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314 Unidad 12 | Combinatoria
12 Combinatoria
ANALIZA Y CALCULA
En muchos países europeos existen loterías parecidas a esta. En España, es popular la bonoloto. Cada apuesta consiste en marcar 6 números de una tabla (del 1 al 49). Se obtiene premio si se aciertan tres números o más. ¿Crees que importa el orden en que se marcan los números?
El orden en que se marcan los números no importa.
¿Es más fácil acertar la bonoloto (6 de 49) o la antigua lotería genovesa (5 de 90)?
Es más fácil acertar la bonoloto porque, aunque hay que acertar un número más, hay muchos menos números para elegir.
Es mucho más fácil acertar tres números que los seis del sorteo. ¿Con cuántas apuestas distintas se pueden acertar 3 de los números de la combinación ganadora?
Con 18 424 apuestas distintas se pueden acertar tres de los números de la combinación ganadora de la bonoloto.
REFLEXIONA Y SACA CONCLUSIONES
¿Cuál es el origen de la lotería? ¿Dónde surgió?
La lotería genovesa surgió en Génova a finales del siglo XVI.
Génova era una república gobernada por cinco senadores, elegidos al azar entre noventa candidatos cada seis meses. En épocas de elecciones los ciudadanos empezaron a hacer apuestas sobre el resultado de las elecciones. Aunque al principio fue un juego prohibido, posteriormente se legalizó y adoptó el nombre de lotería genovesa.
¿Cuántas apuestas diferentes se pueden hacer: más de 100 000, más de un millón? ¿Crees que es muy complicado acertar los 5 números?
Se pueden hacer más de un millón de apuestas diferentes. En concreto, se pueden hacer 43 949 268 apuestas diferentes en la lotería genovesa. Por tanto, es bastante complicado acertar los 5 números.
Actividades propuestas
1. Una chica tiene 3 faldas y 5 blusas. ¿Cuántas combinaciones distintas de falda y blusa puede ponerse?
Por el principio de la multiplicación se puede poner N = 3 · 5 = 15 combinaciones distintas de falda y blusa.
2. Actividad resuelta.
3. Utiliza los siguientes dígitos y contesta: 2, 4, 6 y 8.
a) ¿Cuántos números distintos de tres cifras pueden formarse?
b) ¿Cuántos números que no contengan ninguna cifra repetida?
c) ¿Cuántos que tengan un solo dígito repetido?
a) Cada cifra del número se puede elegir entre cualquiera de las cuatro disponibles. Por el principio de la multiplicación, se podrán formar N = 4 · 4 · 4 = 64 números distintos de tres cifras.
b) Una de las cifras del número puede ser cualquiera de los cuatro dígitos disponibles, otra cifra cualquiera de los tres dígitos restantes... Por el principio de la multiplicación, se podrán formar N = 4 · 3 · 2 = 24 números distintos de tres cifras que no contengan ninguna cifra repetida.
c) En total se pueden formar 64 números, de los cuales 24 no contienen ninguna cifra repetida y 4 contienen todas las cifras repetidas. Por tanto, habrá 64 – 24 – 4 = 36 números que tengan un solo dígito repetido.
Combinatoria | Unidad 12 315
4. En una fila del cine van a sentarse 4 hombres y 3 mujeres.
a) ¿De cuántas formas pueden sentarse para que no haya ni dos hombres ni dos mujeres juntas?
b) ¿Y si todos los hombres han de estar juntos y las mujeres también? ¿Y si las mujeres han de estar juntas pero los hombres pueden estar separados?
a) Si no puede haber ningún hombre ni ninguna mujer juntos, la única forma de sentarse es HMHMHMH , donde H representa a un hombre y M a una mujer. Es decir, un hombre puede ocupar las posiciones impares y, una mujer, las pares. Por tanto, habrá 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras de ordenar a los hombres y 3 · 2 · 1 = 6 de ordenar a las mujeres.
Por el principio de la multiplicación habrá N = 24 · 6 = 144 formas de ordenar a 4 hombres y 3 mujeres en una fila, de manera que no haya dos hombres ni dos mujeres juntas.
b) Si todos los hombres han de estar juntos y las mujeres también, existen dos formas de sentarse: HHHHMMM o MMMHHHH. En cada ordenación hay 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras de ordenar a los hombres y 3 · 2 · 1 = 6 de ordenar a las mujeres. Por el principio de la multiplicación habrá N = 2 · 24 · 6 = 288 formas de ordenar a 4 hombres y 3 mujeres en una fila, de manera que los hombres estén juntos y las mujeres también.
Si las mujeres han de estar juntas y los hombres pueden estar separados, existen cinco formas de sentarse: HHHHMMM , HHHMMMH , HHMMMHH, HMMMHHH o MMMHHHH. En cada ordenación hay 4 · 3 · 2 · 1 = 24 maneras de ordenar a los hombres y 3 · 2 · 1 = 6 de ordenar a las mujeres. Por el principio de la multiplicación habrá N = 5 · 24 · 6 = 720 formas de ordenar a 4 hombres y 3 mujeres en una fila, de manera que las mujeres estén juntas.
5. ¿Cuántos menús puede elaborar Juan con estos platos? Realiza el recuento con la ayuda de un diagrama
de árbol.
Menú
er plato 2.º plato Postre Menestra de verduras Pollo en salsa Fruta Frijoles con arroz Salmón a la plancha Natillas Ensalada templada Albóndigas Tarta de queso Tallarines al pesto Cuajada con miel
Por cada primer plato se pueden elaborar 12 menús diferentes. Como hay 4 opciones para elegir como primer planto, entonces Juan podrá elaborar 12 · 4 = 48 menús diferentes.
6. ¿Cuántos resultados se pueden obtener al extraer dos bolas sin reemplazamiento de una urna que
contiene 2 bolas blancas, 1 verde y 1 amarilla?
Se podrán obtener 7 resultados diferentes.
Combinatoria | Unidad 12 317
10. En una liga de baloncesto escolar participan 12 equipos. Cada equipo juega contra todos los demás, a
doble vuelta. ¿Cuántos partidos se disputan en total?
Para cada partido se eligen 2 equipos de los 12. El orden influye, ya que hay partidos de ida y vuelta. Entonces de 12 elementos hay que elegir 2 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 12 elementos tomados de 2 en 2.
V 12, 2 = 12 · 11 = 132
Se disputan 132 partidos en total.
11. Con las letras de la palabra BURGOS:
a) ¿Cuántas palabras de 4 letras, con significado o sin él, se pueden formar?
b) ¿Cuántas de ellas tienen alguna letra repetida?
a) Hay que seleccionar 4 letras de entre 6, pero una misma letra puede estar repetida y el orden influye.
Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4.
VR 6, 4 = 6^4 = 1296
Se pueden formar 1296 palabras de 4 letras, con significado o sin él.
b) Calculamos el número de palabras de 4 letras, con significado o sin él, que se pueden formar sin repetir ninguna letra.
Para cada palabra se eligen 4 letras diferentes de las 6 disponibles. El orden influye, ya que al intercambiar dos letras la palabra es distinta. Entonces de 6 elementos hay que elegir 4 y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4.
V 6, 4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360
Se pueden formar 360 palabras de 4 letras, con significado o sin él, sin repetir ninguna letra.
Por tanto, habrá 1296 – 360 = 936 palabras, con o sin significado, en las que se repita al menos una letra.
12. Con los dígitos {3, 4, 5, 6, 7 y 8}:
a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar?
b) ¿Cuántos no tienen ninguna cifra repetida?
a) Hay que seleccionar 3 cifras de entre 6, pero una misma cifra puede estar repetida y el orden influye.
Se trata de calcular las variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3.
VR 6, 3 = 6 3 = 216
Se pueden formar 216 números de tres cifras.
b) Para cada número se eligen 3 dígitos diferentes de los 6 disponibles. El orden influye, ya que al intercambiar dos cifras el número es distinto. Entonces de 6 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3.
V 6, 3 = 6 · 5 · 4 = 120
Se pueden formar 120 números de 3 cifras sin repetir ninguna cifra.
13. En el alfabeto Braille cada letra y cada signo está representado por 6 puntos, distribuidos en dos columnas
de 3, de los cuales unos están en relieve y otros no. ¿Cuántos signos distintos se pueden formar así?
Hay que seleccionar 6 elementos de entre 2. En cada grupo habrá elementos repetidos y el orden influye.
Se trata de calcular las variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 6 en 6.
VR 2, 6 = 2^6 = 64
Se pueden formar 64 signos distintos.
14. Actividad resuelta.
318 Unidad 12 | Combinatoria
15. Cinco amigos han sacado cinco entradas consecutivas en la misma fila para ver el último estreno de cine.
a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse?
b) Luis y Carmen quieren estar en butacas contiguas. ¿De cuántas maneras se pueden sentar ahora los cinco amigos?
a) Cualquiera de los 5 amigos puede ocupar cualquiera de las 5 butacas. Entonces, de 5 elementos, se toman los 5 y dos ordenaciones serán distintas si los amigos están en diferente butaca.
Se trata de calcular las permutaciones de orden 5.
P 5 = 5! = 120
Se pueden sentar de 120 maneras diferentes.
b) Si dos amigos quieren estar juntos, se pueden considerar como uno solo y quedan 4 amigos para colocar: P 4 =
Pero hay dos formas de colocar a los dos amigos que quieren estar juntos: P 2 = 2! = 2.
Aplicando el principio de la multiplicación, los amigos tendrán N = 24 · 2 = 48 formas de sentarse.
16. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse 5 personas en un coche si…
a) … todos tienen carnet de conducir?
b) … solo una de ellas tienen carnet de conducir?
c) … hay dos que tienen carnet de conducir?
a) Cualquiera de las 5 personas puede ocupar cualquiera de los 5 asientos del coche. Entonces, de 5 elementos, se toman los 5 y dos ordenaciones serán distintas si las personas están en diferente asiento.
Se trata de calcular las permutaciones de orden 5.
P 5 = 5! = 120
Se pueden sentar de 120 maneras diferentes.
b) La persona que tiene carnet de conducir tiene que sentarse en el asiento del conductor.
Cualquiera de las 4 personas restantes puede ocupar cualquiera de los 4 asientos restantes del coche. Entonces, de 4 elementos, se toman los 4 y dos ordenaciones serán distintas si las personas están en diferente asiento.
Se trata de calcular las permutaciones de orden 4.
P 4 = 4! = 24
Se pueden sentar de 24 maneras diferentes.
c) Las personas que tienen el carnet de conducir son las únicas que se pueden sentar en la plaza del conductor. Así estas dos personas se pueden considerar como una sola y quedan 4 personas para colocar: P 4 = 24.
Pero hay dos formas de colocar a las dos personas que tienen el carnet de conducir: P 2 = 2! = 2.
Aplicando el principio de la multiplicación, habrá N = 24 · 2 = 48 formas de sentarse.
17. ¿Cuántas palabras distintas de 4 letras, con significado o sin él, se pueden formar con las letras de la
palabra GAME****? Si las colocamos por orden alfabético, ¿en qué posición estará la palabra GAME****?
Como GAME tiene 4 letras, se quieren hacer grupos de 4 elementos distintos y el orden es determinante, se trata de calcular permutaciones de orden 4.
P 4 = 4! = 24
Se pueden hacer 24 palabras, con significado o sin él, con las letras de la palabra GAME.
Para hallar la posición en la que estará la palabra GAME se cuentan cuántas palabras empiezan por A y cuántas por E.
Palabras que empiezan por A : se quieren hacer grupos de 3 elementos con las 3 letras restantes. Se trata de calcular permutaciones de orden 3: P 3 = 3! = 6.
Palabras que empiezan por E : se quieren hacer grupos de 3 elementos con las 3 letras restantes. Se trata de calcular permutaciones de orden 3: P 3 = 3! = 6.
Por G , ordenadas alfabéticamente, las palabras que se pueden formar son: GAEM , GAME …
Por tanto, si colocamos por orden alfabético las palabras, la palabra GAME ocupará la posición 14.
320 Unidad 12 | Combinatoria
21. Ana nació en el año 2000 y quiere crear una clave de 7 caracteres con las letras de su nombre y los dígitos
de su año de nacimiento.
a) ¿Cuántas claves distintas podrá formar?
b) ¿Cuántas de ellas tienen las tres letras al principio y las cuatro cifras al final?
c) ¿Cuántas tienen las tres letras juntas?
a) Hay que crear claves de 7 caracteres con los símbolos 2, 0, 0, 0, A , N , A. Por tanto, se toman todos los elementos, el orden influye y en cada grupo hay elementos repetidos.
Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 7 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y los otros dos, 1 vez.
3,2,1,1, 7
PR = =
Se pueden crear 420 claves distintas.
b) Si las tres letras deben ir al principio, hay 3 2,
PR = =
formas distintas de ordenar las letras al inicio de la
clave.
Pero además hay 4 3,
PR = =
formas distintas de ordenar las cuatro cifras al final de la clave.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 3 · 4 = 12 claves diferentes.
c) Si las tres letras deben estar juntas, se pueden considerar como una sola y quedan 5 símbolos para colocar. Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 5 elementos en los que uno se repite 3 veces y los otros 2 una vez.
1,1, 5
PR = =
Pero hay 3 formas de ordenar las tres letras: 2,1 3
PR = =
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 20 · 3 = 60 claves diferentes.
22. Usando todas las letras de la palabra BANANA.
a) ¿Cuántas palabras distintas, con significado o sin él, se pueden formar?
b) ¿En cuántas de estas palabras las tres aes ocupan los lugares pares?
c) ¿En cuántas de ellas las tres aes están juntas?
a) Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 6 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y otro, 1 una vez.
3,2, 6
PR = =
Se pueden crear 60 palabras distintas.
b) Si las tres aes deben ocupar los lugares pares, entonces el resto de letras tienen que ocupar los lugares impares.
Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 3 elementos en los que uno se repite 2 veces, y otro, 1 vez.
2, 3
PR = =
Se pueden crear 3 palabras distintas.
c) Si las tres aes están juntas, se pueden considerar como una sola y quedan 4 letras para colocar. Son permutaciones con repetición de 4 elementos en los que uno se repite 2 veces, y los otros dos, 1 vez.
2,1, 4
PR = =
Se pueden crear 12 palabras distintas.
Combinatoria | Unidad 12 321
23. Mario va a colocar 50 libros en cajas de 6. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
Mario dispone de 50 libros de los que hay que seleccionar 6 diferentes sin importar el orden de esos 6.
Se trata de calcular las combinaciones de 50 elementos tomados de 6 en 6.
50,
C = =
Se pueden colocar de 15 890 700 formas distintas.
24. Para aprobar un examen de 5 preguntas es necesario contestar bien a tres de ellas. ¿De cuántas formas se
pueden elegir las tres preguntas?
De 5 preguntas hay que seleccionar 3 diferentes sin importar el orden de esas 3.
Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.
5,
C = =
Las tres preguntas se pueden elegir de 10 formas distintas.
25. Ocho equipos llegan a cuartos de final en un campeonato. ¿Cuántos partidos diferentes se pueden dar?
De 8 equipos hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 8 elementos tomados de 2 en 2.
8,
C = =
Se pueden dar 28 partidos diferentes.
26. En una clase de baile de salón hay 12 personas. ¿Cuántas parejas de baile pueden darse?
De 12 personas hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esas 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2.
12,
C = =
Se pueden dar 66 parejas de baile diferentes.
27. Un estudiante debe elegir 3 temas de física de 5 posibles, y 2 de química, de 4 posibles. ¿De cuántas
maneras puede elegir los temas de física? ¿Y los temas que va a estudiar?
De 5 temas de física hay que seleccionar 3 diferentes sin importar el orden de esos 3.
Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3: C 5,3 = 10
Puede elegir de 10 formas diferentes los temas de física.
De 4 temas de química hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2: C 4,2 = 6
Puede elegir de 6 formas diferentes los temas de química.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 10 · 6 = 60 formas diferentes de elegir los temas que va estudiar.
28. Calcula los siguientes números combinatorios.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Combinatoria | Unidad 12 323
33. Para volar de Madrid a Wellington (Nueva Zelanda) hay que hacer dos escalas: en Dubái y en Melbourne.
Hay tres compañías que vuelan de Madrid a Dubái, dos que vuelan de Dubái a Melbourne y tres que enlazan Melbourne y Wellington. a) Haz un diagrama en árbol.
b) ¿De cuántas maneras se puede organizar el viaje?
a) Llamamos C 1 , C 2 , C 3 a las compañías que vuelan de Madrid a Dubái, C 4 y C 5 a las que vuelan de Dubái a Melbourne y C 6 , C 7 y C 8 a las que unen Melbourne con Wellington.
El diagrama de árbol es el siguiente:
Si se vuela de Madrid a Dubái con la compañía C 2 o la C 3 , las ramas del árbol serían igual.
b) De Madrid a Dubái se puede viajar con 3 compañías, de Dubái a Melbourne con 2 y de Melbourne a Wellington con 3.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 3 · 2 · 3 = 18 formas diferentes de viajar.
34. Una línea de ferrocarril constaba de 10 estaciones. En cada billete figura la estación de partida y la de
llegada. a) ¿Cuántos billetes distintos hay?
b) La línea se ha ampliado con 3 nuevas estaciones. ¿Cuántos billetes nuevos habrá que imprimir?
a) La estación de partida puede ser cualquiera de las 10 estaciones de las que constaba el ferrocarril y, la de llegada, cualquiera de las 9 restantes.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 10 · 9 = 90 billetes distintos.
b) La estación de partida puede ser cualquiera de las 13 estaciones de las que consta el ferrocarril y, la de llegada, cualquiera de las 12 restantes.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 13 · 12 = 156 billetes distintos.
Por tanto, habrá que imprimir 156 – 90 = 66 billetes nuevos.
35. Calcula.
a) V 7, 5 d) V 20, 5
b) V 6, 1 e) VR 2, 5
c) V 12, 3 f) VR 3, 4
a) V 7, 5 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2520 d) V 20, 5 = 20 · 19 ·18 · 17 · 16 = 1 860 480
b) (^) V 6, 1 = 6 e) VR 2, 5 = 2^5 = 32
c) V 12, 3 = 12 · 11 · 10 = 1320 f) VR 3, 4 = 34 = 8 1
324 Unidad 12 | Combinatoria
36. ¿De cuántas maneras pueden aparcar 4 coches en 7 plazas de garaje diferentes?
Para cada ordenación se eligen 4 plazas de las 7 disponibles.
Entonces de 7 elementos hay que elegir 4 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 7 elementos tomados de 4 en 4.
V 7, 4 = 7 · 6 · 5 · 4 = 840
Hay 840 maneras de aparcar diferentes.
37. Una expedición de alta montaña está formada por 10 alpinistas, 4 expertos y 6 novatos.
a) ¿De cuántas maneras pueden formar una cordada de 3 personas?
b) Si la cordada la tiene que encabezar un alpinista experto, ¿cuántas cordadas diferentes pueden formar?
a) Para cada cordada se eligen 3 alpinistas de los 10 disponibles.
Entonces de 10 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3.
V 10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720
Hay 720 cordadas de tres personas diferentes.
b) De 4 expertos hay que seleccionar 1 para encabezar la cordada.
Entonces hay 4 formas diferentes de encabezar la cordada.
De los 9 restantes alpinistas hay que elegir 2 para la cordada.
Entonces de 9 elementos hay que elegir 2 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 9 elementos tomados de 2 en 2.
V 9, 2 = 9 · 8 = 72
Hay 72 formas diferentes de elegir a los dos alpinistas.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 4 · 72 = 288 cordadas diferentes encabezadas por un alpinista experto.
38. La profesora de lengua quiere organizar una obra de teatro en la que haya 5 personajes masculinos y 3
femeninos. En la clase hay 10 chicas y 13 chicos. a) ¿De cuántas maneras puede repartir los papeles masculinos entre los chicos?
b) ¿Y los femeninos entre las chicas?
c) ¿Cuántos repartos globales diferentes puede organizar?
a) Para la obra se eligen 5 chicos de los 13 disponibles.
Entonces de 13 elementos hay que elegir 5 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 13 elementos tomados de 5 en 5.
V 13, 5 = 13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154 440
Hay 154 440 maneras diferentes de repartir los papeles masculinos entre los chicos.
b) Para la obra se eligen 3 chicas de las 10 disponibles.
Entonces de 10 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3.
V 10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720
Hay 720 maneras diferentes de repartir los papeles femeninos entre las chicas.
c) Aplicando el principio de multiplicación, se podrán organizar N = 154 440 · 720 = 111 196 800 repartos globales.
326 Unidad 12 | Combinatoria
42. Utilizando exclusivamente las cifras pares 2, 4, 6 y 8, y sin que se repita ninguna.
a) ¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar?
b) ¿Cuántos de ellos son mayores que 7000?
c) ¿Cuántos de ellos son menores que 5000?
a) Como hay 4 cifras para elegir y se quieren hacer grupos de 4 elementos diferentes, se trata de calcular permutaciones de orden 4. Hay P 4 = 4! = 24 números distintos de 4 cifras utilizando las cifras pares.
b) Si el número ha de ser mayor de 7000 la primera cifra debe ser 8. Por tanto, se trata de calcular permutaciones de orden 3. Hay P 3 = 3! = 6 números distintos mayores que 7000.
c) Si el número ha de ser menor que 5000 la primera cifra debe ser 2 o 4. Por tanto, para cada caso se trata de calcular permutaciones de orden 3. Hay 2 · P 3 = 2 · 3! = 2 · 6 = 12 números distintos menores que 5000.
43. La palabra HOUSEMAID no tiene ninguna letra repetida y además contiene 5 vocales. Si utilizamos una
sola vez cada una de sus letras:
a) ¿Cuántas palabras distintas podemos formar?
b) ¿Cuántas tienen las 5 vocales juntas al principio?
c) ¿En cuántas las vocales ocupan las posiciones impares y las consonantes, las pares?
d) ¿Cuántas empiezan por consonante?
e) ¿Cuántas empiezan y terminan por consonante?
a) Como HOUSEMAID tiene 9 letras, se quieren hacer grupos de 9 elementos sin repetir ninguno e influye el orden. Se trata de calcular las permutaciones de orden 9. P 9 = 9! = 362 880 Se pueden formar 362 880 palabras distintas.
b) Para ordenar las vocales hay que elegir 5 diferentes de las 5 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 5. P 5 = 5! = 120 Se pueden formar 120 grupos distintos. Para ordenar las consonantes hay que elegir 4 diferentes de las 4 disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4. P 4 = 4! = 24 Se pueden formar 24 grupos distintos. Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 120 · 24 = 2880 palabras diferentes.
c) Las vocales pueden ocupar cualquiera de los 5 lugares impares que hay. Se trata de calcular las permutaciones de orden 5: P 5 = 5! = 120 Las consonantes pueden ocupar cualquiera de los 4 lugares pares que hay. Se trata de calcular las permutaciones de orden 4: P 4 = 4! = 24 Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 120 · 24 = 2880 palabras diferentes en las que las vocales ocupen los lugares impares y las consonantes los pares.
d) La primera letra puede ser cualquiera de las 4 consonantes disponibles. Para ordenar el resto de letras hay que elegir 8 diferentes de las 8 que quedan disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 8. P 8 = 8! = 40 320 Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 4 · 40 320 = 161 280 palabras diferentes en las que la primera letra es una consonante.
e) La primera letra puede ser cualquiera de las 4 consonantes disponibles y, la última, cualquiera de las 3 consonantes restantes. Para ordenar el resto de letras hay que elegir 7 diferentes de las 7 que quedan disponibles y el orden es determinante. Se trata de calcular las permutaciones de orden 7. P 7 = 7! = 5 040 Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 4 · 3 · 5040 = 60 480 palabras diferentes en las que la primera y la última letra sea una consonante.
Combinatoria | Unidad 12 327
44. En la lotería de Navidad hay 100 000 números, desde el 00 000 hasta el 99 999. ¿Cuántos números distintos
hay que tengan 3 veces la cifra 3 y 2 veces la cifra 2?
Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 5 elementos en los que uno se repite 3 veces y otro 2.
3, 5
PR = =
Hay 10 números distintos que tengan 3 veces la cifra 3 y 2 veces la cifra 2.
45. Con las letras de la palabra ANAGRAMA , ¿cuántas palabras, con o sin significado, puedes formar?
a) ¿Cuántas empiezan y terminan por A****?
b) ¿Cuántas tienen las letras A en la misma posición que la palabra ANAGRAMA****?
Se quieren hacer grupos de 8 elementos en los que uno se repite 4 veces y los otros 4 una vez, e influye el orden.
Son permutaciones con repetición de 8 elementos en los que uno se repite 4 veces, y los otros cuatro, 1 vez.
4,1,1,1, 8
PR = =
Se pueden formar 1680 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra ANAGRAMA.
a) La primera letra y la última deben ser una A. Para ordenar el resto de letras, se quieren hacer grupos de 6 elementos en los que uno se repite 2 veces y los otros cuatro, 1 vez, e influye el orden.
Se trata de calcular las permutaciones con repetición de 6 elementos en los que uno se repite 2 veces y los otros cuatro, 1 vez.
2,1,1,1, 6
PR = =
Se pueden formar 360 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra ANAGRAMA que empiezan y terminan por A ..
b) Las letras A se fijan en la misma posición que en la palabra ANAGRAMA. Para ordenar el resto de letras hay que elegir 4 diferentes de las 4 que quedan disponibles y el orden es determinante.
Se trata de calcular las permutaciones de orden 4.
P 4 = 4! = 24
Se pueden formar 24 palabras diferentes, con o sin significado, con las A en la misma posición que en la palabra ANAGRAMA.
46. Calcula.
a) C 5,3 c) C 7,
b) C 8,6 d) C 10,
a) C 5,3 =
c) C 7,2 =
b) C 8,6 =
d) C 10,9 =
47. Antes del inicio de una reunión, sus 10 asistentes se dan la mano entre sí. ¿Cuántos choques de mano se
producen?
De 10 asistentes hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2.
10,
C = =
Se producen 45 choques de manos en total.
Combinatoria | Unidad 12 329
52. Una baraja española consta de 40 cartas, 10 cartas de cada palo: oros, copas, espadas y bastos.
a) ¿Cuántas manos diferentes de 4 cartas se pueden formar?
b) ¿En cuántas de ellas las 4 cartas son de oros?
c) ¿En cuántas dos cartas son de oros, y dos, de copas?
a) De 40 cartas hay que seleccionar 4 diferentes sin importar el orden de esas 4.
Se trata de calcular las combinaciones de 40 elementos tomados de 4 en 4.
40,
C = =
Se pueden formar 91 390 manos diferentes.
b) De 10 cartas de oros hay que seleccionar 4 diferentes sin importar el orden de esas 4.
Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.
10,
C = =
Las cuatro cartas son de oros en 210 manos.
c) De 10 cartas de oros hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esas 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2.
10,
C = =
Hay 45 manos en las que las dos cartas son de oros.
De 10 cartas de copas hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esas 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2.
Hay 45 manos en las que las dos cartas son de copas.
Aplicando el principio de multiplicación, habrá N = 45 · 45 = 2025 manos en las que dos cartas sean de copas y dos de oros.
330 Unidad 12 | Combinatoria
53. En un torneo de tenis participan 5 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántos partidos se pueden organizar en las
modalidades?
a) Individual masculino. d) Dobles femeninos.
b) Individual femenino. e) Dobles mixtos.
c) Dobles masculinos.
a) De 5 hombres hay que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esos 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2.
5,
C = =
Se pueden organizar 10 partidos individuales masculinos diferentes.
b) De 4 mujeres que elegir 2 diferentes sin importar el orden de esas 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2.
4,
C = =
Se pueden organizar 6 partidos individuales femeninos diferentes.
c) Para formar el primer equipo, de 5 hombres hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2: C 5 , 2 = 10
El primer equipo se puede formar de 10 formas diferentes.
Para formar el segundo equipo, de los 3 hombres que quedan hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esos 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2: C 3 , 2 = 3
El segundo equipo se puede formar de 3 formas diferentes.
Aplicando el principio de multiplicación N = 10 · 3 = 300, pero en ellos se está incluyendo dos veces cada partido porque una pareja puede estar en el primer equipo o en el segundo.
Por tanto, habrá 5,2^ 3, 2
C C
P
= = partidos dobles masculinos diferentes.
d) Para formar el primer equipo, de 4 mujeres hay que seleccionar 2 diferentes sin importar el orden de esas 2.
Se trata de calcular las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2: C 4 , 2 = 6
El primer equipo se puede formar de 6 formas diferentes.
Para formar el segundo equipo, hay que seleccionar a las 2 mujeres que quedan. Hay una única manera de formar el segundo equipo.
Aplicando el principio de multiplicación N = 6 · 1 = 6, pero en ellos se está incluyendo dos veces cada partido porque una pareja puede estar en el primer equipo o en el segundo.
Por tanto, habrá 4,2^ 2, 2
C C
P
= = partidos dobles femeninos diferentes.
e) Para formar el primer equipo, de 5 hombres hay que seleccionar uno y de 4 mujeres hay que seleccionar una.
El primer equipo se puede formar de C 5 , 1 · C 4 , 1 = 5 · 4 = 20 formas diferentes.
Para formar el segundo equipo, de los 4 hombres que quedan hay que seleccionar uno y de 3 mujeres que quedan hay que seleccionar una.
El segundo equipo se puede formar de C 4 , 1 · C 3 , 1 = 4 · 3 = 12 formas diferentes.
Aplicando el principio de multiplicación N = 20 · 12 = 240, pero en ellos se está incluyendo dos veces cada partido porque una pareja puede estar en el primer equipo o en el segundo.
Por tanto, habrá 5,1^ 4,1^ 4,1^ 3, 2
C C C C
P
= = partidos mixtos diferentes.
54. Actividad resuelta.
332 Unidad 12 | Combinatoria
59. Una urna contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener si…?
a) … se sacan tres bolas sucesivamente?
b) … se sacan de una en una, y tras cada extracción, se vuelve a introducir la bola en la urna?
c) … se sacan tres bolas simultáneamente?
a) De las 10 bolas hay que extraer 3 sucesivamente. Entonces de 10 elementos hay que elegir 3 diferentes y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones sin repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3.
V 10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720
Se pueden obtener 720 resultados diferentes.
b) De las 10 bolas hay que extraer 3 con reemplazamiento. Entonces de 10 elementos hay que elegir 3, los elementos pueden repetirse y el orden es determinante.
Se trata de calcular las variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3.
VR 10, 3 = 10^3 = 1000
Se pueden obtener 1000 resultados diferentes.
c) De 10 bolas hay que elegir 3 diferentes sin importar el orden de esas 3.
Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3.
10,
C = =
Se pueden obtener 120 resultados diferentes.
60. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin significado se pueden formar con las letras de estas palabras?
a) LIBELULA b) CACATUA c) ANACONDA
a) Se quieren hacer grupos de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces y los otros 5 una vez, e influye el orden.
Son permutaciones con repetición de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces y los otros cinco, 1 vez. 3,1,1,1,1, 8
PR = =
Se pueden formar 6720 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra LIBELULA.
b) Se quieren hacer grupos de 7 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro 2 veces, y los otros dos, 1 vez, e influye el orden.
Son permutaciones con repetición de 7 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro 2 veces, y los otros dos, 1 vez. 3,2,1, 7
PR = =
Se pueden formar 420 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra CACATUA.
c) Se quieren hacer grupos de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y los otros tres, 1 vez, e influye el orden.
Son permutaciones con repetición de 8 elementos en los que uno se repite 3 veces, otro, 2 veces, y los otros tres, 1 vez. 3,2,1,1, 8
PR = =
Se pueden formar 3360 palabras diferentes, con o sin significado, con las letras de la palabra ANACONDA.
Combinatoria | Unidad 12 333
61. Un estudiante debe resolver en un examen 8 problemas de 10 propuestos.
a) ¿De cuántas formas puede hacer la selección?
b) Si debe resolver obligatoriamente los 4 primeros. ¿De cuántas formas puede seleccionar ahora los problemas?
c) Debe responder obligatoriamente 3 de los 5 primeros problemas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección del examen ahora?
a) De 10 problemas propuestos hay que elegir 8 diferentes sin importar el orden de esos 8. Se trata de calcular las combinaciones de 10 elementos tomados de 8 en 8.
10,
C = =
La selección se puede hacer de 45 formas diferentes.
b) Si debe resolver obligatoriamente los 4 primeros problemas, de los 6 problemas restantes hay que elegir 4 diferentes sin importar el orden de esos 4. Se trata de calcular las combinaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4.
6,
C = =
La selección se puede hacer de 15 formas diferentes.
c) Si tiene que contestar 8 preguntas de 10 obligatoriamente tendrá que escoger 3 de los 5 primeros problemas, pues únicamente podrá dejar sin contestar 2 problemas en total. Por tanto, habrá 45 formas diferentes.
62. La diagonal de un polígono une dos de sus vértices no consecutivos. Un triángulo no tiene ninguna
diagonal, un cuadrado tiene dos, un pentágono 5…
a) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono?
b) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
a) Un decágono tiene 10 vértices. Hay (^) 10,
C = =
uniones posibles de 2 vértices distintos, consecutivos o
no. Si de estas 45 uniones posibles eliminamos las que corresponden a vértices consecutivos, se obtendrá el número de diagonales de un decágono.
Como un polígono tiene tantas uniones de vértices consecutivos como lados tiene, entonces un decágono tendrá 45 – 10 = 35 diagonales.
b) Hay
,
n
n C n
uniones posibles de 2 vértices distintos, consecutivos o no.
De estas uniones posibles eliminamos las que corresponden a vértices consecutivos. Como un polígono de n lados tiene n uniones de vértices consecutivos, entonces un polígono de n lados tendrá:
! ( 1 )^ ( 1 )^22 2
n n n^ n n^ n n n n n n n n n
diagonales.
63. La diagonal de un poliedro es la recta que une dos vértices no pertenecientes a la misma cara. ¿Cuántas
diagonales tiene un dodecaedro?
Un dodecaedro tiene 12 caras, 20 vértices y 30 aristas.
Hay (^) 20,
C = =
uniones posibles de 2 vértices distintos, pertenecientes o no a la misma cara. Si de estas
190 uniones posibles eliminamos las que corresponden a las aristas y a las diagonales de una cara, se obtendrá el número de diagonales de un dodecaedro.
Un dodecaedro está formado por caras que son pentágonos regulares. Cada cara tendrá
= diagonales.
Por tanto, un dodecaedro tendrá 190 – 30 – 12 · 5 = 100 diagonales.
