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EJERCICIOS RESUELTOS DE MECANICA DE CUERPOS
2.1. Se tiene las magnitudes
= 80 𝑁, el Angulo ∝ es de 45
grados. Determine gráficamente la magnitud de la suma de las fuerzas F =FA
+FB y el Angulo entre FB y F.
SOLUCION:
Aplicando la ley de los cosenos
2
2
REMPLAZANDO VALORES
2
2
− 60 ∗ 80 𝑐𝑜𝑠( 135 ) : F= 129.6N
Y el Angulo entre 𝐹𝐵 Y 𝐹
Aplicando la ley de senos
2.2. Se tiene las magnitudes
= 80 𝑁, el Angulo ∝ es de 45
grados. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza F =2FA - 3FB y el
Angulo entre FB y F.
SOLUCION:
FA = 60 cos 45 𝑖 + 60 sen 45 𝑗
FB = 80 𝑖
SUMANDO AMBAS FUERZAS PARA DETERMINAR LA FUERZA F
F = ( 60 cos 45 + 80 ) 𝑖 + 60 sen 45 𝑗
SACANDO SU MÓDULO DE LA FUERZA F
𝐹 = √( 60 cos 45 + 80 )
2
2
= 176.84N
- Se tienen las magnitudes F A = 100 lb y F B = 140 lb. El ángulo α es de 40 °.
Use la trigonometría para determinar la magnitud de la suma de las fuerzas F =
FA + F B Yel ángulo entre F B y F. Estrategia: Use las leyes de los senos y
cosenos para analizar los triángulos formados por la regla del paralelogramo
para la suma de las fuerzas como lo hicimos en el ejemplo 2. 1. Las leyes de los
senos y cosenos se incluyen en la sección A.2 del apéndice A.
SOLUCION:
Aplicando la ley de los cosenos.
2
2
cos
Y el Angulo entre FB y F
Donde:
U= 100lb
U+V=F; 100/senα= 226/sen
DÓNDE: α=16.
- Se tienen las magnitudes F A = 60 N y FB= 80 N. El ángulo α es de 45°.
Use la trigonometría para determinar la magnitud de la fuerza F = 2 F A - 3 F B Yel
ángulo entre F B y F.
SOLUCION:
= 60 cos 45° 𝑖 ̂+ 60 sin 45° 𝑗̂
𝐹 = 2 ( 60 cos 45°𝑖̂ + 60 sin 45°𝑗̂ ) − 3 ( 80 𝑖̂ )
120 cos 45° − 240
𝑖 ̂+ 120 sin 45°𝑗̂
Sacando su magnitud tenemos:
lFl= √( 120 𝑐𝑜𝑠 45 ° − 240 )
2 .7. Se tienen las magnitudes FA = 100 lb y F B = 140 lb. Suponga que el
soporte sobre el que actúan las dos fuerzas puede resistir con seguridad una
fuerza total de 240 lb. ¿Cuál es el intervalo de valores aceptable para el ángulo
α?
240 lb
LEY DE SENOS
sin 45°
sin 45°
sin ∅
sin 45°∗ 100
sin 45°∗ 140
sin∝∗ 140
sin 45°∗ 240
sin ∝ =
∝= sin
45º 180N 45º
90º
45º 45º
∅
2.8. La fuerza F de magnitud 8 kN de la figura se encuentra en el plano definido
por las líneas LA y LB que se intersecan. Suponga que se quiere separar F en
una componente vectorial FA paralela a LA y en una componente vectorial F B
paralela a LB' Determine las magnitudes de FA y FB (a) gráficamente y
(b) usando la trigonometría.
POR TRIGONOMETRIA
𝐵
sin 30°
𝐴
sin 30°
sin 120°
𝐵 sin 30°
𝐴
sin 30°
𝐴
sin 120°
8 𝑘𝑁 sin 30°
𝐵
𝐴
𝐴
𝐵
𝐵
2 .1 0 Los vectores Ra y Rb tienen magnitudes Ra = 30 m y Rb = 40 m.
Determine la magnitud de su suma, Ra + Rb
(a) si Ra y Rb tienen la misma dirección,
(b) si Ra y Rb son perpendiculares.
SOLUCIÓN:
a)
30m
40m
R=30+40 R=70m
𝐹
𝐴
= 𝐹
𝐴
30º
30º
120 º
20º
b)
𝐹𝑥 = 𝐹𝑎 sin 20 − 𝐹𝑏 sin 20
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹𝑎 cos 20 + 𝐹𝑏 cos 20 − 600
2.12. La cuerda ABC ejerce fuerzas F BA Y F BC sobre la polea en B. Sus
magnitudes son IF BAI = IF BCI = 800 N. Determine IFBA + FBCI, (a) gráficamente
(b) con trigonometría.
SOLUCIÓN:
a)
b)
2
2
− 2 ∗ 800 ∗ 800 cos 70
2.13. Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva
localidad en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. Los
cables son horizontales). La suma de las fuerzas F A
Y F
B
ejercidas sobre la
unidad es paralela a la línea L, y │F A
│= 1000 lb. Determine │F B
│y │F B
+ F
A
(a) gráficamente y (b) usando la trigonometría.
SOLUCION.
a) Solución gráfica:
b) Solución trigonométrica:
α = 180° − 80° ⇒ α = 100°
sin 30°
F
B
sin 50°
⇒ F
B
= sin
− 1
1000 sin 50°
sin 30°
) = 1532. 09 lb
sin 30°
L
sin 100°
⇒ L = sin
− 1
1000 sin 100°
sin 30°
) = 1969. 62 lb
2.14 .Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la
figura es de 400 m y que la distancia horizontal de A a C es de 600 m.
determine la magnitud del vector horizontal 𝑅 𝐵𝐶
de B a C y el ángulo α, (a)
gráficamente y (b) usando la trigonometría.
U + (V + W) = (U
X
, U
Y
, U
Z
) + [(V
X
+ W
X
), (V
Y
+ W
Y
), (V
Z
+ W
Z
)]
U + (V + W) = [(U
X
+ V
X
+ W
X
), (U
Y
+ V
Y
+ W
Y
), (U
Z
+ V
Z
+ W
Z
)]
U + (V + W) = [((U
X
+ V
X
), (U
Y
+ V
Y
), (U
Z
+ V
Z
)) + (W
X
, W
Y
, W
Z
)]
U + (V + W) = (U + V) + W
2.21: Si 𝐹
𝐴
𝑗
(𝐾𝑁) y 𝐹
𝐵
𝑖
𝑗
(𝐾𝑁), ¿cuál es la magnitud de la
fuerza 𝐹 = 6 𝐹 𝐴
𝐵
SOLUCION:
𝐴
𝑗
𝐵
𝑖
𝑗
𝐴
𝐵
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝐹 = [− 2
𝑖
𝑗
]𝐾𝑁
2.22: dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano 𝑥 − 𝑦. El
vector 𝑈 = 6
𝑖
𝑗
y |𝑉| = 20 ¿Cuáles son las componentes escalares de V?
SOLUCION:
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
2.23: un pez ejerce una fuerza F de 200 𝑁 sobre la vara de pescar. Exprese F
en términos de componentes escalares.
SOLUCION:
𝑋
= 200 𝑁𝑥 cos( 60 ) = 100 𝑁
𝑌
= 200 𝑁𝑥 sin( 60 ) = 173. 21 𝑁
2.24: se ejerce una fuerza F de 60 𝑙𝑏 para meter un cajón en un camión.
Exprese F en función de componentes escalares.
𝑋
= 60 𝑙𝑏𝑥 cos
𝑌
= 60 𝑙𝑏𝑥 sin
2.25. Un motor de cohete ejerce una fuerza F de 40kN. Exprese F en función
de componentes escalares.
SOLUCION
6 --------------------------- B
A
𝐴𝐵
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
𝐴𝐵
𝐴𝐵
= ( 3 𝑖̂ + 4 𝑗 ̂)N
2.27. El vector de posición del punto A al punto B de la figura es rAB = 12i - 16j
(a) ¿Cuál es la distancia del punto A al punto B?
(b) ¿Cuál es el vector de posición del punto B al punto A?
SOLUCION:
𝐴𝐵
PORCION DE B A
A
𝐴𝐵
B
a) Distancia de A B
𝐴𝐵
2
2
𝐴𝐵
b)
𝐴𝐵
- (a) Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la figura en
función de componentes escalares.
(b) Exprese el vector de posición del punto B al punto en función de
componentes escalares. c) Use los resultados de las partes (a) y (b) para
determinar la distancia del punto A al punto C.
SOLUCION:
a)
50 --------------------- B
35 -------- A
50 pul 98
rAB = (XB – XA) i+ (YB - YA) j
rAB = (98-50)j+ (50- 35 ) j
rAB = (38i+15j)pulg
b)
55 ---------C------------
Uac =
𝑟𝑎𝑐
|𝑟𝑎𝑐|
rAC = rc – ra = (-3.7 i + 10.8 j )
UAC =
− 3. 7 𝑖
- 42
8 𝑗
42
UAC = - 0.3 i + 0.95j Rpta.
UAB = (
- 3 𝑖+ 11. 2 𝑗
√ 5. 3
2
2
UAB = 0.04i + 0.08j Rpta.
2.34 .Considere el vector fuerza F = 3i - 4j (kN) mostrado.
Determine un vector unitario e que tenga la misma dirección
Que F.
SOLUCION:
F = [3i-4j] kN
UF =
3 𝑖
5
4 𝑗
5
UF = 0.6i + 0.8j Rpta
2.35 .El vector de posición que va del punto A al punto B es
r = - 8i + 6j (pies).
(a) Determine el vector unitario que apunta de A a B.
(b) Determine el vector unitario que apunta de B a A.
A B
SOLUCION:
RAB = [-8i+6j] pies
UAB = [
− 8 𝑖+ 6 𝑗
√− 8
2
2
]
UAB = - 0.18i+ 0.14j Rpta.
UBA = −[
− 8 𝑖+ 6 𝑗
√ 8
2
2
]
UBA =
8 𝑖+ 6 𝑗
√ 8
2
2
UBA = 0.18i + 0.14j Rpta.
2.36. Dos automóviles, A y B, se encuentran en una pista circular
de 1000pies de radio. La distancia entre los dos automóviles,
Medida a lo largo de la pista, es de 2000 pies. ¿Cuál es el
Vector de posición que va del automóvil A al automóvil B según
El sistema coordenado que se muestra?
SOLUCION:
L = ∅ ∗ 𝑅
COMVIRTIENDO A RADIANES:
180
𝜋
R
2.38 .La distancia del Sol (S) a Mercurio (M) es de 57 x 10
6
km, la distancia del
Sol a Venus (V) es de x km y la distancia del Sol a la Tierra (E) es de 150 x 10
6
km. Suponga que los planetas están localizados en el plano x-y.
(a) Determine las componentes del vector de posición rM del Sol a Mercurio, del
vector de posición ry del Sol a Venus y del vector de posición rE del Sol a la
Tierra.
(b) Use los resultados de la parte (a) para determinar la distancia de la Tierra a
Mercurio y la distancia de la Tierra a Venus.
𝑚=( 57 𝑥 10
6
− 0 )𝑖
𝑣
6
6
𝑒
6
6
𝑡𝑣
6
2
6
2
6
𝑡𝑣
6
2
6
2
6
2.39. Una cuerda ejerce las fuerzas F A Y FB sobre una polea. Sus magnitudes
son IFAl = IFBl = 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las
fuerzas?
SOLUCION:
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
2.40. La cuerda ABC ejerce las fuerzas F BA
Y F
BC
sobre la polea en B
mostrada. Sus magnitudes son IFBAI = IFBCI = 920N. Determine la magnitud de
la suma vectorial de las fuerzas descomponiendo las fuerzas en sus
componentes, y compare su respuesta con la
del problema 2.12.
2.41. Las magnitudes de las fuerzas mostradas son F 1=IFzl = F3 = 5 KN.
¿Cuál es la magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas?
SOLUCION:
F =Fx + FY
Fx = (F 1 – F3 =cos 30 + F2 cos 45) i
FY= (-F2 sen 45 – F3 sen 30)
FX= (4.20 I – 6.03j) KN
2.42. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tienen una suma vectorial
igual a cero. Si IFBI = 800 lb, IFcl = 1000lb Y IFDI = 9 00 lIJ, ¿cuál es la
magnitud de FA y el ángulo α?
SOLUCIÓN:
∑ F=
∑ FX=
∑ FX= - 800 cos70º + 1000 cos30º+900 cos 20º
