¡Descarga Ejercicios de trigonometria sobre los triangulos rectangulos y más Ejercicios en PDF de Trigonometría solo en Docsity!
CAPÍTULO
En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto grado de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la relación pitagórica.
5.1 Triángulos rectángulos
Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
5.2.3 Teorema de Pitágoras
Resolución de
Triángulos
Rectángulos
c
b
a
A B
C
a : hipotenusa del triángulo rectángulo Δ BAC b : cateto c : cateto
c
b
a
A B
C En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir: a^2 = b^2 + c^2 A esta relación se le llama relación pitagórica.
El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios para trazar ángulos rectos. En sus papiros se observa que después de las inundaciones del Nilo y construyendo triángulos rectángulos con cuerdas, fijando los límites de las parcelas, trazaban direcciones perpendiculares.
5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras
Si en un triángulo
ABC se cumple a^2 = b^2 + c^2 , entonces
ABC es rectángulo y el ángulo
recto es el ángulo cuyo vértice es A.
Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces,
podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.
Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los hindúes cumplen con la relación pitagórica.
5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Solución Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras
tenemos a^2 = 12 2 + 52 = 169 ⇒ a = 169 = 13 por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm
Ejemplo 2 : Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: e = 9 cm , g = 4_._ 5 cm y
β = 30 ο. Calcular : f y α
Solución
Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:
e^2 = f^2 + g^2 al reemplazar por los datos, tenemos: e^2 = f^2 + 4.5^2 ⇒ f^2 = g^2 – 4.5^2 = 60.
⇒ f = 60_._ 75 ≅ 7_._ 8
Por lo tanto: f ≅ 7. 8 cm
Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:
α= 90 ο^ − 30 ο= 60 ο
Ejemplo 3: Dado el
ABC tal que:
a) a = 10 cm , b = 8 cm y c = 6 cm
b) a = 9 cm , b = 11 cm y c = 5 cm
Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo.
Solución
Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras Para los datos dados en a) , si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los catetos, en consecuencia debería cumplirse:
a^2 = b^2 + c^2 (1) a^2 = 100
(2) b^2 + c^2 = 8 2 + 62 = 100
f
g e
E G
F α
β
Por lo que podemos afirmar:
Definición: Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo ABC , como el dado en la figura 1, son:
hipotenusa
catetoopuestode a
b sen
α α= =
hipotenusa
catetoadyacentede a
c cos
α α= =
α
α α = = catetoadyacentede
catetoopuestode c
b tg
Nota 1: Si bien hay otras 3 funciones trigonométricas, no vamos a tratarlas aquí.
Nota 2: Observamos que tanto el seno como el coseno son relaciones entre un cateto y la hipotenusa, en tanto que la tangente es una relación entre catetos.
Ejemplo 1: Encontrar el valor exacto de cada una de las tres funciones trigonométricas.
Solución
Para encontrar la longitud del cateto desconocido se usa el Teorema de Pitágoras.
b cm
b
a b c b a c
2 2 2 2 2 2
Ahora podemos calcular las razones pedidas:
α = = hipotenusa
catetoopuesto sen , 5
α = = hipotenusa
catetoadyacente cos , 3
α = = catetoadyacente
catetoopuesto tg
Ejemplo 2: Calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de lados 7 cm ; 7,4 cm y 2,4 cm. para el ángulo de 19º.
Solución
Como el triángulo es rectángulo, el mayor de los lados es la hipotenusa, o sea 7,4 cm. y el otro ángulo mide: 90 º − 19 º = 71 º Sabemos que a mayor ángulo se opone mayor lado, obtenemos la siguiente figura.
Las razones dadas en (1), no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo y se las llama razones trigonométricas.
c
a b
B A
C
5cm
3cm
α
A
B C
7cm
7.4 cm
2.4 cm
19º
Con lo cual, ahora podemos calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 19º.
sen º = = , 0945 74
cos º = =
tg º 03428571 7
Nota : Se pueden obtener en forma inmediata las razones trigonométricas para el ángulo 71 ο.
Ejemplo 3: Si los rayos del sol forman un ángulo de 65º^ con el suelo y, la sombra de un mástil es de 86 cm. ¿Cuál el la altura del mástil medido en metros?
Solución
h
tg ο^ = ⇒ h = 86 .tg 85 ο
Usando la calculadora tenemos que tg 65 ο^ ≅ 2_._ 14445069 y
en consecuencia: h ≅ 184_._ 4276 cm ≅ 1_._ 84 m
El mástil mide aproximadamente 1.84 m
5.2.3 Cálculo exacto de las razones trigonométricas para ángulos
particulares
A veces, necesitamos y podemos calcular algunas razones trigonométricas para unos determinados ángulos:
1) Ángulo de 45º
Tenemos un triángulo rectángulo e isósceles (es una de los dos escuadras clásicas). Se calcula la hipotenusa suponiendo los lados iguales b = c y se pueden suponer , sin pérdida de generalidad, de valor 1.
a = c^2 + b^2 = 2 b^2 = b 2
Supongamos que b = 1 , tenemos: a = 2 , y como puede observarse
sen 45 º = = y 2
cos 45 º = = son iguales y tg 45 º = 1
2) Ángulos de 30º y 60º
Esta es la otra escuadra clásica:
C
A B
65^ ο
86
h
c
b
a
A B
C
ο
ο
c
C
A B
60º
30º
5.2.3 Algunas relaciones fundamentales
1º Relación : Esta tiene que ver con el Teorema de Pitágoras. En el triángulo
Δ ABC tenemos:
∧ ∧ = → b = asenB a
b senB
∧ ∧ = → c = acosB a
cosB c
Por Teorema de Pitágoras a^2 = b^2 + c^2 sustituyendo por las fórmulas anteriores obtenemos:
⎟⎟^ =
2 2 2 ∧^2 ∧ 2 a b c asenB acosB ⎟
∧ ∧ a^2 sen^2 B cos^2 B
y dividiendo por (^) a^2 obtenemos:
2º Relación:
En el triángulo
ABC obtenemos: a
b sen B =
∧ , a
c cos B =
∧ , ∧
∧ ∧ = = = cos B
senB c/a
b/a c
b tgB
3º Relación:
Si α es un ángulo agudo ( 2
π < α< ) entonces:
∧ ∧ sen B cos B
b
a c
A
B
C
∧
∧ ∧ = cos B
senB tgB
0 < sen α< 1
0 < cos α< 1
tg α> 0
b ´= 1
α
Α Β
C ´^ C
B ´
Nota: El sen α y tg α crecen al crecer el ángulo de 0 a 2
π
. En cambio el cos α decrece al
crecer el ángulo de 0 a 2
π .
Ejemplo 1 : Sabiendo que 3
sen α = encontrar las otras dos razones trigonométricas.
Solución
sen 2 α +cos^2 α= 1 ⇒ cos^2 α= 1 − sen^2 α
⇒ cos α= − sen α= −⎛
y 4
α
α α = cos
sen tg
Ejemplo 2: Sea tg α= 3 calcular sen αy cos α
Solución
= ⇒ α
α α = 3 cos
sen tg sen α = 3 cos α
reemplazando en la 1º relación: sen^2 α + cos^2 α= 1 resulta:
( 3 cos α ) 2 + cos^2 α= 1 ⇒ 9 cos^2 α+ cos^2 α= 1 ⇒
10 cos^2 α = 1 ⇒ cos^2 α=
Por lo tanto: 10
cos α= = = y 10
sen α=. =
5.3 ÁNGULOS ORIENTADOS
Recordemos que un ángulo es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta alrededor de su extremo.
La posición inicial se llama lado inicial , OA , la posición final se llama lado terminal, OB. El
punto fijo se llama vértice , O , (ver figura 2). Si la rotación se realiza en sentido antihorario (levógiro) el ángulo se considera positivo , como en la figura 2, en caso contrario negativo (dextrógiro).
Representamos los ángulos orientados referidos a un par de ejes perpendiculares x e y , llamados ejes cartesianos ortogonales. Dada una semirrecta con origen en el origen de coordenadas y coincidiendo con el semieje positivo x , al rotarla genera un ángulo, ver figura 3.
A
α β
B
O x
y
Ángulo positivo
Figura 3
O
A
B
x
Ángulo negativo
y
α O
A
B Figura 2
Con cualquiera de los datos obtenidos se pueden obtener las fórmulas de conversión de ángulos medidos en radianes a ángulos medidos en grados y viceversa. Dado que un ángulo llano es equivalente a π radianes, obtenemos:
π radianes = 180 ο Por lo tanto
Nota: Utilizaremos rad como abreviatura de radianes.
En particular, si r = 1 resulta que la medida de α es AB = s
∩ .
Ejemplo1: ¿Cuántos grados hay en un ángulo de π 9
rad?
Solución Por lo visto anteriormente tenemos:
1 rad = grados π
por lo tanto:
π 9
rad = π 9
π
grados = 20 ο
Ejemplo 2: ¿Cuántos radianes hay en un ángulo de 60 ο?
Solución
En forma análoga al ejercicio anterior, pero utilizando la fórmula 1 ο=
π rad
Tenemos: 60 ο=
π rad = rad 1_._ 05 rad 3
π
Haciendo los cálculos correspondientes, podemos realizar la siguiente tabla:
grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180
radianes 0 6
π 4
π 3
π 2
π 3
2 π 4
3 π 6
5 π π
1 radián = π
grados ≅ 57.30 ο
π (^) radianes
≅ 0.00075^ rad
Cuando se usa la calculadora para calcular el valor de las razones trigonométricas, verificar que se encuentra en Modo Grados (sexagesimales) o Modo Radianes según sea la medida que se está usando.
y
Figura 6
A' x
B
B'
O A
r'
r
Observación: Recordemos de geometría que, dadas dos circunferencias concéntricas de radios r y r ´, respectivamente, para un mismo ángulo α que
subtiende los arcos
∩ AB y
∩ A' B ' (ver figura 6), se
cumple: r'
A'B'
r
AB
∩ ∩ =. En consecuencia, la razón dada
en (1) sólo depende del ángulo y por esto, se la toma como medida del ángulo.
5.5 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Con estos datos obtenemos :
AB b
AB
OA
AB
sen α o sea el seno es la ordenada del punto A.
OB a
OB
OA
OB
cos α el coseno es la abscisa del punto A.
tg AB b
AB
OB
A B
α = = = = es la ordenada del punto A’
Por tanto, el valor de cualquier línea trigonométrica de un ángulo depende solamente de la magnitud del ángulo y no del punto que se haya tomado sobre el lado terminal.
En particular obtenemos las identidades: cos( α + 2 π ) = cos α , sen( α + 2 π ) = sen α.
Por esta razón, se las llama funciones periódicas, y en este caso, son de período 2 π.
Observación: Escojamos otro punto P’ cualquiera, a una distancia ρ > 0 sobre el lado terminal de α. P' con
coordenadas ( x' ,y' )determina un
triángulo
Δ OP' Q ' semejante al
Δ OPQ ,
donde: OP
PQ
OP'
P' Q'
= ,es decir:
= = α ρ
sen
y' y 1
Del mismo modo se obtiene:
x '
y' ,tan
x' cos α= ρ
α =.
x
y
O
P(x,y)
Q(x,0)
P´(x´,y´)
Q´(x´,0)
α
Figura 2
A
O B
1
B´
A´
α
b
a
b´
Figura 1
Sea C( O, 1 ) una circunferencia con centro en el origen de coordenadas O (0, 0) y radio la unidad. Si se construye un ángulo α con vértice en el origen y sentido positivo podemos obtener las razones trigonométricas de ese ángulo llamadas funciones o líneas trigonométricas. Se determinan los
triángulos
Δ OBA y^ ' ´
Δ OB A tales que: el segmento AB tiene longitud b , el OB longitud a , el A'B' tiene longitud b’ y OA y OB' por construcción tienen longitud 1, es decir, A( a,b) , B( a, 0 ) , A´( 1 , b ´) , B´( 1 , 0 ).
5.6 SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
1: Un cohete dista 200 m de la puerta y desde ella se observa el extremo del cohete formando un ángulo de 15º por encima de la horizontal. Calcular la altura que está el cohete.
Si hacemos un esquema tenemos un triángulo rectángulo
Δ BPQ
= ⇒ h = ⋅ tg º =
h tg º 200 15 200
El cohete está a aproximadamente a 53.60 m
2: Sabiendo que la torre Eiffel mide 300 m de altura ¿cuánto hay que alejarse para que su extremo se vea, desde el suelo, 36º por encima de la horizontal.
Solución Haciendo un esquema
= ⇒ x = m ⇒ x
tg 36 º 300
tg 36 º
. m tg º.
m x 412938 07265
Debe alejarse de la torre casi cuatro cuadras.
3 : A veces, necesitamos usar triángulos superpuestos, sobre todo, si hay regiones inaccesibles.
Solución
Aquí se tienen dos triángulos, cada uno de ellos con datos insuficientes para resolver el
problema. Utilizando ambos, en el triángulo
Δ ABC tenemos:
y
x tg 40 º = no se conoce x ni y de estos datos, pero como la tangente tg 40 º ≅ 0_._ 839
x. y y
x 0_._ 839 = ⇒ = 0839
En el triángulo
Δ
DBC tenemos: x. ( y )
y
x . y
x tg º ⇒ = +
En consecuencia tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en las cuales se despeja x
⎩⎨^ (^ )
x. y
x. y 0577 30
igualando obtenemos: 0. 839 y = 0. 577 ( 30 + y ) → 0. 389 y = 0. 577 ⋅ 30 + 0. 577 y
h
200 m
P
B Q
15 ο
300 m
x
36 ο
D (^) A
x
C
(^30) B
ο 40 ο 30 m^ y
Desde un patio vemos el extremo superior de una antena de televisión levantando la vista un ángulo de 40 ο. Si nos alejamos en la línea recta 30 m, solo hay que levantar la vista 30º para ver la punta de la antena. ¿Cuál es la altura de la antena?.
agrupando las variables en un solo miembro, resulta:
0. 839 y − 0. 577 y = 17. 31 ⇒ ( 0. 839 − 0. 577 ) y = 17. 31
y = −
= ≅ 66_._ 068702 m ≅ 66_._ 069 m
x = 0_._ 839 ⋅ y ≅ 0_._ 839 ⋅ 66_._ 069 ≅ 55_._ 38 m
La altura de la antena es aproximadamente 55.38 m
Ejercicio 14: Resolver el triángulo rectángulo, usando la información dada:
I) b = 5 β= 25 º
II) a = 6 β= 45 º
III) b = 4 α= 12 º
IV) a = 5 α= 30 º
v) c = 10 α= 40 º
VI) c = 9 β =25º
VII) a = 2 b = 8 VIII) a = 2 c = 5
IX) b = 4 c = 6
Ejercicio 15: Sea ABC un triángulo rectángulo en A , tal que AB = 4 cmyAC = 3 cm. Si A, B,
C son los ángulos, calcular : cos B, sen B, tg B, cos C, sen C y tg C.
Ejercicio 16: En un triángulo de lados 4 cm , 6 cm y 8 cm , calcular la altura sobre el lado mayor.
Ejercicio 17 : En el cuadrilátero ABCD , el lado AB tiene el doble de la longitud del lado CD. Sabiendo además que los lados AD y CD son iguales, siendo su medida 3 cm , calcular el perímetro y el área del cuadrilátero.
Ejercicio 18: Un tramo de carretera forma un ángulo de 15 ° con la horizontal. Al recorrer 200 m por la carretera, ¿Cuántos metros se ha ascendido en vertical?
Ejercicio 19: De un rombo se conoce una diagonal, 24 cm , y el lado, 13 cm. Encontrar la medida de la otra diagonal.
Ejercicio 20: Encontrar la altura de un trapecio isósceles cuyos lados paralelos miden 4 cm y 9 cm y los otros 6,5 cm ..
Ejercicio 21 : Un camino recto con inclinación uniforme lleva desde un hotel a 2640 metros hasta un mirador situado a 3663 metros. Si la longitud del camino es de 4653 metros. ¿Cuál es la pendiente del camino?.
Ejercicio 22: Para determinar la altura de una torre de transmisión de televisión, un agrimensor camina alejándose 300 metros de la base de la torre. Luego mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40º. Si el teodolito está a 2 metros del piso cuando la observación se realiza, ¿cuál es la altura de la torre?.
a
b
c
B C
A
40 0 300 m (^) 2 m
400
b
B a
c
C
A
β
α
Ejercicio 23: Encuentre la distancia inaccesible AC , del estanque, sabiendo que
BC = 35 metros y el ángulo CBA = 40 º
∧ .
Ejercicio 24: Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos observaciones de la cima desde dos puntos separados una distancia de 1000 metros en línea recta hacia la montaña. La primera observación tiene como resultado un ángulo de elevación de 47º, la segunda tiene un ángulo de elevación de 35º. Si el teodolito está dos metros del piso, ¿cuál es la altura de la montaña?.
Ejercicio 25: En el siguiente dibujo, AT representa una torre, A el pie de la torre, B y C puntos alineados con A , siendo BC = 50 m , el ángulo ABT = 60º y el ángulo BCT = 30 º. ¿Cuál es la altura de la torre?
Ejercicio 26: ¿En un viaje por una carretera horizontal y recta nos dirigimos hacia el punto más alto de una montaña. En un instante dado medimos el ángulo de elevación y es, de 30º, Recorremos 2 kilómetros y al medir éste es de 45 º. ¿Cuál es la altura de la montaña respecto de la carretera donde hemos hecho las mediciones?
Ejercicio 27: Una estatua está colocada sobre una columna de 15 metros. Desde un punto del suelo situado en la misma horizontal que el pie de la columna, vemos la columna bajo un ángulo de 45º, y la estatua bajo un ángulo de 15º más, ¿Cuál es la altura de la estatua?
B
C
A
a
b h
E
35 47 2 m
0 0 1000 m
C B A
T
