¡Descarga Composición de funciones en el cálculo diferencial e integral y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
CAPÍTULO
Funciones
1
2.4 Composición de funciones
Definiremos otra nueva función, la composición de g seguida de f , denotada por f ı g. El dominio
de f ı g es un subconjunto del dominio de g y se expresa como Df ıg. El contradominio de f ı g es el
contradominio de f. A cualquier elemento x 2 Df ıg la función f ı g le hace corresponder f Œg.x/•.
Así:
.f ı g/.x/
def D f Œg.x/•:
La función f ı g se denomina también como g compuesta con f.
Dg Rg Cf
Df
x g^ g.x/ f f Œg.x/•
f ı g
El dominio de esta función es
Df ıg D
x 2 R
∣ (^) .f ı g/.x/ 2 R
D
x 2 R
∣ (^) f Œg.x/• 2 R
D
D
x 2 R
∣ (^) g.x/ 2 R & f Œg.x/• 2 R
D
x 2 R
∣ (^) x 2 D g &^ g.x/^2 Df
D
D
x 2 Dg
∣ (^) g.x/ 2 D f
1 canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
2 Cálculo Diferencial e Integral I
Ejemplo 2.4.1 Dadas las funciones
f .u/ D
p 25 u; g.t/ D t
2 C 9 & h.y/ D
y 5 :
- Obtener los dominios de f , g & h.
- Obtener .h ı g/.x/ y el dominio de h ı g.
- Obtener .g ı h/.x/ y el dominio de g ı h.
- Obtener .g ı f /.x/ y el dominio de g ı f.
- Obtener .f ı g/.x/ y el dominio de f ı g.
- Obtener .h ı f /.x/ y el dominio de h ı f.
- Obtener .f ı h/.x/ y el dominio de f ı h.
H
Df D
u 2 R
∣ (^) f .u/ 2 R
D
u 2 R
p 25 u 2 R
D
D
u 2 R
∣ (^25) u 0
D
u 2 R
∣ (^) u 25
D . 1; 25• I
Dg D
t 2 R
∣ (^) g.t/ 2 R
D
t 2 R
∣ (^) .t^2 C 9/ 2 R
D R I
Dh D
y 2 R
∣ (^) h.y/ 2 R
D
y 2 R
y 5 2 R
D
D
y 2 R
∣ (^) y 5 0
D
y 2 R
∣ (^) y 5
D Œ5; C1/ :
.h ı g/.x/ D hŒg.x/• D h.x
2 C 9/ D
.x^2 C 9/ 5 D
x^2 C 4:
Vemos que g.x/ 2 Dh ) g.x/ 2 Œ5; C1/ ) x
2 C 9 5.
Dhıg D
x 2 Dg
∣ (^) g.x/ 2 D h
D
x 2 R
∣ (^) x^2 C 9 5
D
D
x 2 R
∣ (^) x^2 4
D R :
.g ı h/.x/ D gŒh.x/• D g.
p
x 5/ D.
p
x 5/
2 C 9 D x 5 C 9 D x C 4 I
Dgıh D
x 2 Dh
∣ (^) h.x/ 2 D g
D
x 5
p
x 5 2 R
D
D
x 5
∣ (^) x 5
D
x 2 R
∣ (^) x 5
D Œ5; C1/ :
Como se puede apreciar la composición de funciones no es conmutativa. Esto es, en general
.g ı h/.x/ 6 D .h ı g/.x/:
.g ı f /.x/ D gŒf .x/• D g.
p
25 x/ D.
p
25 x/
2 C 9 D 25 x C 9 D 34 xI
Dgıf D
x 2 Df
∣ (^) f .x/ 2 D g
D
x 25
p 25 x 2 R
D
D
x 25
∣ (^25) x 0
D
x 25
∣ (^25) x
D
D
x 25
∣ (^) x 25
D . 1; 25• :
4 Cálculo Diferencial e Integral I
b. Dé las reglas de correspondencia así como los dominios de las siguientes funciones:
g
f
; g ı f & f ı g.
- Si f .x/ D
p 4 x & g.x/ D
x^2 1
, obtener, reduciendo a su mínima expresión: .f g/.x/ & .g ı
f /.x/.
En cada caso proporcionar el dominio de la función.
- Sean: f .x/ D
p x C 1 & g.x/ D
x
2 C 1
a. Obtenga los dominios de f y de g.
b. Obtenga reglas de correspondencia y dominios de las funciones f C g, f =g, f ı g, g ı f.
- Si f .x/ D
j 3 4x j 4 , g.x/ D
p 3 2x & h.x/ D
x
2 4
; encontrar:
a. El dominio de f.
b. Los dominios de g y de h.
c. .h ı g/.x/ y el dominio de h ı g.
- Dadas las funciones f .t/ D
p t C 3 , g.z/ D z
2 1 & h.w/ D
p 5 w, obtener:
f C h
g
.x/, .g ı h/.x/ & .f ı g/.x/ ;
así como los dominios de las respectivas funciones.
- Sean f .v/ D v
2 2v 3 & g.u/ D
p 3 u, determine:
a. Los dominios de f & g.
b. .f ı g/.x/ & .g ı f /.x/, indicando el dominio de cada una de las funciones.
- Sean f .x/ D
p x 1 & g.x/ D j 3x C 2 j, determine:
a. Los dominios de f & g.
b. .f ı g/.x/ & .g ı f /.x/ indicando el dominio de cada función.
- Dadas las funciones f .t/ D
p
t 11 & g.u/ D j 2u 1 j, obtenga: .f ı g/.x/, .g ı f /.x/ y los
dominios de las funciones f ı g & g ı f.
- Si f .x/ D x
2 C 2x C 2 , encuentre dos funciones g para las cuales .f ı g/ .x/ D x
2 4x C 5:
2.4 Composición de funciones 5
Ejercicios 2.4.1 Composición de funciones, página 3
- Df W . 1; 7•;
.f ı g/.x/ D
√ 7 j 5 8x j;
Df ıg D
[
1
4
;
3
2
]
.
( f
h
)
.x/ D
p 9 2x
x^2 5
;
Df h
D
(
1;
9
2
]
{
p 5;
p 5
}
;
.f ı g/.x/ D
√ 9 2 j 3x 4 j;
D.f ıg/ D
[
1
6
;
17
6
]
.
- Df D . 3; C1•;
Dg D R
{
p 5;
p 5
}
;
Df Cg D
[
3;
p 5
) ⋃
(
p 5;
p 5
) ⋃
(p
5; C
)
;
Dfg D
[
3
p 5
) ⋃ (
p 5;
p 5
) ⋃ (p
5; C
)
;
f Œg. 3/• D
p 13
2
;
gŒf .6/• D
1
4
;
Dgıf D Œ 3; 2/
⋃ .2; C1/.
- Df D R y Dg D R f 1 g;
( g f
)
.x/ D
2
.x 1/.x^3 C 2/
;
D g
f
D R
{
1;
3
p 2
}
;
.g ı f /.x/ D
2
x^3 C 1
;
Dgıf D
{ x 2 R
∣ ∣ (^) x ¤ 1
} D R f 1 g;
.f ı g/.x/ D
2x
3 6x
2 C 6x C 6
.x 1/^3
;
Df ıg D R f 1 g.
- Df D . 1; 4•;
Dg D R f 1; C 1 g;
.f g/.x/ D
p 4 x
x
2 1
;
Df g D . 1; 1/
⋃ . 1; 1/
⋃ .1; 4•;
.g ı f /.x/ D
1
3 x
;
Dgıf D . 1; 4• f 3 g.
- Df D Π1; C1/ ; Dg D R ;
.f C g/.x/ D
p x C 1 C
1
x
2 C 1
; Df Cg D
Π1; C1/;
( f
g
)
.x/ D .x
2 C 1/
p x C 1 ; Df g
D Π1; C1/;
.f ı g/.x/ D
√
x
2 C 2
x^2 C 1
; Df ıg D R ;
.g ı f /.x/ D
1
x C 2
; Dgıf D Œ 1; C1/.
- Df D
(
1;
1
4
] ⋃
[ 7
4
; C
)
;
Dg D
(
1;
3
2
]
I Dh D R f 2; 2g;
.h ı g/.x/ D
4
2x C 1
;
Dhıg D
(
1;
3
2
]
{
1
2
}
.
( f C h
g
)
.x/ D
p x C 3 C
p 5 x
x^2 1
;
Df Ch
g
D Œ 3; 5• f˙ 1 g;
.g ı h/.x/ D 4 x I Dgıh D . 1; 5•;
.f ı g/.x/ D
p x^2 C 2 I Df ıg D R.
- Df D R I Dg D . 1; 3•;
.f ı g/.x/ D x 2
p 3 xI Df ıg D . 1; 3•;
.g ı f /.x/ D
p 3 x^2 C 2x C 3 D p x^2 C 2x C 6 ;
Dgıf D Œ1
p 7; 1 C
p 7•.
