mx i j k kN
A
)
ˆ
- 32 ˆ
- 79 ˆ ) ( 1. 97 ˆ 0 ˆ 0 ˆ =( 6 + + − + − M i j kkN m
A
).
ˆ
- 7 ˆ
- 9 ˆ =( 0 + + Solución :
AB
AB F F
AB AB
i j k F lb AB
F i j k lb AB
C AC AB
M = r xF
M i j kinx i j k lb
C
)
ˆ 18 ˆ 54 ˆ ) ( 3 ˆ 36 ˆ 6 ˆ =( 48 − + − + − M i j klb in
C
).
ˆ 2574 ˆ 756 ˆ =( − 1836 + + M i j klb ft
C
).
ˆ 215 ˆ 63 ˆ =( − 153 + + Solución :
DE
DE F F
DE DE
i j k
F N
DE
F i j k N DE ) ˆ 540 ˆ 594 ˆ =( 108 + − CG CG F F CG CG =
- 5 ) ˆ 3 ˆ
- 3 ˆ ( 0. 6 810 i j k F N CG − + − = F i j k N CG
A AD DE M = r xF
M i j kmx i j k N
A
)
ˆ 540 ˆ 594 ˆ ) ( 108 ˆ 3 ˆ 1 ˆ =( − 0. 6 − + + − M i j kN m
A
A AC CG M = r xF
M i j kmx i j k N
A
)
ˆ 540 ˆ 594 ˆ ) ( 108 ˆ 3 ˆ 1 ˆ =( 3. 3 − + − + − M i j kN m
A
).
ˆ
- 2 ˆ 1458 ˆ =( − 1242 + + Solución :
AD
AD F F
AD AD
i j k F lb AD
F i j k lb AD
)
ˆ 24 ˆ 62 ˆ =( 48 − − AB AB F F
AB AB = F i j klb AB
A AD AB
R = F + F
R i j klb i j k lb A
R i j k lb A
C AC A
M = r xR
M i j k ftx i j klb
C
)
ˆ 24 ˆ 226 ˆ ) ( 48 ˆ 3 ˆ
- 75 ˆ =( 0 + + − − M i j klb ft
C
Solución :
O OB AB M = r xF M jmx i j k N O
M i j kN m O
).
ˆ 315 ˆ 0 ˆ =( − 2520 + − AB AB F F
AB AB
i j k
F N
AB
F i j k N AB
M N m O
2 2 2 = + + M M M M N m O Ox Oy Oz
2 2 2 = + + M N m O
luego :
M F d O AB
AB O
F
M
d =
N
Nm d
= d = 4. 58 m
Solución :
BC
BC F F
BC BC
i j k
F N
BC
F i j k N BC
O OB BC M = r xF M jmx i j k N O
M i j kN m O
M M M M N m O Ox Oy Oz
2 2 2 = + + M N m O
2 2 2 = + + M Nm O
luego :
M F d O BC
BC O
F
M
d =
N
Nm d
d = 3. 70 m
Solución :
P. Q =( 3 i − j + k i + j − k
P. Q = 3 x 4 − 1 x 5 − 2 x 3
P. Q = 1
P. S =( 3 i − j + k − i + j − k
P. Q = − 3 x 2 − 1 x 3 − 2 x 1 P. S =− 11
Q. S =( 4 i + j − k − i + j − k
P. Q = − 4 x 2 + 5 x 3 + 3 x 1
Q. S = 10
Solución :
i
k ˆ
j
B B i Bsen j
= cosβ + β
C C i Csen j
= cosα + α
B B i Bsen j
′= ′cosβ − ′ β
).( cos
B. C =( B cosβ i + Bsen β j C α i + Csen α j
B C BC BCsen sen k
. = cosα cosβ+ β α
BxC = BC cos(α − β )
).( cos
B ′. C =( B ′cosβ i − B ′ sen β j C α i + Csen α j
B ′. C = B ′ C cosα cosβ− B ′ Csen β sen α
B ′. C = B ′ C cos(α + β )
cos( α ± β)=cos αcos β sen β sen α
recordandolaidentidadtrigonometrica :
entonces :
luegosumamoslosresultados :
B C α β BC α β BCsen β sen α
cos( ) cos cos
BC cos(α − β)= BC cosαcosβ+ BCsen β sen α
BC cos( α + β)+ BC cos( α− β)= 2 BC cos αcos β
α β
α β α β
cos cos
cos( ) cos( )
BC
BC BC
luegosimplificandonosqueda :
cos cos cos( ) cos( ) 2
1
2
1 α β= α+β + α− β
Solución :
cos 37
AB = AB .( 0 i + sen ° j − ° k
cos 40. 55
CD = CD .( −cos 40 °.cos 55 ° i + sen ° j − ° sen ° k
)
ˆ cos 40. 55
ˆ 40
ˆ ). .( cos 40 .cos 55
ˆ cos 37
ˆ 37
ˆ AB. CD = AB .( 0 i + sen ° j − ° k CD − ° ° i + sen ° j − ° sen ° k
x x y y z z
AB. CD cos θ= ABCD + ABCD + ABCD
AB CD
AB CD ABCD ABCD
x x y y z z
cos
θ=
AB CD
ABCDsen sen ABCD sen
.
. .( 37. 40 ). .(cos 37 .cos 40. 55 )
cos
° °+ ° ° °
θ =
[ ]
AB CD
AB CD
.
. .( 0. 387 ) ( 0. 501 )
cos
θ =
cos θ= 0. 888 θ=arccos 0. 888
θ= 27. 4 °
Solución :
cos 37
AB = AB .( 0 i + sen ° j − ° k
cos 32 .cos 45
EF = EF .(cos 32 °.cos 45 ° i + sen ° j − ° ° k
x x y y z z
AB. EF cos θ= ABEF + ABEF + ABEF
AB EF
AB EF ABEF ABEF
x x y y z z
cos
θ=
)
ˆ cos 32 .cos 45 ˆ 32 ˆ ). .(cos 32 .cos 45
ˆ cos 37 ˆ 37 ˆ AB. EF = AB .( 0 i + sen ° j − ° k EF ° ° i + sen ° j − ° ° k
AB EF
ABEFsen sen AB EF
.
. .( 37. 32 ). .(cos 37 .cos 32 .cos 45 )
cos
° °+ ° ° °
θ =
[ ]
AB EF
AB EF
.
. .( 0. 319 ) ( 0. 479 )
cos
θ =
cos θ= 0. 798 θ=arccos 0. 798
θ= 37. 1 °
Solución :
AB i j k ) ft
AC i j k ) ft
x x y y z z
AB. AC cos θ= ABAC + ABAC + ABAC
AB AC
AB AC ABAC ABAC
x x y y z z
cos
θ=
cos
θ =
AB ft
2 2 2 = 6. 5 + 8 + 2 AB = 10. 5 ft
AC ft
2 2 2 = 0 + 8 + 6 AC = 10 ft
cos θ= 0. 724 θ=arccos 0. 724
θ= 43. 6 °
Solución :
AD i j k ) ft
AD ft
2 2 2
= 4 + 8 + 1 AD = 9 ft
x x y y z z
AC. AD cos θ= ACAD + ACAD + ACAD
AC AD
AC AD ACAD ACAD
x x y y z z
cos
θ=
AC i j k ) ft
AC ft
2 2 2
= 0 + 8 + 6 AC = 10 ft
cos
θ =
cos θ= 0. 777 θ=arccos 0. 777
θ= 38. 9 °
Solución :
AC AB ACx ABx ACy ABy ACz ABz
F. F cos θ= F F + F F + F F
AC AB
ACxABx ACyABy ACzABz
F F
F F F F F F
.
cos
θ = ( 1260 ).( 2025 )
( 1080 ).( 1620 ) ( 360 ).( 1215 ) ( 540 ).( 0 )
cos
− − + − +
θ =
θ =arccos 0. 514 θ= 59. 0 °
AC
AC
F F
AC AC
i j k
F N
AC
x
F
AD
AD
F F
AD AD
( 2. 4 i j k
F F
AD AD
F F i F j F k N AC AC AC AC
F F i F j F k N AD AD AD AD
AB
AB
F F
AB AB
( 2. 4 i j k
F F
AB AB
F F i F j F k N AB AB AB AB
− 1080 − 0. 666 + 0. 8 = 0 ( 1 ) AD AB
N F F
y
F 360 N + 0. 333 F + 0. 6 F − P = 0 ( 2 ) AD AB
z
F
540 − 0. 666 + 0 = 0 ( 3 ) AD AB
N F F
luegoresolvemoselsistemadeecuaciones 1 , 2 y 3 :
− −
− −
−
666 0 0 540
333 0. 6 1 360
666 0. 8 0 1080 F N AD
= 810. 8
F N AB
= 2025
P = 1845 N
cos θ = 0. 514
a )
b ) cos θ F AB AC P F AC
= P = 1260 N cos 59 ° FAB AC
P N FAB AC
= 648
Solución :
AC
AC
F F
AC AC
( 2. 4 i j k
F F AC AC
AD
AD
F F
AD AD
i j k
F N
AD
F i j k N AC
F i j k N AD
AB
AB
F F
AB AB
( 2. 4 i j k
F F
AB AB
F F i F j F k N AB AB AB AB
x
F 0. 857 F 0. 8 F 270 N ( 1 ) AC AB − + =
y
F 0. 286 F 0. 6 F P 135 N ( 2 ) AC AB
- − =−
z
F 0. 429 F 0 F 270 N ( 3 ) AC AB
- =
luegoresolvemoselsistemadeecuaciones 1 , 2 y 3 :
− −
−
429 0 0 270
286 0. 6 1 135
857 0. 8 0 270 F N AC = 629. 37
F N AB = 1011. 7
P = 922 N
AD AB ADxABx ADy ABy ADz ABz
F. F cos θ= F F + F F + F F
AD AB
ADxABx ADyABy ADzABz
F F
F F F F F F
.
cos
θ = ( 405 ).( 1011. 7 )
( 270 ).( 809. 36 ) ( 135 ).( 607 ) ( 270 ).( 0 )
cos
− − + − −
θ =
a )
cos θ = 0. 333 θ =arccos 0. 333 θ= 70. 5 °
Solución :
( 12 i j k
OP
λ =
i j k
OP in
OP i j k ) in
CP i j k in
CP i j k ) in
a ) x x y y z z
OP. CP cos θ= OPCP + OPCP + OPCP
( 5 i j k
CP
( 0. 666 i j k OP
( 0. 27 i j k
CP
CP
CP
OP
OP
cos θ =. OP CP
cos θ = λ. λ
)
ˆ
- 76
ˆ
- 59
ˆ ).( 0. 27
ˆ
- 333
ˆ
- 666
ˆ
cos θ=( 0. 666 i + j − k i + j + k
cos θ = 0. 3244 θ=arccos 0. 3244
b )
cos θ
OA CP
P = F P 3 lb cos 71. 1 º OA
= P lb OA
= 0. 973
Solución :
18
)
ˆ 6
ˆ 12
ˆ ( 12 i j k
OA
- −
λ =
)
ˆ
- 333
ˆ
- 666
ˆ ( 0. 666 i j k OA
λ = + −
OC
OC
OA
OA
cos θ=.
cos θ=( 0. 666 i + j − k i + j + k
OA
OA
OA
λ =
- 21
)
ˆ 12
ˆ 15
ˆ ( 9 i j k
OC
λ =
OC
OC
OC
λ =
)
ˆ
- 566
ˆ
- 707
ˆ ( 0. 424 i j k OC
λ = + +
x x y y z z
OA. OC cos θ= OAOC + OAOC + OAOC
OA OC
OA OC OAOC OAOC x x y y z z
.
cos
θ =
OA OC
cos θ = λ. λ
cos θ = 0. 566
θ =arccos 0. 566 θ= 55. 55 º
OP = OC cos θ
OP = 21. 21 cos 55. 55 º OP = 12 in
Solución :
AD
AD
F F
AD AD
2 2 2
- 75 3
x
xi j k
F F
AD AD
2 2 2
6 7. 75 3
AD
ADx
F
F
z ADx
M = F
AD
ADx
F
F =
ADx AD
F = 0. 585 F
AD
279 lb. ft = 7. 75 x 0. 585. F
x
lbft
F
AD
F lb AD
Solución :
z ADx
M = F
AD
AD
F F
AD AD
2 2 2
- 75 3
x
xi j k
F lb AD
2 2 2
- 75 3
x
x lb
F
ADx
2 2 2
- 75 3
x
x lb
lbft
x 7. 75 3 1. 667 x
2 2 2
- =
2 2 22 2
( x + 7. 75 + 3 ) =( 1. 667 x )
2 2
x + 69. 0625 = 2. 778 x
2 2
x = ft
2 2
x = ft
x = 6. 23 ft
Solución :
in
in
Fsen x
in
in
M F x z
=− cosθ cosφ + θ
− 43 lb. ft =− 58. 15 lb. ft .cos φ+ 9. 861 lb. ft
cos φ = 0. 909 φ= 24. 6 º
lb ft
lbft
cos φ=
luego :
in
in
M Fsen xd F sen x x
=− θ + cosθ. φ
in
in
lb ft lbsen xd lb sen
− 61. =− 70. 25 º + 70 .cos 25 º. 24. 6 º
in
in
sen x
in
in
M x z
=− 70. cos 25 ºcos φ +
− 61 lb. ft =− 29. 58 xd + 24. 24 lb. ft
lb
lbft
d
d = 2. 88 ft d = 34. 6 in
Solución :
M F in F in
x z y
x lbin F in F in
z y
924 lb. in 11 Fin 27 Fin ( 1 ) z y
M F in F in
z y x
x lbin Fin F in
y x
972 lb. in 4 Fin 11 Fin ( 2 ) y x
M F in F in
y z x
M 4 Fin 27 Fin ( 3 ) y z x
y
z
F
F
y
x
F
F
y y
y
F F
M
y y y
M F F
M lb in
y
M lb ft
y
Solución :
BH
BH
F F
BH BH
2 2 2
- 375 0. 75 0. 75
i j k
F N
BH
F i j k N BH
AD AD AB BH
M = λ r xF
A AB BH
M = r xF
AD AD A
M = λ. M
M imx i j k N A
M i j kN m A
AD
AD
AD
2 2 2
1 0 0. 75
i j k
AD
( 1 i j k
AD
( 0. 8 i j k AD
λ = + −
M i j k i j kN m AD
M N m AD
Solución :
BG
BG F F
BG BG
2 2 2
- 5 0. 925 0. 4
i j k
F N
BG F i j k N BG
AD AD AB BG
M = λ r xF
A AB BG M = r xF AD AD A
M = λ. M
M i mx i j k N A
M i j kN m A
).
ˆ 185 ˆ 80 ˆ =( 0 + + AD AD
AD
2 2 2 1 0 0. 75
i j k AD
( 1 i j k AD
( 0. 8 i j k AD λ = + − M i j k i j kN m AD
M Nm AD
Solución :
AE
AE F F
AE AE
2 2 2
- 9 0. 6 0. 2
i j k
F N
AE F i j k N AE
DB DB DA AE M = λ r xF D DA AE M = r xF DB DB D M = λ. M M i j kmx i j k N D
M i j kN m D
).
ˆ
- 5 ˆ 9 ˆ =( 5 + + DB DB
DB λ = 2 2 2
- 2 0. 35 0
i j k DB λ
( 1. 2 i j k DB
λ =
( 0. 96 i j k DB λ = − + M i j k i j kN m DB
M Nm DB
= 2. 28.
Solución :
CF
CF F F
CF CF
2 2 2
- 6 0. 9 0. 2
i j k
F N
CF F i j k N CF
DB DB DC CF M = λ r xF D DC CF M = r xF DB DB D M = λ. M M i j kmx i j k N D
M i j kN m D
).
ˆ
- 6 ˆ
- 2 ˆ =( − 12 − − DB DB
DB λ = 2 2 2
- 2 0. 35 0
i j k DB λ
( 1. 2 i j k DB
λ =
( 0. 96 i j k DB λ = − + M i j k i j kN m DB
M Nm DB
=− 9. 5.
Solución :
BC
BC P = P ) ˆ 60 ˆ 0 ˆ
P = P (cos 60 ° i + j − sen ° k OA OA O M = λ. M M .( r xP ) OA OA OB = λ M r x P O OB
) (cos 60
M a (cos 60 i j sen kxP i j sen k O
M aP sen j aPsen j O
.. 60 cos 60
=. cos 60 ° 60 ° + ° °
i
k ˆ ˆ j ˆ
M aP sen j O
= 2. cos 60 ° 60 °
OA
OA
OA λ =
2 2 2
a a a i aj ak a OA
a i aj a k a OA
( i j k OA
M = i + j + k aP j OA
M aP j O
M aP j O
M a. P. OA
a. P
M
OA
Solución :
i
k ˆ
j
BH
BH
F F
BH BH
2 2 2
- 375 0. 75 0. 75
i j k
F N
BH
F i j k N BH
AD AD AB BH
M = λ r xF
A AB BH
M = r xF
AD AD A
M = λ. M
M i j kN m A
AD
AD
AD
2 2 2
1 0 0. 75
i j k
AD
( 1 i j k
AD
( 0. 8 i j k AD
λ = + −
M i j k i j kN m AD
M Nm AD
M imx i j k N A
donde :
M F d AD BH
BH
AD
F
M
d =
N
Nm
d
= d = 0. 2 m
Solución :
BG
BG
F F
BG BG
2 2 2
- 5 0. 925 0. 4
i j k
F N
BG
F i j k N BG
AD AD AB BG
M = λ r xF
A AB BG
M = r xF
AD AD A
M = λ. M
M i mx i j k N A
M i j kN m A
AD
AD
AD
2 2 2
1 0 0. 75
i j k
AD
( 1 i j k
AD
( 0. 8 i j k AD
M i j k i j kN m AD
M Nm AD
i
k ˆ
j
donde :
M F d AD BG
BG
AD
F
M
d =
N
Nm
d
d = 0. 247 m
Solución :
i k ˆ
ˆ
j ˆ
AE
AE
F F
AE AE
2 2 2
- 9 0. 6 0. 2
i j k
F N
AE
F i j k N AE
DB DB DA AE
M = λ r xF
D DA AE
M = r xF
DB DB D
M = λ. M
M i j kmx i j k N D
M i j kN m D
DB
DB
DB
2 2 2
- 2 0. 35 0
i j k
DB
( 1. 2 i j k
DB
( 0. 96 i j k DB
M i j k i j kN m DB
M Nm DB
donde :
M F d DB AE
AE
DB
F
M
d =
N
Nm
d
d = 4. 15 cm
Solución :
CF
CF
F F
CF CF
2 2 2
- 6 0. 9 0. 2
i j k
F N
CF
F i j k N CF
DB DB DC CF
M = λ r xF
D DC CF
M = r xF
DB DB D
M = λ. M
M i j kmx i j k N D
M i j kN m D
DB
DB
DB
2 2 2
- 2 0. 35 0
i j k
DB
( 1. 2 i j k
DB
( 0. 96 i j k DB
M i j k i j kN m DB
= ( 0. 96 − + − − − M Nm DB
donde :
M F d DB CF
CF
DB
F
M
d =
N
Nm
d
d = 0. 288 m
Solución :
EF
EF
F F
EF EF
2 2 2
15 110 30
i j k
F lb EF
F i j k lb EF
AD
AD
AD
( 48 i j k
AD
( 0. 784 i j k AD
λ = − +
AE i j k ) in
A AE EF
M = r xF
M i j kinx i j k lb A
M i j klb in A
AD AD A
M = λ. M
M i j k i j klb in AD
= ( 0. 784 − + − − M lbin AD
donde :
M F d AD EF
EF
AD
F
M
d =
lb
lbin
d
d = 29. 5 in
Solución :
EG
EG
F F
EG EG
2 2 2
11 88 44
i j k
F lb EG
F i j k lb EG
AD
AD
AD
λ =
( 48 i j k
AD
λ =
( 0. 784 i j k AD
λ = − +
AE i j k ) in
A AE EG
M = r xF
M i j kinx i j k lb A
M i j klb in A
AD AD A
M = λ. M
M i j k i j klb in AD
).
ˆ 2304
ˆ 1026
ˆ ).( 1008
ˆ
- 588
ˆ
- 196
ˆ =( 0. 784 − + − + −
M lb in AD
donde :
M F d AD EG
EG
AD
F
M
d =
lb
lbin
d
d = 43. 47 in
Solución :
a )
A
M
60 N cos 20 º x 0. 52. sen 55 º− 60 Nsen 20 º x 0. 52 .cos 55 º
− 60 N cos 20 º x 0. 88 sen 55 º+ 60 Nsen 20 º x 0. 88 cos 55 º
M N m
A
b )
BC
d
sen α= d = BC. sen α
d = 0. 36. sen 35 º d = 0. 206 m
M Nx m
A
M Nm
A
c )
A
M
60 N x 0. 52 sen 35 º− 60 Nx 0. 88 sen 35 º M Nm
A
Solución :
a )
M = 21 lbx 16 in
M = 336 lb. in
b )
lbx in − lbxd
lb
lbx in
d
d ′= 28 in
c )
21 lb x 16 in − 12 lbxd ′=− 72 lb. in
d ′= 34 in
d
d
sen
in
in
sen
α =
sen α= 0. 8095
α= 54 º
α = arcsen 0. 8095
Solución :
BA BA F F
BA BA
=
- 36 ) ˆ 20 ˆ 10 ˆ ( 0 40 i j k F lb
BA
− +
= F i j k lb
BA
i k ˆ ˆ j ˆ
DE
DE F F
DE DE
=
- 18 ) ˆ 10 ˆ 5 ˆ ( 0 40 i j k F lb
DE
+ −
= F i j k lb
DE
)
ˆ
- 78 ˆ
- 89 ˆ =( 0 + − M 17. 89 x 20 17. 89 x 10
x
M ilbin
x
.
ˆ = 178. 9 M 35. 78 x 15
y
M jlbin
y
.
ˆ = 536. 7 M 17. 89 x 15 16 x 30
z
M klbin
z
.
ˆ =− 211. 65 M Mi M j M k
x y z
ˆ
ˆ ˆ = + + M i j k ) lb. in ˆ
- 65 ˆ
- 7 ˆ =( 178. 9 + −
2 2 2
M = 178. 9 + 536. 7 + 211. 65
M = 604 lb. in M M
x x
cos θ =
604
- 9 cos =
x
θ =arccos 0. 2088
x θ = 72. 8 º x
θ
M M
y y cos θ =
604
- 7 cos =
y θ
=arccos 0. 8886
y θ = 27. 3 º y θ
M M
z z cos θ =
604
- 65 cos − =
z θ =arccos − 0. 35 z θ = 110. 5 º z θ
Solución :
M 17. 89 x 20 17. 89 x 10
x
M ilb in
x
.
ˆ = 178. 9 M 35. 78 x 15 20 x 30
y
M jlb in
y
.
ˆ = 1136. 7 M 17. 89 x 15 16 x 30
z
M klb in
z
.
ˆ =− 211. 65 M Mi M j M k
x y z
ˆ ˆ ˆ
= + + M i j k ) lb. in ˆ
- 65 ˆ
- 7 ˆ =( 178. 9 + −
2 2 2
M = 178. 9 + 1136. 7 + 211. 65
M = 1170 lb. in M M
x x cos θ =
1170
- 9 cos =
x θ =arccos 0. 1529 x θ = 81. 2 º x θ
M M
y y cos θ =
1170
- 7 cos =
y θ
=arccos 0. 9715
y θ = 13. 7 º y θ
M M
z z cos θ =
1170
- 65 cos − =
z θ
=arccos − 0. 18
z θ = 100. 4 º z θ
i k ˆ ˆ j ˆ
Solución :
ED ED F F
ED ED
=
- 24 ) ˆ
- 17 ˆ
- 08 ˆ ( 0. 15 34 i j k F N
ED
− + +
= F i j k N
ED
)
ˆ
- 042 ˆ
- 314 ˆ =( − 21. 213 + + M 11. 314 x 0. 17 24. 042 x 0. 16 20 x 0. 17
x
i k ˆ ˆ j ˆ
FB
FB F F
FB FB
=
- 24 ) ˆ
- 17 ˆ
- 08 ˆ ( 0. 15 34 i j k F N
FB
− −
= F i j k N
FB
)
ˆ
- 042 ˆ
- 314 ˆ =( 21. 213 − − M iN m
x
.
ˆ =− 1. 477 M 18 x 0. 30 24. 042 x 0. 30 21. 213 x 0. 17
y
M jNm
y
.
ˆ = 9. 006 M 21. 213 x 0. 16 11. 314 x 0. 30 20 x 0. 30
z
M Nm
z
= 6.
M Mi M j M k
x y z
ˆ
ˆ ˆ = + + M i j k ) N. m ˆ 6 ˆ
- 006 ˆ =( − 1. 477 + +
2 2 2
M = 1. 477 + 9. 006 + 6
M = 10. 92 N. m M M
x x cos θ =
10. 92
- 477 cos − =
x θ
=arccos − 0. 135
x θ = 97. 8 º x θ
M M
y y cos θ =
10. 92
- 006 cos =
y θ
=arccos 0. 825
y θ = 34. 5 º y θ
M M
z z cos θ =
10. 92
6 cos =
z θ
=arccos 0. 549
z θ = 56. 7 º z θ
Solución : M i sen j k
A
ˆ
1600 cos 20 º ˆ 1600 20 º ˆ = 0 − + M i j kN m
A
).
ˆ
- 5 ˆ
- 2 ˆ =( 0 − + M i sen j k
B
ˆ
1200 cos 20 º ˆ 1200 20 º ˆ = 0 − − M i j k N m
B
).
ˆ
- 6 ˆ
- 4 ˆ =( 0 + + M iN m
C
A B C
M = M + M + M
M i j k Nm i j k Nm iN. m ˆ ). 1120 ˆ
- 6 ˆ
- 4 ˆ ). ( 0 ˆ
- 5 ˆ
- 2 ˆ =( 0 − + + + + − M i j k ) N. m ˆ
- 1 ˆ
- 8 ˆ =( − 1120 − +
2 2 2
M = 1120 + 136. 8 + 2631. 1
M = 2860 N. m M M
x x cos θ =
2860
1120 cos − =
x θ
=arccos − 0. 392
x θ = 113 º x θ
M M
y y cos θ =
2860
- 8 cos − =
y θ =arccos − 0. 0478 y θ = 92. 7 º y θ
M M
z z cos θ =
2860
- 1 cos =
z θ
=arccos 0. 92
z θ = 23. 1 º z θ
Solución :
T lbx i lbxsen j
= 560 cos 20 °− °
T i j ) lb
M = − 526. 2 x 18 xsen 30 °− 191. 5 x 18 x cos 30 °
A
M lbft
A
a )
b )
M = − 526. 2 x 10 xsen 30 °− 191. 5 x 10 x cos 30 °
A
M lbft
A
Solución :
P lbx i lbxsen j
= 160 cos 60 °+ °
P i j ) lb
M 80 x 2. 75 138. 6 x 4
C
a )
M lb ft
C
b )
o
M F x 6
O Dy
M 160 lbx cos 60 x 1. 5
D
= − ° M lbft
D
lb ft Fx ft
B
ft
lbft
F
B
= F = lb ↑
B
M 160 lbx cos 60 x 1. 5 160 lbxsen 60 x 6
O
= − ° + ° M lbft
O
ft
lbft
F
Dy
F = lb ↑
Dy
M 160 lbxsen 60 x 6 160 lbx cos 60 x 2. 75
B
M lbft
B
lb ft F x ft F x ft
Dy Dx
lb ft lbx ft F x ft
Dx
ft
lbft
F
Dx
= F = lb →
Dx
2 2
D Dx Dy
F = F + F F lb
D
2 2
= 80 + 118. 6 F lb
D
Dx
Dy
F
F
tg θ =
tg θ = θ= arctg 1. 4825
θ= 56 °
Solución :
M Nx m
B
M Nm
B
a )
M Nx m
C
M Nm
C
N m Fx m
D
m
Nm
F
D
= F = N ↑
D
M Nx m
D
M Nm
D
N m F x m
C
m
Nm
F
C
F = N ↓
C
Solución :
M F sen 60 x 6. 7
A BD
M Nsen x m
A
M Nm
A
= cos 60 °
BDx BD
F F
F = − F sen 60 °
BDy BD
F = 1040 N cos 60 °
BDx
F = − 1040 sen 60 °
BDy
F = N →
BDx
F = N ↓
BDy
M Fsen 60 x 6. 7 Fsen 60 x 4
B A C
0 5. 8 3. 46 ( 1 ) A C
= F − F
5. 8 3. 46 0 F N
A
F F 250 N ( 2 ) A B
F N
C
resolviendoelsistemadeecuaciones 1 y 2 :
Solución :
M = − P cos 60 ° x 0. 3 xsen 30 °− Psen 60 ° x 0. 3 x cos 30 ° B
M = − 250 cos 60 ° x 0. 3 xsen 30 °− 250 sen 60 ° x 0. 3 x cos 30 ° B
M N m B
a )
b )
M = − F cos 60 ° x 0. 5 xsen 30 °− Fsen 60 ° x 0. 5 x cos 30 °+ F cos 60 ° x 0. 3 xsen 30 °+ Fsen 60 ° x 0. 3 x cos 30 ° C A A B B
0 0. 5 0. 3 ( 1 ) A B
=− F + F
F = 0
F F 1040 N ( 2 ) A C
F = 0
resolviendoelsistemadeecuaciones 1 y 2 :
F N
A
F N
B
Solución :
F F 250 N ( 2 ) A B
M = − P cos 25 ° x 0. 3 xsen 25 °− Psen 25 ° x 0. 3 x cos 25 ° B
M = − 250 cos 25 ° x 0. 3 xsen 25 °− 250 sen 25 ° x 0. 3 x cos 25 ° B
M N m B
a )
b )
M = − F cos 25 ° x 0. 5 xsen 25 °− Fsen 25 ° x 0. 5 x cos 25 °+ F cos 25 ° x 0. 3 xsen 25 °+ Fsen 25 ° x 0. 3 x cos 25 ° C A A B B
( ) 0 0. 383 0. 23 1 A B
=− F + F
F = 0
resolviendoelsistemadeecuaciones 1 y 2 :
F N
A
F N
B
Solución :
setraslada lafuerza Phaciaelpunto G
M Px j
y
M Px k
z
P i N
G
M x jN m
y
M x kN m
z
M jNm kN m
G
Solución :
AB
AB
F F
AB AB
i j k
F N
AB
F i j k N
AB
se trasladalafuerza F haciaelpunto C AB
F i j k N
C
C CB AB
M = r xF
M i j kmx i j k N
C
M i j k N m
C
Solución :
AB
AB
F F
AB AB
i j k
F lb
AB
F i j k lb
AB
se traslada lafuerza F haciaelpunto O AB
F i j k lb
O
O OA AB
M = r xF
M i j k ftx i j k lb
O
M i j kklb ft
C
Solución :
AD
AD
F F
AD AD
i j k
F lb
AD
F i j k lb
AD
se traslada lafuerza F haciaelpunto O AD
F i j k lb
O
O OA AD
M = r xF
M i j k ftx i j k lb
O
M i j kklb ft
C
Solución :
F F j Fsen k
D D D
=− cos 35 º −
F N j Nsen k
D
=− 150 cos 35 º −
F i j k N
D
se trasladalafuerza F haciaelpunto A D
F i j k N
A
A AD D
M = r xF
M i j kmx i j k N
A
M i j kN m
C
Solución :
EH
EH
F F
1 1
- 11
)
ˆ
- 07
ˆ
- 06
ˆ ( 0. 06
77 1
i j k
F N
- −
=
F i j k ) N
1
se traslada lafuerzaFhaciaelpunto B 1
a )
EJ
EJ
M M 1 1
=
2 2 2
1
- 03 0. 07
)
ˆ
- 07
ˆ
- 03
ˆ (
− + −
=
d
di j k
M Nm
d m
di j kNm
M
- 0058
).
ˆ
- 17
ˆ
- 93
ˆ ( 31
2
2
1
− + −
=
1 1
M r xF
B BE
M i j kmx i j k N B
1
M i j kN m B
1
= + + z z Bz
M M M
2 1 1
N m
d m
N m
0058
0
2
2
−
= Nm
d m
N m
0058
2
2
=
d m
Nm
N m
0058
2
2
= +
- 155 m d 0. 0058 m
2 = +
2 2 2 ( 0. 155 m ) =( d + 0. 0058 m )
2 2 2
- 024 m = d + 0. 0058 m
2 2 d = 0. 0182 m
d = 0. 135 m
d = 135 mm
F i j k ) N
2
- 155
)
ˆ
- 17
ˆ
- 93
ˆ ( 0. 135
1
i j k
M Nm
− + −
= M i j k ) N. m
ˆ 14 ˆ 6 ˆ ( 27 1
=− + −
2 1 B 1
M = M + M M i j k ) N. m
ˆ 0 ˆ
- 2 ˆ ( 25. 9 2
Solución :
AJ AJ F = F 23 ) ˆ 3 ˆ 14 ˆ ( 18 46 i j k F lb − − = F i j k ) lb ˆ 6 ˆ 28 ˆ =( 36 − −
setraslada lafuerzaFhaciaelpunto H
F i j k lb
D
)
ˆ 6 ˆ 28 ˆ =( 36 − − M r x F
H HA
=
M i j kinx i j k lb
H
)
ˆ 6 ˆ 28 ˆ ) ( 36 ˆ 0 ˆ 14 ˆ =( 45 + + − − M i j klb in
H
).
ˆ 1764 ˆ 270 ˆ =( − 84 + − AC AC M = M 53 ) ˆ 28 ˆ 0 ˆ ( 45 2120 i j k M lb − + − =
M i j k ) lb. in ˆ 1120 ˆ 0 ˆ =( − 1800 + −
M M M H = + 2 M i j k ) lb. in ˆ 2884 ˆ 270 ˆ ( 1884 2 =− + − M i j k ) lb. ft ˆ
- 3 ˆ
- 5 ˆ ( 157 2 =− + −
Solución :
M M i j M sen k ˆ 25 ˆ 0 ˆ cos 25
2 2 2
=− ° + − °
M i j k ) lb. in ˆ
- 275 ˆ 0 ˆ ( 0. 589
2
=− + −
M lbinx i j lbinxsen k ˆ
- 25 ˆ 0 ˆ
- cos 25
2
=− °+ − °
M lbin k ˆ
1
=
P lb j ˆ =− 0. 6 M i j klb in
O
).
ˆ
- 405 ˆ 0 ˆ =( − 0. 589 + + M i j klbin i j klb in
O
1 2
M M M
O
= +
i j klbin di d j dk x i j k lb
x y z
)
ˆ 0 ˆ
- 6 ˆ ) ( 0 ˆ ˆ ˆ ). ( ˆ
- 405 ˆ 0 ˆ ( − 0. 589 + + = + + − + i j klbin di dklb in
z x
x z
M = 0. 6 d
z x
M =− 0. 6 d
- 6
x z
M
d = − 0. 6 =
x x
M
d lb lbin d
z
0. 6
− 0. 589.
lb lbin d
x
0. 6
−
d in
z
=− 0. 982
d in
x
=− 0. 675
M dx P
O
2 2 x z
d = d + d
x y z setrasladala fuerzaPhacialapunto d d d
a )
P = lbj ↓
eq
ˆ
- 6 b )
2 2
d = 0. 982 + 0. 675
d = 1. 19 in Solución : a ) M 1800 N. m ( 200 Nx 4 m )
A
= − M Nm
A
= 1000.
F N N
A
= − 400 − 200 F = N ↓
A
600
b ) M Nm
A
= − 900. M Nm
A
= 900.
F N
A
= − 600
F = N ↓
A
600
M Nm Nx m
A
= 4500. − 900 4 M Nm
A
= 900.
F N N
A
= 900 − 300
F = N ↓
A
600
c ) M Nm Nx m
A
= − 2300. + 800 4
M Nm
A
= 900.
F N N
A
= 800 − 400 F = N ↑
A
400
d )
M Nm Nm Nx m A
= 400. + 200. − 200 4 M Nm
A
= 200.
F N N
A
= − 400 − 200 F = N ↓
A
600
e )
M Nm Nm Nx m A
= 300. − 300. + 200 4 M Nm
A
= 800.
F N N
A
= 200 − 800
F = N ↓
A
600
f )
M Nm Nm Nx m A
= 4000. + 200. − 800 4 M Nm
A
= 1000.
F N N
A
= − 200 − 800
F = N ↓
A
1000
g ) A B 1000 N. m 600 N A B 900 N. m 600 N A B 900 N. m 600 N A B 900 N. m 400 N A B 200 N. m 600 N A B 800 N. m 600 N A B 1000 N. m 1000 N
M Nm Nm Nx m A = 2400. − 300 .− 300 4
M Nm
A
= 900.
F N N
A
= − 300 − 300
F = N ↓
A
600
h ) A B 900 N. m 600 N