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Guía ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas, Ejercicios de Matemáticas

Universidad Libre de Colombia - CúcutaMatemáticas

Documento de la Universidad Libre Seccional Cúcuta de la Facultad de Ingenierías del Programa de Ingeniería Industrial que presenta la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas con coeficientes constantes. El texto incluye el proceso de solución, ejemplos resueltos y ejercicios propositos.

Tipo: Ejercicios

2016/2017

Subido el 15/10/2021

omaira-vergel
omaira-vergel 🇨🇴

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UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CÚCUTA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES
Guia No.9. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Página
1 de 5
1. Competencias
• Identificar la notación de las ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con
coeficientes constantes
• Solucionar ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con coeficientes
constantes
2. Recursos
• Texto guía:Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado. México :Cengage Learning.
• Páginas de internet
• Guia de aprendizaje
• Plataforma Microsoft Teams
3. Bibliografía
Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Cengage Learning.
México (2018).
Boyce, William E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa.
México (2002)
4. Sesión de construcción conceptual
4.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2DO ORDEN HOMOGENEA CON
COEFICIENTES CONSTANTES
a2(x) d2y + a1(x) dy + a0(x) y = f(x) dividiendo en a(x) d2y + P(x) dy + Q(x) y = 0
dx2 dx dx2 dx
Para hallar solución hago b=P(x) y c=Q(x)
a d2y + b dy + c y = 0 ay’’ + by’ + cy = 0
dx2 dx
pf3
pf4
pf5

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FACULTAD DE INGENIERÍAS

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 9. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Página

1 de 5

1. Competencias

  • Identificar la notación de las ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con

coeficientes constantes

  • Solucionar ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con coeficientes

constantes

2. Recursos

  • Texto guía:Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado. México :Cengage Learning.

  • Páginas de internet
  • Guia de aprendizaje
  • Plataforma Microsoft Teams

3. Bibliografía

Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Cengage Learning.

México ( 2018 ).

Boyce, William E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa.

México (2002)

4. Sesión de construcción conceptual

4 .1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2DO ORDEN HOMOGENEA CON

COEFICIENTES CONSTANTES

a2(x) d^2 y + a1(x) dy + a0(x) y = f(x) dividiendo en a(x) d^2 y + P(x) dy + Q(x) y = 0 dx^2 dx dx^2 dx Para hallar solución hago b=P(x) y c=Q(x) a d^2 y + b dy + c y = 0 ay’’ + by’ + cy = 0 dx^2 dx

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PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 9. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

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4.1.1.PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN:

1. Identificar 𝑎𝑟

2

2. Resolver la cuadrática o factorizar

3. Aplicar Solución de acuerdo a 3 casos:

a) 𝑟 1 ≠ 𝑟 2 𝑦𝐻 = 𝐶 1 𝑒

𝑟 1 𝑥

𝑟 2 𝑥

b) 𝑟 1 = 𝑟 2 𝑦𝐻 = 𝑒

𝑟𝑥

c)𝑟 1 = 𝑟 2 = 𝛼 ± 𝐵𝑖 𝑦𝐻 = 𝑒

𝛼𝑥

(𝐶 1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)

Compruebo que erx^ es solución de la Ecuación Diferencial.

′′

′

𝑟𝑥

′

𝑟𝑥

2

𝑟𝑥

Reemplazo 𝑎𝑟^2 𝑟𝑒𝑟𝑥^ + 𝑏𝑟𝑒𝑟𝑥^ + 𝑐𝑒𝑟𝑥^ = 0 factor común 𝑒𝑟𝑥[𝑎𝑟^2 + 𝑏𝑟 + 𝑐] = 0

si 𝑒𝑟𝑥^ es solución 𝑎𝑟^2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 tiene 3 soluciones

CASOS SOLUCIONES

𝑟 1 ≠ 𝑟 2 𝑦𝐻 = 𝐶 1 𝑒𝑟^1 𝑥^ + 𝐶 2 𝑒𝑟^2 𝑥

𝑟𝑥

𝛼𝑥

(𝐶 1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)

También se llama DISCRIMINANTE 𝐷 = 𝑏^2 − 4 𝑎𝑐

𝑟 1 𝑥

𝑟 2 𝑥

1 =^ 𝑟 2 𝑦𝐻 =^ 𝑒

𝑟𝑥

𝛼𝑥

(𝐶 1 cos 𝐵𝑥 + 𝐶 2 𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥)

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No. 9. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

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4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEAS CON

COEFICIENTES CONSTANTES:

Forma an(x) dny + a (^) n-1(x) dn-^1 y + an-2(x) dn-^2 y …… a(x) dy + a0(x)y = 0 dx n dx n- 1 dx n- 2 dx Forma anyn^ + an- 1 yn-^1 +an- 2 yn-^2 ….aoy = 0 Solución: Se procede de la misma forma que ED de 2do Orden: 4.2.1.EJEMPLOS EJEMPLO 1. Y’’’ – 4y’’ + 4y’ = 0 Identifico r^3 – 4r^2 + 4r = 0 factorizo r 1 ( r^2 – 4r + 4)= 0 r 1 ( r 2 – 2)(r 3 – 2 )= 0 Tenemos 3 raíces r 1 = 0, r 2 = r 3 = Voy al cuadro C 1 erx^ erx(xC 2 +C 3 ) reemplazo yH= C 1 erx^ + erx(xC 2 +C 3 ) Reemplazo r 1 = 0 y r 2 =r 3 =2 yH= C 1 e(0)x^ + e2x(xC 2 +C 3 ) Sol. Gral. yH= C 1 + e2x(xC 2 +C 3 ) EJEMPLO 2. Y’’’ – 4y’’ – 5y’ = 0 Identifico r^3 – 4r^2 + 5r = 0 factorizo r 1 (r^2 – 4 r–5)= 0 factorizo r 1 (r 2 – 5)(r 3 + 1 )= 0 Tenemos 3 raíces r 1 = 0 ≠ r 2 =5 ≠ r 3 =- 1 Voy al cuadro C 1 erx^ C 2 erx+ C 3 erx^ Reemplazo r yH=C 1 e(0)x^ + C 2 e(5)x+ C 3 e(-1)x Sol General yH=C 1 + C 2 e5x+ C 3 e-x EJEMPLO 3. Y’’’ – y = 0 Identifico r^3 – 1 = 0 factorizo dif de cubos (r 1 – 1)( r^2 + r+ 1 )= 0 R 2 , r 3 = - b+ √b^2 – 4ac = - (1) +√(1)^2 – 4(1)(1) = - 1 + √1– 4 = - 1 + √- 3 = - 1 + √ 3 i = α+Bi 2a 2(1) 2 2 2 2 Tenemos 3 raíces r 1 = 1 r 2 = - 1/2+√3i/2 r 3 = - 1/2-√3i/ Voy al cuadro C 1 erx+ eαx(C 1 cos Bx+C 2 sen Bx) C 1 erx+eαx(C 2 cosBx+C 3 senBx) Reemplazo r yH= C 1 e(1)x+e(-1/2)x(C 2 cos (√ 3 /2)x +C 3 sen(√ 3 /2)x) Solución General 𝒚𝑯 = 𝑪𝟏𝒆𝒙^ + 𝒆−𝒙/𝟐(𝑪𝟐𝒄𝒐𝒔(√𝟑/𝟐)𝒙 + 𝑪𝟑𝒔𝒆𝒏(√𝟑/𝟐) 𝒙)

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4.2.2.EJERCICIOS EN CLASE:

  1. Y’’’ – 5y’’ + 3y’ + 9y = 0 RTA/ yH= C 1 e-x+ e3x^ (xC 2 +C 3 )
  2. Y’’’ + 2 y’’ + 9 y’ + 68y = 0 RTA/ yH =C 1 e-4x+ex(C 2 cos 4x+C 3 sen 4x)
  3. Y(^5 )^ – 2 y(^4 )^ + 5y’’’–8y’’+ 4 y’ = 0 RTA/ yH = C 1 + C 2 x ex^ + C 3 ex^ + C 4 cos 2x + C 5 sen 2x 5.CONSULTAR 1 ) Y’’’ + y’’ – 2y’ = 0 RTA/ C 1 + e-^2 xC 2 + exC 3
  4. Y’’’ + y’’ – 2y = 0 RTA/ y= C 1 ex+e-x(C 2 cos x +C 3 sen x) 3 ) Y’’’ + 3y’’ + 3y’ + y = 0 RTA/ y = C 1 e-x^ + e-x(xC 2 +x^2 C 3 ) 4 ) d^4 y + d^3 y + d^2 y = 0 RTA/ y= C 1 + C 2 ex+e-x/2(C 3 cos (√3/2)x +C 4 sen (√3/2)x) dx^4 dx^3 dx^2 5 ) 16 d^4 y + 24d^2 y + 9y = 0 RTA/ y=C 1 cos(√3)x+C 2 sen(√3)x+C 3 xcos(√3)x+C 4 xsen (√3)x dx^4 dx^2 2 2 2