¡Descarga Solución de integrales indefinidas: Ejemplos y descripción de métodos y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
C·lculo Diferencial e Integral - Antiderivada. Farith J. BriceÒo N.
Objetivos a cubrir CÛdigo : MAT-CDI.
Antiderivadas. Integral indeÖnida. Propiedades de la integral indeÖnida.
IntegraciÛn por manipulaciÛn algebraica. IntegraciÛn por u sustituciÛn.
NotaciÛn sigma. Sumas especiales y telescÛpicas. Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Demuestre que si f (x) = arcsen x, entonces f 0 (x) =
p 1 x^2
, con 1 < x < 1.
DemostraciÛn : Es conocido que la funciÛn inversa de g (x) = sen x, es f (x) = arcsen x, deÖnida en 1 x 1 ,
es decir, g 1 (x) = f (x), adem·s si una funciÛn g tiene inversa y es diferenciable, entonces g 1 es diferenciable y su
derivada viene dada por g 1 (x)
g^0 (g ^1 (x))
Como g 0 (x) = cos x, se tiene que g 1 (x)
= (arcsen x)
0
cos (arcsen x)
puesto que,
sen 2 () + cos 2 () = 1; entonces, cos () =
p 1 sen^2 ();
por lo tanto, al componer la expresiÛn del cos () con la funciÛn f (x) = arcsen x, como Rgo f =
h
i y el coseno
es positivo en ese intervalo,
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.
1
0
-0.
-1.
x
y
x
y
-5 -2.5 0 2.5 5
1
0
-0.
x
y
x
y
f (x) = arcsen x f (x) = cos x
por lo tanto, se toma la expresiÛn positiva del coseno y se tiene,
cos (arcsen x) =
p 1 sen^2 (arcsen x) =
q
1 (sen (arcsen x))
2
p 1 x^2 ;
luego,
(arcsen x)
0
p 1 x^2
deÖnida para 1 < x < 1. F
Ejemplo 2 : Hallar una funciÛn f , tal que se cumpla la siguiente igualdad
Z
f (x) dx = arcsen x + C
SoluciÛn : Por la deÖniciÛn de primitiva se tiene que cumplir
(arcsen x + C)
0 = f (x)
asÌ,
(arcsen x + C)
0 | {z }
= (arcsen x)
0 | {z }
+ (C)
0 |{z}
p 1 x^2
p 1 x^2
Derivada de una sum a de funciones
Derivada: Ver ejem plo 1
Derivada de una constante
Luego,
f (x) =
p 1 x^2
F
Ejemplo 3 : Hallar una funciÛn f , tal que se cumpla la siguiente igualdad
Z
f (x) dx = arctan
p x
+ C
SoluciÛn : Por la deÖniciÛn de primitiva se tiene que cumplir arctan
p x
+ C
= f (x)
asÌ, arctan
p x
+ C
| {z }
arctan
p x
| {z }
+ (C)
0 |{z}
p x)
2
p x)
0
1 + x
p x
Derivada de una sum a de funciones
Derivada: Regla de la cadena
Derivada de una constante
Luego,
f (x) =
p x (1 + x)
F
Ejemplo 4 : Integre
Z
4 p 2 p^3 x dx
SoluciÛn : Por propiedades de radicales 4
p 2 p^3 x = 4
p 2 p^3
p 4 x;
entonces,
Z 4
p 2 p^3 x dx =
Z
4
p 2 p^3 | {z }
4 p x dx = 4
p 2 p^3
Z
4 p x dx = 4
p 2 p^3
Z
x 1 = 4 dx
| {z }
4
p 2 p^3
x^5 =^4 + C 1
Sale de la integral p or ser constante resp ecto a la variable de integraciÛn
Z xn^ dx = x n+ n+1 +^ C^ con^ n^ =
1 4
Finalmente, (^) Z 4
p 2 p^3 x dx =
4
p 2 p^3 x 5 = 4
p 2 p^3 C 1.
F
Ejemplo 5 : Integre
Z
4
p 2 p^3 x dp
SoluciÛn : Por propiedades de radicales 4
p 2 p^3 x =
p 4 2 x 4
p p^3 ;
entonces,
Z 4 p 2 p^3 x dp =
Z
p 4 2 x |{z}
4 p p^3 dp = 4 p 2 x
Z
4 p p^3 dp = 4 p 2 x
Z
p 3 = 4 dp
| {z }
4 p 2 x
p^7 =^4 + C 1
Sale de la integral p or ser constante resp ecto a la variable de integraciÛn
Z xn^ dx = x n+ n+1 +^ C^ con^ n^ =
3 4
Ejemplo 8 : Integre
Z
(x 1)
2 dx p 4 x^3 (
p x 1)
SoluciÛn : Aplicamos la conjugada de la expresiÛn
p x 1 , es decir, multiplicamos y dividimos por el tÈrmino
p x + 1
Z (x 1)
2 dx p 4 x^3 (
p x 1)
Z
(x 1)
2 p 4 x^3 (
p x 1)
p x + 1)
(
p x + 1)
dx =
Z
(x 1)
2 (
p x + 1) 4 p x^3
p x)
2 (1)
2
(^) dx
Z
(x 1)
2 (
p x + 1) p 4 x^3 (x 1)
dx =
Z
(x 1) (
p x + 1) p 4 x^3
dx;
desarrollamos el tÈrmino del numerador,
(x 1)
p x + 1
= x
p x + x
p x 1 = x 3 = 2
entonces, Z (x 1) (
p x + 1) 4 p x^3
dx =
Z
x 3 = 2
dx =
Z
x 3 = 2
x^3 =^4
x
x^3 =^4
x 1 = 2
x^3 =^4
x^3 =^4
dx
Z
x 3 = 2 3 = 4
- x 1 3 = 4 x 1 = 2 3 = 4 x 3 = 4
dx
Z
x^3 =^4 dx +
Z
x^1 =^4 dx
Z
x ^1 =^4 dx
Z
x ^3 =^4 dx
x 7 = 4
x 5 = 4
x 3 = 4 4 x 1 = 4
Finalmente, Z (x 1)
2 dx 4 p x^3 (
p x 1)
x 7 = 4
x 5 = 4
x 3 = 4 4 x 1 = 4
F
Ejemplo 9 : Integre
Z
x^2 16
2
p x
dx
SoluciÛn : Aplicamos la conjugada de la expresiÛn 2
p x, es decir, multiplicamos y dividimos por el tÈrmino 2 +
p x
Z x 2 16
2
p x
dx =
Z
x^2 16
p x)
p x)
(2 +
p x)
dx =
Z
x^2 16
p x) (2)
2 (
p x)
2
(^) dx =
Z
x^2 16
p x)
4 x
dx
Observemos que el polinomio del numerador se puede factorizar como
x 2 16 = (x 4) (x + 4) = (4 x) (x + 4) ;
asÌ, Z x 2 16
p x)
4 x
dx =
Z
(4 x) (x + 4) (2 +
p x)
4 x
dx =
Z
(x + 4)
p x
dx;
desarrollando esta expresiÛn
(x + 4)
p x
= 2x + x
p x + 8 + 4
p x = 2x + x 3 = 2
la integral nos queda
Z
(x + 4) (2 +
p x) dx =
Z
2 x + x^3 =^2 + 8 + 4x^1 =^2
dx =
Z
2 x dx +
Z
x^3 =^2 dx +
Z
8 dx +
Z
4 x^1 =^2 dx
x 2
x 5 = 2
x 3 = 2
+ C:
Finalmente, Z x 2 16
2
p x
dx =
x 2
x 5 = 2
x 3 = 2
+ C:
F
Ejemplo 10 : Integre
Z
sen 2 x dx
cos^2 (x=2)
SoluciÛn : Es conocido que sen 2 () = 2 sen () cos () ; (1)
por otro lado,
sen x = sen 2
x
2
por la ecuaciÛn (1) se tiene
sen x = 2 sen
x
2
cos
x
2
=) sen
2 x =
2 sen
x
2
cos
x
2
= 4 sen
2
x
2
cos
2
x
2
asÌ,
Z sen^2 x dx
cos^2 (x=2)
Z (^) 4 sen^2
x
2
cos^2
x
2
cos^2 (x=2)
dx =
Z
4 sen 2
x
2
dx;
como,
sen
2 () =
1 cos 2 ()
2
entonces,
sen 2
x
2
1 cos 2
x
2
1 cos x
2
esto implica,
Z
4 sen^2
x
2
dx =
Z
1 cos x
2
dx =
Z
2 (1 cos x) dx = 2
Z
dx
Z
cos x dx
= 2x 2 sen x + C:
Finalmente, Z sen^2 x dx
cos^2 (x=2)
= 2x 2 sen x + C:
F
Ejemplo 11 : Integre
Z
cos 2 (arcsen x)
x^5
dx
SoluciÛn : Es conocido que
cos 2 () = 1 sen 2 () y sen (arcsen x) = x;
entonces,
cos 2 (arcsen x) = 1 sen 2 (arcsen x) = 1 (sen (arcsen x))
2 = 1 x 2 ;
por lo tanto,
Z cos^2 (arcsen x)
x^5
dx =
Z
1 x^2
x^5
dx =
Z
x^5
x^2
x^5
dx
Z
x^5
dx
Z
x 2
x^5
dx =
Z
x 5 dx
Z
x 3 dx =
4 x^4
2 x^2
+ C;
es decir, Z cos^2 (arcsen x)
x^5
dx =
4 x^4
2 x^2
+ C:
F
Ejemplo 12 : Integre
Z
sen 6 x cos x dx
SoluciÛn : Observemos que en el integrando aparece la funciÛn seno y su derivada, asÌ, podemos proponer el cambio
de variable
u = sen x; du = cos x dx
como u =
x p 5
, se tiene que Z dx p 5 x^2
= arcsen
x p 5
+ C:
F
Ejemplo 15 : Integre
Z
dx p 4 x x^2 3
SoluciÛn : Completamos cuadrado
x 2
x +
2
= (x 2)
2 3 +
= (x 2)
2 3 + 4 = (x 2)
2
es decir, la integral se escribe como (^) Z dx p 4 x x^2 3
Z
dx q 1 (x 2)
2
hacemos el cambio de variable
u = x 2 ; du = dx;
de aquÌ,
du Integral del arcoseno. Integral m ·s sencilla que la inicial.
Z dx p 4 x x^2 3
Z z}|{ dx s
x 2 | {z }
zZ }| { du p 1 u^2
= arcsen u + C;
u
como u = x 2 , se tiene que (^) Z
dx p 4 x x^2 3
= arcsen (x 2) + C:
F
Ejemplo 16 : Integre
Z
dx p 12 x 4 x^2 5
SoluciÛn : Completamos cuadrado
4 x 2
x +
2
x
x
2
x
2
es decir, la integral se escribe como,
Z dx p 12 x 4 x^2 5
Z
dx q 4 (2x 3)
2
Z
dx v u u t 4 1 (2x 3)
2
Z
dx
p 4
v u u t (^1) (2x 3)
2
Z
dx s
(2x 3)
2
Z
dx s
2 x 3
2
Z
dx s
x
hacemos el cambio de variable
u = x
; du = dx;
de aquÌ,
du
Integral del arcoseno. Integral m ·s sencilla que la inicial.
Z dx p 12 x 4 x^2 5
Z z}|{ dx v u u t 1 x 3 2 | {z }
zZ }| { du p 1 u^2
arcsen u + C;
u
como u = x
, se tiene que Z dx p 12 x 4 x^2 5
arcsen
x
+ C:
F
Ejemplo 17 : Integre
Z
dx
6 + x^2
SoluciÛn : Es conocido que (^) Z dx
1 + x^2
= arctan x + C;
entonces (^) Z dx
6 + x^2
Z
dx
x^2
6
Z
dx
x^2 p 6
Z
dx
x p 6
hacemos el cambio de variable
u =
x p 6
; du =
p 6
dx =)
p 6 du = dx
y la integral nos queda
p 6 du
Integral de la arcotangente. Integral m ·s sencilla que la inicial.
Z dx
6 + x^2
Z z}|{ dx
x p 6 |{z}
A
2
Z p 6 du
1 + u^2
p 6
6
zZ }| { du
1 + u^2
p 6
6
arctan u + C;
u
como u =
x p 6
, se tiene que
Z dx
6 + x^2
p 6
6
arctan
x p 6
+ C:
F
Ejemplo 18 : Integre
Z
x dx
1 + x^4
SoluciÛn : Escribimos la integral como (^) Z x dx
1 + x^4
Z
x dx
1 + (x^2 )
2
hacemos el cambio de variable
u =
x 3
2
; du =
dx =) 2 du = dx;
de aquÌ,
2 du
Integral de la arcotangente. Integral m ·s sencilla que la inicial.
Z dx
x^2 6 x + 13
Z z}|{ dx
x 3
2 | {z }
zZ }| { du
u^2 + 1
arctan u + C;
u
como u =
x 3
2
, se tiene que Z dx
x^2 6 x + 13
arctan
x 3
2
+ C:
F
Ejemplo 21 : Integre
Z
x dx p 1 x^2
SoluciÛn : No debemos confundir esta integral con la primitiva de la funciÛn arcoseno, ya que el diferencial est·
multiplicado por la variable x, asÌ, que haremos el cambio de variable
u = 1 x 2 ; du = 2 x dx =)
du
2
= x dx
y la integral queda
du= 2
Z z}|{ x dx q 1 x
2 | {z }
Z
du= 2 p u
Z
du p u
Z
du
u^1 =^2
Z
u 1 = 2 du
| {z }
u 1 = 2
+ C =
p u + C;
u
Integral de p otencias Integral m ·s sencilla que la inicial
como u = 1 x 2 , se tiene que (^) Z x dx p 1 x^2
p 1 x^2 + C:
F
Ejemplo 22 : Integre
Z
4
p 2 p^3 x dx
SoluciÛn : En el ejemplo 4 se resolviÛ esta integral por medio de manipulaciÛn algebraica (ver Ejemplo 4), ahora se
resolver· usando un cambio de variable. Proponemos el cambio de variable
u = 2p 3 x; du = 2p 3 dx =)
du
2 p^3
= dx;
la integral nos queda,
Z
4
r 2 p 3 x | {z }
dx |{z}
Z
4 p u
du
2 p^3
2 p^3
Z
4 p u du =
2 p^3
Z
u 1 = 4 du
| {z }
2 p^3
u 5 = 4
+ C;
u du= 2 p 3 Integral de una p otencia Integral m ·s sencilla que la inicial
como u = 2p 3 x, entonces, Z 4
p 2 p^3 x dx =
2 p^3
2 p 3 x
+ C =
5 p^3
2 p 3 x
+ C =
4 x
5
2 p 3 x
+ C:
Finalmente, (^) Z 4
p 2 p^3 x dx =
4 x
5
2 p 3 x
+ C:
Compare este resultado con el obtenido en el Ejemplo 4. øQuÈ concluye? F
Ejemplo 23 : Integre
Z
x
p x + 3 dx
SoluciÛn : Hacemos el cambio
u = x + 3 de aquÌ x = u 3 ; du = dx
y la integral queda,
u 3 du
Z
z}|{ x
q x + 3 | {z }
z}|{ dx =
Z
(u 3)
p u du =
Z
u 3 = 2 3 u 1 = 2
du
| {z }
u 5 = 2 2 u 3 = 2
u
Integral de p otencias Integral m ·s sencilla que la inicial
como u = x + 3, se tiene que (^) Z
x
p x + 3 dx =
(x + 3)
5 = 2 2 (x + 3)
3 = 2
F
Ejemplo 24 : Integre
Z
x 2 dx
(x 2
p x)
4
SoluciÛn : Hacemos el cambio de variable
u 2 = x; 2 u du = dx;
la integral nos queda,
Z x^2 dx
(x 2
p x)
4
Z
u 2
2 u du
(u^2 2 u)
4
Z
u^4 2 u du
(u (u 2))
4
Z
u^4 2 u du
u^4 (u 2)
4
Z
u du
(u 2)
4
hacemos otro cambio de variable
p = u 2 =) u = p + 2; du = dp
y obtenemos
Z
u du
(u 2)
4
Z
p + 2
p^4
dp = 2
Z
p
p^4
dp +
Z
p^4
dp
Z
p ^3 dp + 2
Z
p ^4 dp
p 2
p 3
p^2
3 p^3
+ C;
como p = u 2 , entonces
Z
u du
(u 2)
4 =^ ^
(u 2)
2 ^
3 (u 2)
3 +^ C
y u =
p x, entonces Z x^2 dx
(x 2
p x)
4 =^ ^
p x 2)
2 ^
p x 2)
3 +^ C:
F
j j : el n˙mero de pies por segundo en la rapidez, en pies por segundos, de la piedra a los t seg de tiempo.
La piedra estar· en su punto m·s alto cuando la velocidad sea cero. Sea s el valor particular de s en = 0. Cuando
la piedra toca el suelo, s = 0. Sean t y los valores particulares de t y cuando s = 0 y t 6 = 0.
La direcciÛn positiva de la piedra desde el punto de partida se toma hacia arriba. Como la ˙nica aceleraciÛn se debe a
la gravedad que act˙a en direcciÛn hacia abajo, la aceleraciÛn tiene un valor constante de 32 p/seg 2 .
Es conocido que la aceleraciÛn a es la primera derivada de con respecto a t y la segunda derivada de s con
respecto a t, es decir,
a =
d
dt
d^2 s
dt^2
integramos respecto a t
Z d
dt
dt =
Z
d 2 s
dt^2
dt =
Z
32 dt =) (t) =
ds
dt
= 32 t + C 1
como = 128 cuando t = 0, tenemos
128 = (0) = 32 (0) + C 1 =) C 1 = 128;
por lo tanto,
ds
dt
= 32 t + 128;
integramos, nuevamente, respecto a t
Z ds
dt
dt =
Z
( 32 t + 128) dt =) s (t) = 16 t
2
como s = 0 cuando t = 0, tenemos
0 = s (0) = 16 (0)
2
y nos queda
s (t) = 16 t 2
La piedra estar· en su punto m·s alto cuando la velocidad sea cero, asÌ,
0 = (t) = 32 t + 128 =) t =
es decir, la piedra tarda 4 seg para llegar a su punto m·s alto y la distancia es
s (4) = 16 (4)
2
por lo tanto, la mayor altura que la piedra alcanzar· es de 256 pies.
Para conocer con que velocidad llegar· la piedra al suelo igualamos la funciÛn distancia a cero, de allÌ, obtenemos
0 = s (t) = 16 t
2
- 128t =) 0 = 16 t(t 8) =) t = 0 y t = 8;
pero, el valor t = 0 corresponde al momento en que es lanzada la piedra, por lo tanto, la piedra llega al piso en 8 seg,
luego la velocidad con la que llega es
(8) = 32 (8) + 128 = 128 =) j j = 128;
es decir, la piedra llega al suelo con una rapidez de 128 p/seg. F
Ejemplo 28 : Hallar la siguiente suma
X^ n
i=
(ai+1 ai)
SoluciÛn : Al expandir la suma dada se tiene
i = 1 i = 2 i = 3 i = n 1 i = n
Xn
i=
(ai+1 ai) =
z }| { a 2 a 1
z }| { a 3 a 2
z }| { a 4 a 3
z }| { an an 1
z }| { an+1 an
= an+1 a 1 ;
por lo tanto,
TÈrm ino m ayor evaluado en i = n
TÈrm ino m enor evaluado en i = 1
n^ #^ # X
i=
(ai+1 ai) =
z }| { an+1
z}|{ a 1 :
Este tipo de sumas que son diferencias de tÈrminos consecutivos se denominan suma telescÛpica. F
Ejemplo 29 : Hallar la siguiente suma
X^ n
i=
i 2
SoluciÛn : Es conocido que
(i + 1)
3 = i 3
3 i 3 = 3i 2
sumando desde i = 1 hasta i = n obtenemos
X^ n
i=
(i + 1)
3 i 3
X^ n
i=
3 i 2
donde,
i = 1 i = 2 i = 3 i = n
X^ n
i=
(i + 1)
3 i 3
| {z }
z }| { (2)
3 (1)
3
z }| { (3)
3 (2)
3
z }| { (4)
3 (3)
3
z }| { (n + 1)
3 (n)
3
= (n + 1)
3 1
Diferencia de tÈrm inos consecutivos, representa una sum a telescÛpica
y
Xn
i=
3 i 2
X^ n
i=
3 i 2
X^ n
i=
3 i +
X^ n
i=
X^ n
i=
3 i 2
X^ n
i=
i
|{z}
X^ n
i=
| {z }
X^ n
i=
i 2
n (n + 1)
2
X^ n
i=
i =
n (n + 1) 2
X^ n
i=
c = cn
asÌ,
X^ n
i=
(i + 1)
3 i 3
X^ n
i=
3 i 2
es equivalente a (n + 1)
3 1 = 3
X^ n
i=
i 2
n (n + 1)
2
despejamos
X^ n
i=
i 2 y nos queda
X^ n
i=
i 2 = (n + 1)
3 1 3
n (n + 1)
2
n =)
X^ n
i=
i 2 =
(n + 1)
3
n (n + 1) (n + 1)
es decir,
Xn
i=
i
2
(n + 1)
(n + 1)
2
3 n
2
X^ n
i=
i
2
(n + 1)
3
2 (n + 1)
2 3 n 2
2
por lo tanto,
Xn
i=
i 2 =
(n + 1)
3
2 n 2
2
X^ n
i=
i 2 =
(n + 1)
3
2 n 2
2
Finalmente, la suma buscada es Xn
i=
i 2 =
n (n + 1) (2n + 1)
6
F
Si k = 0, entonces, 3 = A ((0) + 3) + B (0) =) A = 1.
Si k = 3 , entonces, 3 = A (( 3) + 3) + B ( 3) =) B = 1.
Por lo tanto, 3
k (k + 3)
k
k + 3
asÌ, Xn
k=
k (k + 3)
X^ n
k=
k
k + 3
observemos que la nueva forma de escribir la suma nos lleva a la diferencia de dos tÈrminos, pero dichos tÈrminos no son
consecutivos, por lo tanto, no representa una suma telescÛpica.
Si sumamos y restamos los tÈrminos
k + 1
y
k + 2
obtenemos
X^ n
k=
k (k + 3)
X^ n
k=
k
k + 1
k + 1
k + 2
k + 2
k + 3
X^ n
k=
k
k + 1
| {z }
X^ n
k=
k + 1
k + 2
| {z }
X^ n
k=
k + 2
k + 3
| {z }
Diferencia de tÈrm inos consecutivos, representa una sum a telescÛpica
donde,
TÈrm ino m enor evaluado en k = 1
TÈrm ino m ayor evaluado en k = n
X^ n
k=
k
k + 1
z}|{ 1
1
z }| { 1
n + 1
similarmente,
X^ n
k=
k + 1
k + 2
n + 2
y
X^ n
k=
k + 2
k + 3
n + 3
por lo tanto,
Xn
k=
k (k + 3)
n + 1
n + 2
n + 3
es decir,
Xn
k=
k (k + 3)
n + 1
n + 2
n + 3
F
Ejemplo 33 : Obtenga el siguiente lÌmite, si existe.
lim n!
X^ n
i=
n
i
n
SoluciÛn : En primer lugar, manipulemos la sumatoria
X^ n
i=
n
i
n
X^ n
i=
n
i 2
n^2
X^ n
i=
i 2
n^3
n^3
X^ n
i=
i 2 ;
asÌ, por el ejemplo 29 esta suma es
Xn
i=
i
2
n (n + 1) (2n + 1)
6
por lo tanto,
X^ n
i=
n
i
n
X^ n
i=
n
i^2
n^2
X^ n
i=
n^3
i 2 =
n^3
X^ n
i=
i 2 =
n^3
n (n + 1) (2n + 1)
6
(n + 1) (2n + 1)
6 n^2
entonces,
lim n!
X^ n
i=
n
i
n
= lim n!
(n + 1) (2n + 1)
6 n^2
= lim n!
2 n 2
6 n^2 | {z }
L^0 H = lim n!
4 n + 3
12 n | {z }
L^0 H = lim n!
Indeterm inaciÛn
1 1
Indeterm inaciÛn
1 1
Finalmente,
lim n!
X^ n
i=
n
i
n
F
Ejemplo 34 : Obtenga el siguiente lÌmite, si existe.
lim n!
X^ n
i=
i 2
n^2
n
SoluciÛn : En primer lugar, manipulemos la sumatoria
X^ n
i=
c = cn
X^ n
i=
i^2 =
n (n + 1) (2n + 1) 6
X^ n
i=
i 2
n^2
n
n
X^ n
i=
i 2
n^2
n
Xn
i=
X^ n
i=
i 2
n^2
n
z }| { X^ n
i=
n^2
z }| { X^ n
i=
i
2
n
4 (n)
n^2
n (n + 1) (2n + 1)
6
(n + 1) (2n + 1)
6 n^2
entonces,
lim n!
X^ n
i=
i^2
n^2
n
= lim n!
(n + 1) (2n + 1)
6 n^2
= lim n!
4 lim n!
(n + 1) (2n + 1)
6 n^2 | {z }
Indeterm inaciÛn
1 1
Luego,
lim n!
X^ n
i=
i 2
n^2
n
F
Ejercicios
- Demuestre que si f (x) = arctan x, entonces f 0 (x) =
1 + x^2
- Suponga que
f (x) =
d
dx
p x
y g (x) =
d
dx
(x + 2)
Encuentre
Z
f (x) dx 2 :
Z
g (x) dx 3 :
Z
( f (x)) dx 4 :
Z
( g (x)) dx
Z
f (x)
4
dx 6 :
Z
2 g (x) dx 7 :
Z
(f (x) + g (x)) dx 8 :
Z
(f (x) g (x)) dx
- Calcular las siguientes integrales por manipulaciÛn algebraica
Z
6 dx 2 :
Z
^3 dx 3 :
Z
2 ^5 dx 4 :
Z
x ^2 dx 5 :
Z
p x dx
Z
b^2
p^3
db 7 :
Z
x
p^2
dx 8 :
Z
a
xp^2
dp 9 :
Z
sec^2 d 10 :
Z
csc^2 d
Z
5 p x^2
x^3
dx 12 :
Z
y 9 2 y 5
dy 13 :
Z
x 2
x^2
dx
Z
(x + 4)
2 dx 15 :
Z
(3 2 x)
2 dx 16 :
Z
(a + bt)
2 dt 17 :
Z
(a bt)
2 da
Z
(x + 4)
3 dx 19 :
Z
(3 2 x)
3 dx 20 :
Z
(a + bt)
3 dt 21 :
Z
(a bt)
4 dt
Z
y 2
dy 23 :
Z
a + bt 3
dt 24 :
Z
a + bt 3
da 25 :
Z
(x + 1)
3 dx
Z
t^2 + 1
t^2 2
p 3 t^2
dt 27 :
Z
(at)
1 =n dt 28 :
Z
(nx)
1 n n (^) dx 29 :
Z
x 4 1
x^2 + 1
dx
Z
cos 2 x
1 + sen x
dx 31 :
Z
cos 2t
sen^2 t
dt 32 :
Z
cos 2x dx
1
p 2 cos x
Z
cos^2
t
2
dt
Z
5 x + 8x 2 3 x 3 6
x^5 3 x^4
dx 35 :
Z
2 sen 2 x + 5 sen x 3
sen x + 3
dx 36 :
Z
(x 1)
2 dx 4 p x^3 (
p 3 x 1)
Z p 5 x^3 (x 1) p 3 x 1
dx 38 :
Z
cos 2 (arcsen x) 7
x^5
dx 39 :
Z
sec 4 (arctan x)
sen^2 (arctan x^2 )
dx
Z
x 3 8
x 2
dx 41 :
Z
sen 4t dt
cos 2t cos t
- Calcular las siguientes integrales utilizando el mÈtodo de la u-sustituciÛn
Z
(x + 4)
2 dx 2 :
Z
(3 2 x)
2 dt 3 :
Z
(a + bt)
2 dt 4 :
Z
(a bt)
2 da
Z
(x + 4)
3 dx 6 :
Z
(3 2 x)
3 dt 7 :
Z
(a + bt)
3 dt 8 :
Z
(a bt)
4 dt
Z
dx 4 p 5 x
Z
(3 t)
2 dt 11 :
Z
sen 2 x cos x dx 12 :
Z
cos 2 = 3 (bx) sen (bx) dx
Z
cos 2 t dt 14 :
Z
sen 3 x dx 15 :
Z
(3x + 5)
6 dx 16 :
Z
tan 2 = 3 (ax) sec 2 (ax) dx
Z
x dx p 1 x^2
Z
tan 3 t
cos^2 t
dt 19 :
Z
x
p 4 x dx 20 :
Z
sen (2 cos x) sen x dx
Z
dx p 9 x^2
Z
x^3 dx p a^2 x^2
Z
sen
p 1 t p 1 t
dt 24 :
Z
p arctan 2x
1 + 4x^2
dx
Z
sen^5 t dt 26 :
Z
cos^3 (2t) dt 27 :
Z
t^2
p 3 t + 2 dt 28 :
Z
x sen
1 x^2
dx
Z
x^5 dx p x^2 3
Z
x^7 dx p x^4 1
Z
dx
9 x^2 6 x + 2
Z
dx p 4 x 4 x^2 + 3
Z
x dx p 2 x^2 x^4
Z
dx
x
p 2 x 1
Z
sen 2x dx
(1 + sen^2 x)
Z
tan 3 (1 2 t)
cos (1 2 t)
dt
Z
sen x
p 3 3 cos x dx 38 :
Z p 3 2 5
p x p x
dx 39 :
Z
sen x dx
4 cos^2 x 4 cos x + 17
Z
dx p 6 x 9 x^2
Z
x dx p 1 x^4
Z
dx
x^2 + 6x + 10
- Encuentre, en el plano xy, la curva y = f (x) que pasa por el punto (1; 2) y cuya pendiente en cada punto es 4 x^2.
- Encuentre una funciÛn y = f (x), tal que,
d 2 y
dx^2
2 + 3x
4 x^3 =^2
, f tenga un mÌnimo relativo en
r 2
3
- El punto (3; 2) est· en una curva y en cualquier punto (x; y) de la curva, la recta tangente tiene una pendiente
igual a 2 x 3. Encontrar una ecuaciÛn de la curva.
- Si los frenos de un carro pueden darle una aceleraciÛn negativa constante de 20 p/seg 2 . øCu·l es la velocidad m·xima a que puede ir si es necesario parar el carro dentro de 80 p despuÈs de aplicados los frenos?
- Desarrolle las siguientes sumas
X^9
i=
(i + 2)
2 2 :
X^5
k=
k
k + 3
X^6
k=
k+
k
- Exprese en notaciÛn sigma la suma dada
p 3 +
p 4 +
p 5 +
p 6 +
p 7 3 :
5 : 1 x + x 2 x 3
n x n
- Hallar las siguientes sumas
X^ n
i=
i 2 :
X^ n
i=
i 2 3 :
X^ n
i=
i 3 4 :
X^ n
i=
i 4
- Hallar las siguientes sumas usando los resultados obtenidos en el ejercicio 14
X^ n
i=
(3i 2) 2 :
X^ n
i=
2 i 2
X^ n
i=
(2 i)
3 4 :
X^ n
i=
i 2
- Calcular las siguientes sumas
X^ n
i=
2 i 1
2 i + 1
X^ n
i=
i^2 + 4i + 3
X^ n
i=
i^2 1
- Demuestre que
X^10
k=
(2k 5) y
X^7
j=
(2j + 1) son iguales.
- Obtenga los lÌmites indicados, si existen.
1 : lim n!
X^ n
i=
n
i
n
2 : lim n!
X^ n
i=
n
3 i
n
3 i
n
3 : lim n!
X^ n
i=
n
2 i
n
2 i
n
