Ejercicios resueltos de dinámica estructural, Ejercicios de Análisis Estructural

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TEORÍA Y CÁLCULO

Quinta Edición

MARIO PAZ

WILLIAM LEIGH

SOLUCIONARIO

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD SIN AMORTIGUACIÓN

SITEMAS CON UN GARDO DE LIBERTAD CON AMORTIGUACIÓN

RESPUESTA DE SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD A

EXCITACIONES ARMÓNICAS

RESPUESTA A EXCITACIONES DINÁMICAS GENERALES

Solución:

 Calculo de rigidez:

Como son resortes conectados en paralelo, entonces:

𝑘𝑒 = 𝑘𝑣 + 𝑘𝑟 + 𝑘𝑟

Rigidez de viga en voladizo (kv), se obtiene a partir de la flecha máxima:

δ =

𝑃 ∗ 𝐿^3

Entonces:

𝐿^3

Sustituyendo los valores de 𝑘𝑣 𝑦 𝑘𝑟 :

𝑘𝑒 =

𝐿^3

𝐿^3

3𝐸𝐼 + 2𝑘𝐿^3

𝐿^3

 Calculo de frecuencia natural:

3𝐸𝐼 + 2𝑘𝐿^3

𝑚𝐿^3

 Calculo de periodo natural:

𝑇 =

𝜔𝑛^ =^

3 𝑚𝐿^3

Problema 1.

Los siguientes valores numéricos corresponden al problema resuelto P.1.1: L= in, EI=10^8 lb-in^2 , W=3000 lb, y k=2000 lb/in. Si el peso W tiene un desplazamiento inicial xo=1.0 in y una velocidad inicial vo=20 in/s, determine el desplazamiento y la velocidad 1 segundo después.

Solución:

𝑔 =^

𝑙𝑏 − 𝑠^2

3𝐸𝐼 + 2𝑘𝐿^3

𝑚𝐿^3

3(10^8 ) + 2(2000)(100)^3

7.76(100)^3

𝐴 = √𝑥𝑜^2 + (

𝛼 = 𝑡𝑎𝑛−1^ (

𝜔𝑥𝑜^ ) = 𝑡𝑎𝑛

Como xo>0, ẋo>0, sustituyendo valores en las formulas:

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝛼)

𝑥(𝑡 = 1) = 1.31𝑐𝑜𝑠(23.54(1) − 0.7043)

𝒙(𝒕) = −𝟎. 𝟖𝟕 𝒊𝒏



𝑥̇(𝑡) = −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝛼)

𝑥̇(𝑡 = 1) = −23.54(1.31)𝑠𝑒𝑛(23.54(1) − 0.7043)

𝒙̇(𝒕 = 𝟏) = 𝟐𝟑. 𝟎𝟔 𝒊𝒏/𝒔

Problema 1.

Determine la frecuencia natural para el desplazamiento horizontal del marco de acero de la fig. P1.3. Suponga que la viga horizontal es infinitamente rígida y desprecie la masa de las columnas.

K𝑒

Problema 1.

Calcule la frecuencia natural en el sentido horizontal para el marco de acero, fig. P.1.4. para los casos siguientes:

a) El miembro horizontal se supone infinitamente rígido. b) El miembro horizontal esta hecho de acero flexible y de sección 18x

SOLUCION:

a) El miembro horizontal se supone infinitamente rígido. EI (W10x33)=4.959 x 10^9 lb. In^2

K𝑒 = 2 (

12EI

𝐿^3 ) =

24(4.959 x 10^9 ) (15x12)^3 = 20407.41 𝑙𝑏/𝑖𝑛

m =

w g =^

15´ W10x

w=25 kips

15´

u

Fig. P.1.

K𝑒

Problema 1.

Determine la frecuencia natural de la viga de la fig. P1.5. que soporta un peso concentrado W en su centro. Desprecie la masa de la viga

SOLUCION:

Para una viga doblemente empotrada, el desplazamiento máximo es igual a:

δ =

𝑃𝐿^3

𝐿^3

𝑤𝐿^3

𝑤𝐿^3

Problema 1.

E, I

L/

W

Fig. P1.

L/

Considere el péndulo simple de masa m que se muestra en la Fig. P1.7. Si la longitud de la cuerda es L determine el movimiento del péndulo. El desplazamiento angular inicial y la velocidad angular inicial son 𝜃 (^) 𝑂 𝑦 𝜃𝑜̇ , respectivamente. (Considere que el ángulo 𝜃 es pequeño)

Nota: un péndulo simple es una partícula o masa concentrada que oscila en un arco vertical y que esta sostenida por una cuerda de masa insignificante. Las únicas fuerzas que actúan en la masa m son: la fuerza de la gravedad y la tensión en la cuerda (despreciando las fuerzas de fricción).

SOLUCION:

Fig. P1.

W

ϴ

L

O

W

ϴ

L

O

Wsen ϴ Wcos^ ϴ

T

Tomando momentos alrededor de O

𝑚𝑔 = 𝑊

𝑚𝐿^2 𝜃̈ = −𝑚𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃

Para 𝜃 pequeño, 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜃, entonces:

𝑚𝐿𝜃̈ + 𝑚𝑔𝜃 = 0

𝜃̈ +

Frecuencia natural:

Ecuación de desplazamiento:

𝜔𝑛^ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡

𝜃 = 𝜃𝑜cos(√

Problema 1.

Un conductor de pie al final de un trampolín de 2 pies de voladizo oscila a una frecuencia de 2 cps, determinar la rigidez a la flexión dela IE del trampolín, el peso del conductor es de 180 lb.

SOLUCION:

m =

w g =

= 0.129 𝑙𝑏 − 𝑠𝑒𝑔^2 /𝑖𝑛

Masa de la bala:

𝑚𝑜 =

= 5.181𝑥10−4^ 𝑙𝑏 − 𝑠𝑒𝑔^2 /𝑖𝑛

Conservación de momentos:

𝑚𝑜𝑣𝑜 = (𝑚 + 𝑚𝑜)𝑣𝑓

V= velocidad después del impacto

(𝑚 + 𝑚𝑜) =^

5.181𝑥10−4^ 𝑥

0.129 + 5.181𝑥10−^

Vo = velocidad inicial del bloque.

𝑉𝑜 = 4.8 𝑖𝑛/𝑠

Calculo de 𝜔𝑛:

0.129 + 5.181𝑥10−^

Ecuación de movimiento:

𝑢(𝑡) = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡 +

uo=0, entonces

𝑢(𝑡) =

𝜔𝑛^ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑛𝑡

Problema 1.

Escribe la ecuación diferencial para el movimiento del péndulo invertido mostrado en la Fig. P1.11. y determine su frecuencia natural. Considere pequeñas oscilaciones y desprecie la masa de la barra.

SOLUCION:

m ϴ

L

Posición de equilibrio

k

a

Fig. P1.

mg

ϴ

L

Posición de equilibrio

k

a

Fig. P1.

O

f 1

Fs

𝐿^3

𝑚𝐿^3

Haciendo suma de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, se obtiene:

Reacomodando términos y sustituyendo el valor de k, se obtiene finalmente la ecuación diferencial del movimiento

𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0

𝑳𝟑^ 𝒙 = 𝟎

Problema 1.

Determine una expresión para la frecuencia natural de un peso W en cada uno de los casos mostrados en la Fig. P1.15. Las vigas son uniformes con un momento de inercia I y un módulo de elasticidad E. Desprecie la masa de las vigas

F^ m^ m m

kx

x

k

W (a) u

W u

k

L/2 L/

(b)

W

u

a b

(c)

a b

(d)

L

2 2

v. k EI L a b

Y como m W g

 , entonces^3 2. 2 (. )

wn k^ v^ gEI L m W a b

d) Siendo kv :para la viga, y kr para el resorte, tenemos:

2 2

v. k EI L a b

 , kr  k

El valor de ke equivalente se obtiene de la relación: 1 1 1 k e kr kv

De donde: 2 3 2. e. 3. k kEI L ka b EI L

Y como m^ W g

 , entonces^32 . (. 3. )

wn k^ e^ gkEI L m W ka b EI L

Problema 1.

Una estructura ha sido modelada, como se muestra en Fig.P1.16, por dos masas,A m 1 y m 2 interconectadas por un resorte de constante k. Determine determine

para este modelo la ecuación diferencial del movimiento en función del desplazamiento u (^) r  u 2 (^)  u 1 entre las dos masas. Determine también la

correspondiente frecuencia natural.

U 1 U

k

c m1 m

Fig. P1.

Solución:

El sistema viene dada por las ecuaciones diferenciales:

1 1 1 2

2 2 2 1

m u k u u

m u k u u





O también

1 1

2 2

r

r

m u k u

m u k u





En (1.16.1) asumimos que u 1 (^)  C e 1. w t i..^^ ; u 2 (^)  C e 2. w t i.. y obtenemos:

2 1 1 1 2 2 2 2 2 1

m C w k C k C m C w k C k C

(^21) 1 (^22) 2

k m w k^ C k k m w C

 ^ ^ ^ 

De donde se obtiene que:

1 2 1 2

w k m^ m m m

^ 

Problema 1.

Calcule la frecuencia natural para la vibración de la masa m mostrada en la Fig P1.17. Considerar que AE es rígida con una bisagra en C y un soporte de resorte k en D.

A B C D E

Viga rígida bisagra