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314 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
yhasta la forma final aunque haya elegido integrar término a término. Escriba todavía da todas las antiderivadas. Por esta razón, le recomendamos que vaya directo
Encuentre, para cada parte, la antiderivada más sencilla que pueda, y sume la constante deintegración arbitraria al final.
= x 33 - x^2 + 5 x + C.
Ls x^2 -^2 x^ +^5 d^ dx^ =^ L x^2 dx^ -^ L^2 x^ dx^ +^ L^5 dx
EJERCICIOS 4.
Determinación de antiderivadas
En los ejercicios 1 a 16, encuentre una antiderivada de cada función.Haga todo lo que pueda mentalmente. Verifique sus respuestas me- diante derivación.
1. a. 2 x **b. c.
- a.** 6 x **b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b.** 3 sen x **c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a. b. c.
- a.** csc x cot x **b. c.
- a.** sec x tan x b. 4 sec 3 x tan 3 x c. sec p 2 x tan p 2 x
- csc 5 x cot 5 x - p csc p 2 x cot p 2 x
csc^2 x - 32 csc^2 32 x 1 - 8 csc^2 2 x
sec^2 x^23 sec^2 x 3 - sec^2 32 x
p cos p x^ p 2 cos p 2 x cos p 2 x + p cos x
- p sen p x sen p x - 3 sen 3 x
(^12) x - 1 > (^2) - 12 x - 3 > (^2) - 32 x - 5 > 2
(^23) x - 1 > (^313) x - 2 > (^3) - 13 x - 4 > 3
(^43 23) x 3213 x 23 x + (^213) x
(^32 2) x 221 x 2 x + (^21) x
- (^) x^2321 x 3 x^3 - (^) x^13
x^12 x^522 -^ x^52
2 x -^3^ x 2 -^3 + x^2 - x -^3 + x - 1
- 3 x -^4 x -^4 x -^4 + 2 x + 3 x^7 x^7 - 6 x + 8 x^2 x^2 - 2 x + 1
Determinación de integrales indefinidas
En los ejercicios 17 a 54, encuentre la antiderivada más general o laintegral indefinida. Verifique sus respuestas mediante derivación.
**17. 18.
41.** (^) L^ csc^ u 2 cot u d u 42. (^) L^25 sec u tan u d u
L a-^ sec
(^2) x Ls^ -^3 csc^2 x d^ dx^3 b^ dx
L^7 sen^ L^3 cos^5 u^ d u u 3 d u
Ls^ -^2 cos^ t d^ dt Ls^ -^5 sen^ t d^ dt
L
4 + t 32 tdt L t 2 t (^) t + 2 2 tdt
L^2 x s^1 -^ x -^3 d^ dx L x -^3 s x^ +^1 d^ dx
L a (^17) - (^) y (^15) > 4 b dy L a^8 y^ -^ y^21 >^4 b^ dy
L a^ 22 x + 2
L A^2 x^ +^23 x B^ dx 2 x b^ dx
L x -^1 >^3 dx L x -^5 >^4 dx
L a^^ x^12 -^ x^2 -^13 b^ dx L a^15 -^^ x^23 +^2 x b^ dx
Ls^2 x^3 -^5 x^ +^7 d^ dx Ls^1 -^ x^2 -^3 x^5 d^ dx
L a t 22 + 4 t (^3) b dt L a^3 t^2 +^ 2 t b^ dt
L s x^ +^1 d^ dx Ls^5 -^6 x d^ dx
4.8 Antiderivadas 315
**43. 44.
- 50.** ( Sugerencia: ) 51. 52. ( Sugerencia: ) 53. 54.
Verificación de fórmulas de antiderivadas Utilice derivación para verificar las fórmulas en los ejercicios 55 a 60. **55.
60.**
61. Determine si cada una de las siguientes fórmulas es cierta o falsa,y argumente brevemente el porqué de su respuesta.
a. b. c.
62. Determine si cada una de las siguientes fórmulas es cierta o falsa,y argumente brevemente el porqué de su respuesta.
a. b. c. (^) L tan u sec^2 u d u = 12 sec^2 u + C
L tan^ u^ sec^2 u^ d u^ =^
L (^12) tan (^2) u + C tan u sec^2 u d u = sec 33 u+ C
L x^ sen^ x^ dx^ = - x^ cos^ x^ +^ sen^ x^ +^ C
L x^ sen^ x^ dx^ = - x^ cos^ x^ +^ C
L x^ sen^ x^ dx^ =^ x
2 2 sen^ x^ +^ C
L
s x +^1 1 d^2 dx^ =^^ x^ + x^1 +^ C
L^ s x^ +^1 1 d^2 dx^ = -^^ x^ +^1 1 +^ C
Lcsc^2 a x^ -^3 1 b^ dx^ = -^3 cot^ a x^ -^3 1 b^ +^ C
Lsec^2 s^5 x^ -^1 d^ dx^ =^
L (^15) tan s 5 x - 1 d + C s 3 x + 5 d-^2 dx = - s^3 x^ + 3 5 d-^1 + C
Ls^7 x^ -^2 d^3 dx^ =^
s 7 x (^) 28 - 2 d^4 + C
L
csc u^ csc -^ usen u d u L cos^ u^ stan^ u^ +^ seg^ ud^ d u
1 + cot^2 x = csc^2 x^ L Lcot^2 x^ dx s^1 -^ cot^2 x d^ dx
1 + tan^2 u = sec^2 u^ L Ls^1 +^ tan^2 ud^ d u s^2 +^ tan^2 ud^ d u
L
1 - cos 2 6 tdt L 1 + 2 cos 4 tdt Lssen^2 x^ -^ csc^2 x d^ dx Ls^2 cos^2 x^ -^3 sen^3 x d^ dx
Ls^4 sec^ x^ tan^ x^ -^2 sec^2 x d^ dx^ L^12 scsc^2 x^ -^ csc^ x^ cot^ x d^ dx
63. Determine si cada una de las siguientes fórmulas es cierta o falsa,y argumente brevemente el porqué de su respuesta. a. b. c. 64. Determine si cada una de las siguientes fórmulas es cierta o falsa,y argumente brevemente el porqué de su respuesta. a. b. c. Problemas de valor inicial 65. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución del problemade valor inicial dy dx = 2 x , y = 4 cuando x = 1?
L 22 x^ +^1 dx^ =^13 A^22 x^ +^1 B^3 +^ C
L 22 x^ +^1 dx^ =^2 x^2 +^ x^ +^ C
L 22 x^ +^1 dx^ =^2 x^2 +^ x^ +^ C
L^6 s^2 x^ +^1 d^2 dx^ =^ s^2 x^ +^1 d^3 +^ C
L^3 s^2 x^ +^1 d^2 dx^ =^ s^2 x^ +^1 d^3 +^ C
Ls^2 x^ +^1 d^2 dx^ =^
s 2 x + 3 1 d^3 + C
x
y
–1 0 1 (a)
(1, 4)
x
y
–1 0 1 (b)
(1, 4)
x
y
–1 0 1 (c)
(1, 4)
1
2
3
4
1
23
4
1
2
3
4
x
y (–1, 1) 0 (–1, 1) (–1, 1) (a)
x
y
0 (b)
x
y
0 (c)
Justifique sus respuestas.
66. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución del problemade valor inicial dy dx = - x , y = 1 cuando x = -1?
Justifique sus respuestas.
