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638 C A P Í T U LO 1 0 | Sistemas de ecuaciones y desigualdades
1 0. 1 E J E R C I C I O S
CONCEPTOS
1. El sistema de ecuaciones
b
2 x 3 y 7 5 x y 9
es un sistema de dos ecuaciones con las dos incógnitas _________ y _________. Para determinar si 1 5, 12 es una solución de este sistema, verificamos si x 5 y y 1 satisfacen cada _________ del sistema. ¿Cuáles de las siguien- tes son soluciones de este sistema?
1 5, 12 , 1 1, 3 2 , 1 2, 1 2
2. Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede ser resuelto por el método de _________, el método de _________ o el mé- todo _________. 3. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener una solución, _________ solución o _________ _________ soluciones. 4. El siguiente es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
b
x y 1 2 x 2 y 2
La gráfica de la primera ecuación es la misma que la gráfica de la segunda ecuación, de manera que el sistema tiene _________ _________ soluciones. Expresamos estas soluciones escri- biendo
x t y
donde t es cualquier número real. Algunas de las soluciones de este sistema son 1 1, __ 2 , 1 3, __ 2 y 1 5, __ 2.
HABILIDADES
5-8 Q Use el método de sustitución para hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones.
7. 8. b^
2 x y 7 x 2 y 2
b
x y 2 2 x 3 y 9
b
3 x y 1 5 x 2 y 1
b
x y 1 4 x 3 y 18
9-12 Q Use el método de eliminación para hallar todas las solucio- nes del sistema de ecuaciones.
11. 12. b
4 x 3 y 11 8 x 4 y 12
b
x 2 y 5 2 x 3 y 8
b
2 x 5 y 15 4 x y 21
b
3 x 4 y 10 x 4 y 2
13-14 Q Nos dan dos ecuaciones y sus gráficas. Encuentre el (los) punto(s) de intersección de las gráficas resolviendo el sistema.
13. 14. b
x y 2 2 x y 5
b
2 x y 1 x 2 y 8
y
0 x
y
x
15-20 Q Grafique cada uno de los sistemas lineales siguientes, ya sea manualmente o con calculadora graficadora. Use la gráfica para determinar si el sistema tiene una solución, no tiene solución o tiene un infinito de soluciones. Si hay exactamente una solución, use la gráfica para hallarla.
19. 20. b
12 x 15 y 18 2 x^52 y 3
b
x^12 y 5 2 x y 10
b
2 x 6 y 0 3 x 9 y 18
b
2 x 3 y 12 x^32 y 4
b
2 x y 4 3 x y 6
b
x y 4 2 x y 2
21-48 Q Resuelva el sistema, o demuestre que no tiene solución. Si el sistema tiene un infinito de soluciones, expréselas en la forma de par ordenado dado en el Ejemplo 6.
37. 38. b
2 x 3 y 8 14 x 21 y 3
b
2 x 6 y 10 3 x 9 y 15
b
3 x 5 y 2 9 x 15 y 6
b
x 4 y 8 3 x 12 y 2
b
4 x 2 y 16 x 5 y 70
b
3 x 2 y 8 x 2 y 0
b
0.2 x 0.2 y 1. 0.3 x 0.5 y 3.
b
1 2 x^
1 3 y^^2 1 5 x^
2 3 y^^8
b
4 x 12 y 0 12 x 4 y 160
b
x 2 y 7 5 x y 2
b
4 x 3 y 28 9 x y 6
b
x y 2 4 x 3 y 3
b
x y 7 2 x 3 y 1
b
x 3 y 5 2 x y 3
b
3 x 2 y 0 x 2 y 8
b
2 x 3 y 9 4 x 3 y 9
b
x y 3 x 3 y 7
b
x y 4 x y 0
S E CC I Ó N 10.1 | Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 639
47. 48. b
1 10 x^
1 2 y^^4 2 x 10 y 80
b
1 3 x^
1 4 y^^2 8 x 6 y 10
b
26 x 10 y 4 0.6 x 1.2 y 3
b
0.4 x 1.2 y 14 12 x 5 y 10
b
3 2 x^
1 3 y^
1 2 2 x^12 y^12
b
1 2 x^
3 5 y^^3 5 3 x^^2 y^^10
b
u 30 √ 5 3 u 80 √ 5
b
8 s 3 t 3 5 s 2 t 1
b
25 x 75 y 100 10 x 30 y 40
b
6 x 4 y 12 9 x 6 y 18
49-52 Q Use calculadora graficadora para graficar ambas rectas en el mismo rectángulo de vista. (Observe que debe despejar y en tér- minos de x antes de graficar si usa calculadora graficadora.) Re- suelva el sistema redondeado a dos lugares decimales, ya sea con acercamiento y usando TRACE o usando la función Intersect.
49.
52. b
435 x 912 y 0 132 x 455 y 994
b
2371 x 6552 y 13, 9815 x 992 y 618,
b
18.72 x 14.91 y 12. 6.21 x 12.92 y 17.
b
0.21 x 3.17 y 9. 2.35 x 1.17 y 5.
53-56 Q Encuentre x y y en términos de a y b.
56. b
ax by 0 a^2 x b^2 y 1
1 a 0, b 0, a b 2
b
ax by 1 bx ay 1
1 a^2 b^2
b
ax by 0 x y 1
1 a b 2
b
x y 0 x ay 1
1 a 12
APLICACIONES
57. Problema de números Encuentre dos números cuya
suma es 34 y cuya diferencia es 10.
58. Problema de números La suma de dos números es el
doble de su diferencia. El número más grande es 6 más que el doble del más pequeño. Encuentre los números.
59. Valor de monedas Un hombre tiene 14 monedas en su
bolsillo, todas las cuales son de 10 o de 25 centavos. Si el valor total de su cambio es $2.75, ¿cuántas monedas de 10 centavos y cuántas de 25 centavos tiene?
60. Precio de entrada El precio de entrada a un parque de di-
versiones es $1.50 para niños y $4.00 para adultos. En cierto
día, 2200 personas entraron al parque, y los precios de entrada recolectados sumaron $5050. ¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron?
61. Gasolinera Una gasolinera vende gasolina regular en $2.
el galón y gasolina Premium en $3.00 el galón. Al final del día se vendieron 280 galones de gasolina y los recibos totalizaron $680. ¿Cuántos galones de cada tipo se vendieron?
62. Puesto de frutas Un puesto de frutas vende dos varieda-
des de fresas: estándar y de lujo. Una caja de fresas estándar se vende en $7 y una de lujo se vende en $10. En un día, el puesto vende 135 cajas de fresas en un total de $1100. ¿Cuántas cajas de cada tipo se vendieron?
63. Velocidad de un avión Un hombre vuela en un pequeño
avión de Fargo a Bismarck, Dakota del Norte, una distancia de 180 millas. Debido a que hizo el vuelo con un viento de frente, el viaje le lleva 2 horas. En el viaje de regreso, el viento todavía está soplando con la misma velocidad, de modo que el viaje le lleva sólo 1 h 12 min. ¿Cuál es la velocidad del piloto con viento en calma, y con qué velocidad sopla el viento?
Bismarck 180 mi
viento
Fargo
64. Velocidad de un bote Un bote en un río navega aguas
abajo entre dos puntos, a 20 millas de distancia, en una hora. El viaje de regreso contra la corriente toma 2 12 horas. ¿Cuál es la ve- locidad del bote, y con qué velocidad se mueven las aguas del río?
corriente
20 mi
65. Nutrición Una investigadora realiza un experimento para
probar una hipótesis donde intervienen los nutrientes niacina y retinol. Ella alimenta a un grupo de ratas de laboratorio con una dieta diaria de precisamente 32 unidades de niacina y 22, unidades de retinol. Ella usa dos tipos de alimentos comerciales en forma de pastillas. El alimento A contiene 0.12 unidades de niacina y 100 unidades de retinol por gramo; el alimento B con- tiene 0.20 unidades de niacina y 50 unidades de retinol por gramo. ¿Cuántos gramos de cada alimento les da ella al grupo de ratas diariamente?
