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DINAMICA ROTACIONAL
MOVIMIENTO CIRCULAR
Es el movimiento cuya trayectoria es una circunferencia. Cuando un objeto gira alrededor de un eje su trayectoria forma una circunferencia o parte de ella. De igual manera se da este tipo de trayectoria cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje. Se considera movimiento circular a:
- Una piedra, sostenida por una cuerda girando en un plano vertical, como la rueda moscovita.
- Una partícula A gira alrededor del eje de giro como el carrusel.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.
- Radio vector ( R ).
Es un vector que tiene su origen en el centro de giro y su extremo final en la posición donde se encuentra el objeto moviéndose en forma circular. El módulo del radio vector nos indica la longitud de este, que constituye el radio de la circunferencia que se forma cuando el objeto describe el movimiento circular.
- Longitud de arco ( S )
Constituye la longitud de arco recorrida por un objeto en determinado tiempo. esta dado por: y
P S R θ x O
S = θ. R. θ : ángulo ( rad ) R : radio ( m ) S : longitud del arco
- Posición angular. ( θ )
Es el ángulo que se forma entre el eje de referencia x y el vector posición ( P )de un objeto.
En el movimiento circular el ángulo θ tiene como unidades de acuerdo al SI al radian (rad), razón por la cual debemos recordar la equivalencia:
180º = π rad
Dimensionalmente: θ = [ 1 ]
- Desplazamiento angular (Δθ)
Es la variación de posición angular que un objeto puede experimentar durante el movimiento. Generalmente el desplazamiento angular se lo realiza en sentido anti horario.. y
Δθ P 0
Pf θf θo x O
La ecuación es : Δθ = θf - θ 0
Las unidades: Δθ = [ rad ]
La dimensión: Δθ = [ 1 ]
- Velocidad angular. ( ωm )
Es la razón que se da entre el desplazamiento angular descrito por el cuerpo al girar y el tiempo empleado para efectuarlo.
ωm = Δθ ; ωm = θf - θo Δt tf - to
Las unidades en el sistema internacional son:
ωm = rad s
Dimensionalmente está dado por:
ωm = [ 1 / T ] = [ T -1^ ]
Generalmente la velocidad angular también esta expresada en :
Revoluciones Por Minuto:
r.p.m = R.P.M = rev min
Revoluciones Por Segundo
r.p.s = R.P.S = rev s
La equivalencia es:
1 rev = 1 vuelta = 2πrad = 360º
A la velocidad también se la conoce como: ¨Frecuencia Angular ¨
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME ( M.C.U.)
Es el movimiento circular en el cual un cuerpo recorre desplazamientos angulares iguales en intervalos de tiempos iguales, es decir se mueve con una velocidad angular ω constante.
CARACTERISTICAS DEL M.C.U.
- En tiempos iguales recorren longitudes de arcos iguales y se barren ángulos centrales iguales.
ω = Δθ ; ω = cte. t
- El desplazamiento angular está dado por:
Δθ = ω. t ; Δθ = θf - θo
La posición angular final es:
θf - θo = ω. t
θf = θo + ω. t
- Velocidad Tangencial o Lineal. ( v ) Es el arco recorrido en la unidad de tiempo, se representa por un vector que es tangente a la circunferencia en el punto donde se encuentra el cuerpo girando.
v = S ; S = θ.R t
v = θ.R ; v = ω.R t Las unidades son: v = m ; km s h
Dimensionalmente: v = [ L / T ] = [ L.T-1]
- Periodo. ( T )
Es el tiempo empleado por el objeto en dar una vuelta completa.
T = tiempo total Nº de vueltas
Si el cuerpo recorre una circunferencia completa, el t = T se tiene: Δθ = 2π rad por tanto:
ω = Δθ ; t = Δθ t ω T = 2π rad ; ω = 2π rad ω T
v = ω.R ; v = 2 π R T
Las unidades del periodo son : T = s
La dimensión es: T = [ T ]
- Frecuencia. ( f )
Es el número de vueltas o revoluciones que da el cuerpo en la unidad de tiempo.
f = Nº de vueltas tiempo total
- Transformar 16,6 rad /s a rpm
16,6 rad 1 rev 60 s = 158,51 rpm s 2π rad min
- Transformar 100º a rad
100º π rad = 1,75 rad 180º
- Un disco gira a razón de 45 rpm. si el radio es de 20 cm. Calcular la rapidez tangencial de los puntos de la periferia. v Se sabe que:
ω = 45 rpm = 4,71 rad/s v R R = 20 cm = 0,20m
Como es un M.C.U tenemos:
v = ω.R , v = 4,71 rad/s. 0,20 m ; v = 0,94 m/s
- Calcular la rapidez tangencial de un punto del Ecuador de la Tierra. El radio terrestre es de 6 370 km.
Se sabe que:
R = 6 370 km ω = 1 vuelta 2π rad 1 día = 0,26 rad/h día 1 vuelta 24 h ω=7,22x10-5^ rad/s (velocidad angular de la Tierra)
Para encontrar la rapidez tangencial utilizamos:
v = ω.R; v = 0,26 rad/h .6 370 km ;v=1656,20 km/h
v = 460,06 m/s
- Un disco CD-ROM gira a 3000 rpm. Cuál es la velocidad angular en rad/s.
ω = 3 000 rpm
3 000 rev 2 π rad 1 min = 314,16 rad/s min 1 rev 60s
ω = 314,16 rad /s
- Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita circular alrededor del centro de la Tierra y cerca de la superficie de la Tierra. Si su aceleración centrípeta es 9,8 m/s^2. Calcular: a) La velocidad lineal o tangencial. b) El tiempo en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra. c) La velocidad angular del satélite
Sabemos que :
R = 6370 km = 6 370 000 m ac = g = 9,8 m/s^2
a) De la ecuación de la ac despejamos v
ac = v^2 ; v = √ ac .R ; v = √ g .R R
v = √ 9,8 m/s^2. 6 370 000 m
v = 7 901,01 m/s
b) T = 2 π R ; T = 2 π ( 6 370 000 m) v 7 901,01 m/s
T = 5 065 , 67 s; T = 84,43 min.
c) ω = 2 π rad ; ω = 2 π rad. ; T 5 065,67 s
ω = 1,24 x 10-03^ rad /s
- En una feria, la rueda moscovita de 15 m de radio da 3 vueltas por minuto. Si un niño se encuentra en la canastilla, determinar: a) La frecuencia del movimiento b) El periodo del movimiento. c) La velocidad angular del niño. d) Velocidad lineal del niño e) Aceleración centrípeta del niño. f) La distancia recorrida en 4s
Se sabe que: R = 15m n = 3 vueltas t = 1 min = 60 s
a) La frecuencia está dada por:
f = n ; f = 3 v , f = 0,05 s - t 60s
b) El período es:
T = t ; T = 60 s ; T = 20 s n 3 v
c) La velocidad angular del niño es:
ω = 2π rad ; ω = 2 π rad ; ω = 0,31 rad/s T 20s
d) La velocidad del niños es:
v = 2 π R ; v = 2 π 15m ; v = 4,71 m/s T 20s e) La aceleración centrípeta del niños es:
ac = v^2 ; ac = ( 4,71 m/s ) 2 ; ac = 1,48 m/s^2 R 15 m
f) Para determinar la distancia necesitamos encontrar el desplazamiento angular:
ω = Δθ ; Δθ = ω. Δt Δt
Δθ = 0,31 rad/s. 4s ; Δθ = 1,24 rad.
d = Δθ .R ; d =1,24rad.15m ; d = 18,60 m
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- Reducir 18 rev a grados y radianes.
- Transformar 462 rpm a rad /s
- Transformar 15 vueltas a rad y grados
- Transformar 80 rps a rad /s
- Transformar 23,8 rad /s a rpm
- Transformar 235º a rad
- Un ciclista en una pista circular de 160 m de radio da 10 vueltas cada 4 minutos. Determinar: a) La frecuencia del movimiento b) El periodo del movimiento. c) La velocidad angular del ciclista. d) Velocidad lineal del ciclista e) Aceleración centrípeta del ciclista.
- La distancia recorrida en 10s
- Reducir 22 rev a grados y radianes.
- Transformar 238 rad a grados
- Transformar 120 rpm a rad /s
- Transformar 6 vueltas a rad y grados
- Transformar 200 rps a rad /s
- Transformar 324,8 rad /s a rpm
- Transformar 689 235º a rad y rev
- Un motociclista tiene una trayectoria circular de 170 m de radio con una velocidad de 120 km/h. Calcular: a) La aceleración centrípeta. b) La velocidad angular c) El período del movimiento.
- La hélice de un avión da 3 260 vueltas en 30 min. Determinar: a) El período. b) La frecuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial e) La aceleración centrípeta.
- Calcular el período, la frecuencia y la velocidad angular de cada una de las manecillas del reloj
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO
(MCUV)
Es el movimiento circular en el cual un cuerpo varia constantemente su velocidad angular en un tiempo determinado.
CARACTERISTICAS DEL M.C.U.V.
- Aceleración Angular:
Esta variación de la velocidad angular en función del tiempo recibe el nombre de aceleración angular y es constante.
α = Δ ω = cte Δ t
Δω = α. Δ t
ωf - ωo = α. Δ t
ωf = ωo + α. Δ t
- La deducción de las ecuaciones del M.C.U.V es similar a las del M.R.U.V. y tenemos:
ωf = ωo + α. Δ t
Δθ = ωo t + ½ α t^2 ωm = ωo + ωf 2
Δθ = ωm t
ωf^2 = ωo^2 + 2 α Δ θ
- En el M.C.U.V el vector velocidad varía continuamente en módulo, dirección y sentido, lo que produce que la aceleración tenga componente tangencial y centrípeta perpendiculares entre ellas.
- Aceleración tangencial ( at )
Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el cambio de valor que experimenta la velocidad tangencial en la unidad de tiempo. es un vector tangente a la trayectoria y su sentido es el mismo que la velocidad tangencial. at vt a ac
ac
at
a) Para calcular la aceleración angular del disco aplicamos:
ωf 2 = ωo 2 + 2 α Δ θ ; α = ωf 2 - ωo 2 2 Δ θ
α = ( 20,94 rad/s )^2 – (52,36 rad/s ) 2 2 (143,99 rad. )
α = - 0,17 rad/s^2
b) Para determinar el tiempo necesitamos:
ωf = ωo + α. Δ t
Δ t = ωf - ωo ; α
Δt = 20,94 rad/s – 52,36 rad/s -0,17 rad/s^2
Δt = 184,82 s = 3,08 min
- Un automóvil tiene llantas de 30 cm de radio. parte del reposo y acelera uniformemente hasta una rapidez de 15 m/s en un tiempo de 8s. Encontrar la aceleración angular de las llantas y el número de vueltas que da la llanta en ese tiempo. Se sabe que:
R = 30 cm = 0,3 m vo = 0 m/s vf = 15 m/s t = 8 s ω 0 = 0 rad/s
a) Para calcular la aceleración angular necesitamos:
at =Δ v ;at =15 m/s – 0m/s ; at = 1,88 m/s^2 t 8
at = α. R ; α = at ; α = 1,88 m/s^2 R 0,3 m
α = 6,27 rad /s^2
b) Para el número de vueltas aplicamos:
Δθ = ωo t + ½ α t^2
Δθ = 0 + ½ (6,27 rad /s^2 )( 8s)^2
Δθ = 200,64 rad. Δθ = 200,64 rad. 1 rev 2 π rad Δθ = 31,93 rev
- Cuál será la aceleración resultante de una niña que se mueve en un caballo sobre un
carrusel de 2 m de diámetro, si su velocidad angular media es de 6 rad/s y su aceleración angular es de 8 rad/s^2
Se sabe que: R = 2m ωm = 6 rad /s α = 8 rad/s^2
Para determinar la aceleración total debemos determinar la aceleración tangencial y centrípeta: Φ at = α R a at =( 8 rad/s ) ( 2m ) θ at at = 16 m/s^2 ac ac = ω^2. R ac = ( 6 rad/s )^2 ( 2m) ac = 72 m/s^2
a = at + ac
a = √ at^2 + ac^2
a = √ 16 2 + 72^2 ; a = 73,76 m/s^2
θ = tan -1^ (at / ac )
θ = tan -1^ (16 / 72 )
θ = 12,53 º
Φ = 180º - 12,53 º
Φ = 167,47º
a = (73,76 m/s^2 ; 167,47º )
a = ( - 72 i 16 j ) m/s^2
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- Una turbina de un jet se acelera de 0 a 7000 rpm en 30s. Si el radio de la turbina es de 1,5 m. Determinar: a) La velocidad angular final b) La velocidad angular media c) La aceleración angular d) La rapidez media e) El desplazamiento angular. f) La distancia recorrida en el extremo de la turbina. g) El módulo de la aceleración total final.
- En las olimpiadas el atleta encargado del lanzamiento del disco gira a 110 rpm incrementando su rapidez a 580 rpm en 5s antes de soltarlo. Si la longitud del brazo es de 73 cm: Determinar: a) La aceleración angular. b) La aceleración centrípeta c) La aceleración tangencial del disco.
d) La velocidad media e) El desplazamiento angular f) La distancia recorrida por el disco.
- La rapidez angular de un disco decrece uniformemente de 14 rad /s a 6 rad /s en 18 s. Calcular: a) La aceleración angular b) El número de revoluciones que da en este tiempo.
- Un auto parte del reposo, iniciando una curva de 140 m de radio y acelera constantemente a 2m/s^2. Determinar la distancia que habrá recorrido antes de que el módulo de la aceleración total sea de 4m/s^2.
- En un castillo de juegos pirotécnicos un silbador esta unido a un aro de 0,50m de radio, demora 2 segundos en girar un ángulo de 5,24 rad y alcanza una velocidad angular final de 30 rpm. Calcular: a) La velocidad angular media b) La velocidad angular inicial c) La aceleración angular d) La rapidez inicial e) La distancia recorrida f) La aceleración tangencial final g) La aceleración centrípeta final h) El módulo de la aceleración total final
FUERZAS NECESARIAS
PARA EL MOVIMIENTO
CIRCULAR.
Como ya se analizó anteriormente el movimiento circular uniforme es aquel en el cual no existe cambio en la rapidez, sino solo en la dirección. Esta afirmación se puede verificar al hacer girar una piedra atada a un cordel, la cual al hacerla girar con una rapidez constante, la fuerza hacia el centro del movimiento producirá una tensión en la cuerda que modifica constantemente la dirección del movimiento de la piedra lo que produce una trayectoria circular. Si la cuerda se rompe , la piedra sale en dirección tangente al movimiento circular.
Fuerza hacia el centro
vt
LA FUERZA CENTRÍPETA.
La fuerza que se produce en la cuerda y que está dirigida hacia el centro del movimiento circular uniforme recibe el nombre de fuerza centrípeta.
Al aparecer la fuerza centrípeta, también aparece la fuerza de reacción llamada fuerza centrífuga, sin embargo al momento de dibujar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo solamente debemos graficar la centrípeta ya que si dibujamos las dos estas se anularían y estaríamos analizando un MRU.
Al existir un cambio de velocidad en la unidad de tiempo se genera la aceleración centrípeta ( ac ) que también tiene la misma dirección que la fuerza centrípeta ( Fc )
La aceleración centrípeta que tiene la piedra de masa m es directamente proporcional a la velocidad lineal al cuadrado e inversamente proporcional al radio de giro.
ac =
v^2
r
Puesto que la velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular por medio de vt = ω.r , se tiene:
ac =
v^2
r
, ac =
( ω .r )^2
r
; ac = ω^2 .r
Por la segunda ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta, así:
Fc = m. ac
Fc = m.
v^2
r
Fc = m. ω^2 .r
La fuerza centrípeta ( en busca del cetro o hacia el centro ) no pertenece a una nueva clase de fuerza, sino tan sólo es el nombre que se le da a cualquier fuerza, sea una tensión de cordel, la gravedad, fuerza eléctrica o la que sea, que se dirija hacia un centro fijo. Si el movimiento es circular y se ejecuta con rapidez constante, esta fuerza forma ángulo recto con la trayectoria del objeto en movimiento.
Cuando un automóvil da vuelta una esquina, la fricción entre los neumáticos y el asfalto proporciona la fuerza centrípeta que lo mantiene en una trayectoria curva.
TAREA
- Una maquina centrifugadora sencilla utilizada para separar los glóbulos del plasma sanguíneo, gira a 55 rev/s. Calcular: a) La aceleración centrípeta en el centro del tubo de la centrifuga a 8 cm del eje de rotación. b) La fuerza centrípeta que se ejerce sobre 5g del plasma sanguíneo.
- Dos masa de 4 lb giran alrededor de un eje central de 1,6 pies de radio, a una velocidad angular de 12 rev/s. Calcular: a) La fuerza centrípeta que actúa sobre cada uno de los cuerpos. b) La tensión de la barra.
- Calcular la fuerza centrípeta sobre un automóvil de 2000 kg que toma una curva de 175 m de radio a una velocidad de 50 km/h
- Una pelota de 3 lb está atada a una cuerda y se mueve en un círculo horizontal de 3 pies de radio. Desprecie los efectos de la gravedad, si se sabe que gira a 80 rpm. Calcular: a) La velocidad lineal. b) La aceleración centrípeta c) La fuerza centrípeta. d) Qué pasa si la cuerda se rompe.
- Un electrón gira en órbita alrededor del núcleo en una trayectoria circular de 6 x 10 - 9^ cm de radio. Si la masa del electrón es de 9,11x 10 -31^ kg y su velocidad lineal es de 3,2 x 10 6 m/s. calcular la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta.
PERALTE
ROZAMIENTO EN UNA CURVA
Cuando un automóvil toma una vuelta cerrada en una carretera perfectamente horizontal, la fuerza centrípeta necesaria es desarrollada por el rozamiento entre las llantas y el pavimento. Si esta fuerza centrípeta no es la adecuada, el automóvil puede derrapar sobre la carretera.
El valor máximo de la fuerza de rozamiento determina la velocidad máxima con la que el
vehículo puede tomar una curva de un radio determinado.
Cuando la velocidad del automóvil es máxima se produce que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza máxima de rozamiento estático.
Fc = fre Σ Fy = 0
m v^2 r
= μe N N = P
m v^2 r
= μe m g ; v^2 = μe g r
La velocidad máxima con la que el automóvil puede tomar la curva está dada por:
v = √μe g r
PERALTE DE CURVAS
Con el objeto de no confiar en el rozamiento, las curvas se inclinan para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para poder girar sin salirse de las carreteras. Este ángulo de inclinación que se da a las carreteras recibe el nombre de peralte.
Al peraltar una carretera para eliminar la fuerza de rozamiento, se da que la fuerza normal N ( entre el piso y las ruedas sobre las cuales se encuentran distribuidas todo el peso de vehículo ) tenga componentes horizontal y vertical.
La componente horizontal de la normal debe ser igual a la fuerza centrípeta para que pueda tomar la curva con facilidad, así se tiene: Nx = Fc Σ F = 0
N sen θ = m
v^2 r
Ny = P
N cos θ = m g Dividimos la primera ecuación entre la segunda y obtenemos:
tan θ =
v^2
r g
Esta ecuación nos permite calcular el ángulo del peralte que debe tener una carretera.
θ = tan - 1^ ( v
r g )
EL PENDULO CONICO
Un péndulo cónico está formado por una masa m colgada de un hilo de longitud L que describe un circulo horizontal con velocidad constante v. La aceleración tiene la dirección de la fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es proporcionada, por la componente horizontal de la tensión en el hilo. La componente vertical de la tensión es igual al peso del objeto en movimiento. Así: Tx = Fc Σ F = 0
T sen θ = m
v^2
r
Ty = P
T cos θ = m g
Dividimos la primera ecuación entre la segunda y obtenemos:
tan θ =
v^2
r g
; θ = tan - 1^ (
v^2
r g )
Cuando se hace girar con mayor velocidad lineal al péndulo, el ángulo formado entre el hilo y la vertical también aumente, por lo tanto la posición vertical de la masa sufre una elevación.
La tensión de la cuerda está dada por:
T =
m g cos Θ
La rapidez de la masa estará dada por:
v = √r g tan Θ
LA FUERZA CENTRIPETA EN LOS OBJETOS
QUE GIRAN EN UNA CIRCUNFERENCIA
VERTICAL.
Para cuando un objeto gira siguiendo una trayectoria circular podemos describir las fuerzas que actúan sobre este en dos puntos fundamentales:
- En la parte superior de la trayectoria:
ΣFy = may
Fc + mg = m
v 12
r
Fc = m (
v 12
r
- En la parte inferior de la trayectoria
ΣFy = may
Fc - mg = m
v 22
r
Fc = m (
v 22
r
+ g )
EJERCICIOS RESUELTOS
- Se prueba un nuevo prototipo de neumáticos para ver si su comportamiento cumple las previsiones. En una prueba de deslizamiento, el modelo BMW 530i fue capaz de recorrer a velocidad constante un circulo de 45,7 m de radio en 15,2 s sin patinar. Calcular:
a) La velocidad del vehículo. b) La aceleración centrípeta.
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Si el peso del piloto es de 712,75 N podemos afirmar que en la parte más baja tiene que soportar una fuerza 12 veces mayor que su propio peso que equivale a 12 g ( 12 veces el valor de la gravedad terrestre ) y en la inferior 10 g.
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- En un día lluvioso, el coeficiente de rozamiento entre las llantas y el pavimento es de 0,4. Determinar: a) La velocidad máxima que podrá tomar un automóvil una curca de 80 m de radio. b) El ángulo de peralte que será necesario para eliminar el rozamiento a una velocidad de 80 km/h.
- Un piloto de prueba cae en picada a 200 m/s y gira en una curva de 850 m de radio. Si el piloto tiene 65 kg. Calcular: a) La fuerza ejercida sobre él por el asiento. b) La aceleración que siente en el punto más bajo de la picada. c) Cuantas veces mayor que g es la aceleración.
- Una curva de radio 150 m tiene un peralte con un ángulo de 10 0. Un auto de 800 kg toma la curva a 85 km/h sin patinar. Determinar: a) La fuerza normal que actúa sobre los neumáticos ejercidas por el pavimento. b) La fuerza de rozamiento ejercida por el pavimento sobre los neumáticos del coche. c) El coeficiente de rozamiento estático mínimo entre el pavimento y los neumáticos.
- Un vehículo de 1 000 kg describe una curva horizontal de 30 m de radio. Si μ = 0,. Calcular: a) La máxima velocidad en km/h que podrá tomar la curva sin derrapar si no hubiese peralte. b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 90 km/h
- Se suspende una bola de 0,436 kg en una cuerda de 0,452 m de un punto fijo. La bola oscila en una trayectoria circular horizontal a 0,811 rev/s. Calcular: a) la tensión de la cuerda b) El ángulo entre la cuerda y la vertical
6 Un piloto acróbata en un aeroplano desciende verticalmente a una velocidad de 210 km/h y voltea en forma vertical hacia arriba siguiendo una trayectoria casi semicircular con un radio de 180m. Determinar: a) Cuantas g experimenta el piloto debido sólo a su movimiento. b) El valor del factor que parece incrementar el peso del piloto en el fondo de la picada.
LEYES DE NEWTON EN LA
ROTACION
DINAMICA ROTACIONAL.
La dinámica rotacional se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos rígidos que giran o rotan sobre un eje fijo, por la acción de fuerzas externas.
Se denomina Cuerpo rígido a cualquier objeto real con una forma definida que puede girar, sin deformarse, de modo que todas sus partes permanezcan a distancias constantes de un punto fijo llamado radio de giro.
Al analizar la dinámica de la rotación debemos encontrar la relación entre el torque y la rotación que produce.
MOMENTO DE TORSION O TORQUE
La magnitud que mide la efectividad de una fuerza para causar rotación se denomina momento de torsión o torque****. Cuando mayor es la distancia del eje de rotación ( r = brazo de palanca ) ( bisagras de las puertas ) al punto donde aplicamos la fuerza ( F ) ( manubrio de la puerta ), mayor será el torque ( ζ ).
Se lo define como el producto de la fuerza perpendicular aplicada a un objeto y el brazo de palanca:
ζ = F. r ζ = [N. m]
Cuando la fuerza aplicada no es perpendicular se lo calcula con:
ζ = F. r. sen Θ
INERCIA ROTACIONAL O MOMENTO DE INERCIA
Así como un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a permanecer moviéndose en línea recta, un objeto que gira en torno a un eje tiende a
permanecer girando alrededor de ese eje, a menos que interfiera alguna influencia externa. Esta propiedad que tiene el objeto para resistir cambios en su estado de movimiento giratorio se llama inercia rotacional o momento de inercia. Es decir los cuerpos que giran tienden a permanecer girando, mientras que los que no giran tienden a permanecer sin girar. En ausencia de influencias externas, un trompo giratorio sigue girando.
La inercia rotacional de un objeto depende de su masa y de la distribución de la masa en relación con el eje de rotación.
Es así que un grueso disco de piedra que gira bajo un torno de alfarero es muy masivo, ya que una vez que empieza a girar, tiende a permanecer girando, o cuando un equilibrista que camina por una cuerda, para ayudarse a conservar el equilibrio sostiene una pértiga larga, la que está alejando de su eje de rotación.
Un cilindro macizo rueda con más rapidez al bajar un plano inclinado que un anillo, aunque las masas sean iguales o distintas, o los diámetros externos sean iguales o distintos. Un anillo tiene más inercia rotacional en relación con su masa que un cilindro. Cuando tenemos una masa (m) forzada a moverse alrededor de un punto fijo O a una distancia R está sujeta a una fuerza F.
El momento de torsión resultante ζ cambia la velocidad angular de la masa.
La aceleración tangencial que mueve la masa m se determina a partir de la 2da ley de Newton :
F = m. at ; pero at = R. α al remplazar tenemos:
F = m. R α ; también se conoce que ζ = F. R entonces:
ζ = m. R 2. α
ζ es el torque de la fuerza respecto al eje considerado R la distancia perpendicular de la partícula al eje.
La inercia rotacional de un cuerpo es una magnitud escalar y está dado por:
I = m.R^2 entonces: ζ = I. α
Cuando se tiene un sistema de n partículas, la inercia rotacional esta dado por:
I = m 1 .r 1 2 + m 2 .r 2 2 + ……. mn.rn 2 = Σ mi.ri 2
Ecuación: I = m.r^2
Unidades: SI I = [ kg.m^2 ]
cgs I = [ g. cm^2 ]
Dimensiones: [ I ] = [M.L 2 ]
La inercia rotacional varía de acuerdo a la forma y el eje del radio de giro de los cuerpos, así podemos representar a los siguientes:
I = m.R^2
I = mR^2
I = ½ mR^2
I = 2/5mR^2
I = 1/3 mL^2
I = 1/12mR^2
I = 3/2 mR^2
Sabemos que ωo = 0 rad/s y ωf = ωo + α t ωf = α t ; I = m r^2 ζ = I. α y ζ = F. rp Igualamos las dos ecuaciones y remplazamos I: I. α = F. rp ; m r^2 α = F. rp Despejamos α :
α =
F .rp m r^2
; α =
( 18 N) ( 0,07 m) ( 2,4 kg)( 0,35 m)^2
α = 4,29 rad/s^2
ωf = α t ; ωf = ( 4,29 rad/s^2 ) (. 5s )
ωf = 21,43 rad/s
La velocidad lineal esta dado por:
v = r. ωf ; v = (0,35 m ) ( 21,43 rad/s )
v = 7,50 m/s
TAREA
- Una rueda cuyo momento de inercia es de 32 kg. m^2 se somete a un momento de torsión de 12 N.m. Si la rueda esta inicialmente moviéndose con una velocidad angular de 6 rad/s cuando se aplica el momento de torsión. Calcular la velocidad angular final si el momento de torsión se aplico durante 9 s.
- Tres masas iguales m = 0,4 kg, se fijan a los vértices de un triángulo isósceles PQR. Calcular el momento de inercia del sistema respecto a: a) Un eje que pasa por el lado del triángulo más pequeño. b) Un eje que contenga a la altura que va del vértice Q a su lado opuesto. P
4 m
Q R
2m
- Una pelota de tenis posee una masa de 57 g y un diámetro de 7 cm. Calcular el momento de inercia alrededor de su diámetro. La pelota de tenis es una esfera hueca de paredes delgadas cuya I = 2/3 m r^2 4. Se aplica un momento de torsión de 12 N.m a una rueda pesada cuyo momento de inercia es I = 36 kg .m^2. Calcular: a) La aceleración angular de la rueda. b) Si la rueda esta inicialmente en reposo y el momento de torsión se aplico por 10s, determinar la velocidad angular de la rueda al final de los 10s. 5. Un disco de hierro tiene un radio de 0,515 m y una masa de 307 kg. El disco está montado sobre su eje de modo que está libre para girar. Calcular: a) El momento de torsión que se requiere para darle una aceleración angular de 1 rad/s^2. b) Si el momento de torsión se aplica en el borde del disco, cual es la fuerza requerida. c) La fuerza requerida si es aplicada a una distancia de 10,5 cm del eje. 6. Una piedra de afilar los cuchillos en forma de disco tiene una masa de 1,7 kg y un radio de 8cm y está girando a 730 rev/min. Cuando se desconecta el motor, una mujer continúa afilando su cuchillo manteniéndola contra el disco de afilar durante 9 s hasta que ésta se detiene. Calcular: a) Hallar la aceleración angular del disco. b) El momento de torsión que ejerce el cuchillo sobre el disco. Suponer constante la aceleración y que no existe otros momentos de fuerza de rozamiento. 7. El volante de un motor tiene un momento de inercia de 36 kg. m^2. Calcular el momento de torsión necesario para acelerarlo desde el reposo hasta una velocidad angular de 400 rpm en 10 s. 8. Calcular el momento de inercia de una varilla de delgada de 1 kg de 1m de longitud que gira alrededor de uno de sus extremos y cuando el eje esta a través de su centro.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER
El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa está dado por:
I eje paralelo= I cm + md^2
La expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto - tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo.
EJEMPLO:
- Calcular el momento de inercia de un cilindro macizo homogéneo de radio R, altura H y masa m respecto al eje Z de la figura.
Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene:
I ep = I cm + md^2
I ep = mR 2 / 2 + mR 2
I ep = 3 m R^2 / 2
- Calcula el momento de inercia de una varilla, masa m, longitud L, respecto a un eje perpendicular a distancia L/4 de un extremo.
L/
I 0 = (1/12) mL^2
I= 1/12mL^2 + m(L/4)^2
I = 7mL^2 /
- Calcula el momento de inercia de un disco homogéneo, masa m, radio R, girando respecto a un eje perpendicular por su extremo.
R
I 0 = (1/2) mR^2
Por lo tanto:
I = (1/2) mR^2 + mR^2 = (3/2) mR^2
- El momento de inercia de un cuerpo de masa 2 kg respecto a un eje que pasa a 0,5 m del c.d.m vale 0,4 kg·m^2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo situado 0, m más lejos del c.d.m. Se sabe que:
m = 2 kg; d 1 = 0,5 m; I 1 = 0,4 kg·m^2 ; d 2 = 0,3 m
d1 d
El teorema de Steiner no se puede aplicar entre dos ejes paralelos cualesquiera, uno de ellos tiene que pasar por el c.d.m del cuerpo, luego en este problema se debe utilizar dicho teorema para cada una de las dos distancias.
Pt = ζ. ω ; Pt = ( 5,76 N.m ) ( 11,52 rad/s)
Pt = 66,35 W ; Pt = 0,09 HP
- El motor de un Chevrolet Corsa 2002, a 3 700 rev/min tiene un momento de torsión máximo de 675 Nm. Calcular la potencia de salida del motor si opera a estas condiciones de momento máximo.
Sabemos que: ω = 3 700 rev/min ; ω = 387,46 rad/s ζ = 675 N.m La potencia calculamos con Pt = ζ.ω ; Pt = (675 N.m)(387,46 rad/s)
Pt = 261 535,5 W ; Pt = 350,58 HP
- Un molino de carne que es utilizado en la carnicería tiene un disco uniforme de 0,80 kg y 8 cm de radio. Se lo lleva uniformemente al reposo desde una rapidez de 1 400 rpm en un tiempo de 35 s. Calcular el momento de torsión debido al rozamiento que se opone al movimiento.
Sabemos que la inercia del disco es: I = ½ m R 2 ; I = ½ ( 0,80 kg)(0,08 m)^2 ; I = 2,56 x 10 - 3^ kg. m^2
ωf = 0 rad/s ; ωo = 1 300 rpm = 136,14 rad/s Θ = ω (^) prom t ; Θ = ½ ( ωo + ωf ) t Θ = ½ ( 136,14 rad/s ) ( 35 s) Θ = 2 382,45 rad.
La rueda al principio tiene Ec, pero a medida que la rueda se va deteniendo, esta energía se va perdiendo al realizar trabajo en contra de la fuerza de rozamiento, por lo que podemos escribir la ecuación:
Ec inicial = Trabajo realizado en contra del momento de torsión.
½ I ω^2 = ζ Θ ; ζ = ½ I ω^2 / Θ
ζ =
1/2(2,56x10−3kgm^2 )(136, rad s )
2
2 382,45 rad
ζ = 0,0099 N.m
- Una bola de billar de radio 11 cm y masa M = 7,2 kg rueda sin rozamiento sobre una superficie horizontal a 2 m/s. después sube por una pendiente sin rozamiento hasta una altura h antes de
alcanzar momentáneamente el reposo y volver rodando hacia atrás. Determinar h.
La energía mecánica se conserva. La energía cinética de traslación más la energía cinética de rotación se convierte en energía potencial gravitacional, y como la bola rueda sin rozamiento vcm = R. ω ; así tenemos:
Em (^) en la base = Em (^) en la parte de arriba Ec (^) traslación + Ec (^) rotación = Epg
½ m v^2 + ½ Icm ω 2 = m g h
Si: ω =
v
r
; Icm = 2/5 m. r^2
al sustituir ω e Icm y despejar h se tiene: ½ m v^2 + ½ ( 2/5 m r^2 ) (
v r
) 2 = m g h
h =
7 v^2
10 g
; h =
m s
m s^2
; h = 0,29 m
- Un disco sólido uniforme de radio R y masa m y un aro del mismo radio y masa son liberados del reposo desde lo alto de un plano inclinado. Determinar cual objeto se mueve más rápido al fondo.
Aplicamos el principio de la conservación de la energía para el disco, ya que toda la energía potencial se convierte en energía cinética de rotación y traslación y como no existe
rozamiento ω =
v
r
Em (^) en la parte de arriba = Em (^) en la base
Epg = Ec (^) traslación + Ec (^) rotación
m g h = ½ m v^2 + ½ Icm ω 2
m g h = ½ m v^2 + ½ Icm
v^2
R^2
; despejamos v:
v = √
2 g h
I
mr^2
Constituye la velocidad del disco al fondo del plano inclinado y observamos que depende de la inercia y la masa del objeto, además de la altura que se le deja caer al objeto. Por tanto al sustituir los valores de la inercia del disco y el aro se tiene: I (^) disco = ½ mr^2 ; I (^) aro = mr^2
v disco= √
2 g h
I
mR^2
; v= √
2 g h
; v = √
4 g h
v aro= √
2 g h
I
mR^2
; v= √
2 g h
; v = √gh
El disco a causa de su menor momento de inercia, tiene una velocidad mayor que el aro a lo largo del plano inclinado. Por lo que el disco alcanza primero el fondo.
TAREA
- Una masa de 2kg gira a 160 rpm en el extremo de un cordel de 50 cm de longitud. Calcular: a) El momento de inercia. b) La velocidad angular. c) La energía cinética rotacional.
- Un motor desarrolla un torque rotacional de 400 Nm a 3700 rev/min. Calcular la potencia suministrada por el motor.
- Un cilindro solido ( I = ½ m r^2 ) y una esfera solida de 0,50 m de radio y 2 kg de masa se liberan de la cima de un plano inclinado sin rozamiento, de 3 m de altura y 8 m de largo. Calcular la velocidad de cada uno cuando llega al fondo
- Un anillo uniforme de 16 lb gira sobre su centro a 5 rev/s. Si su energía cinética rotacional es de 270 J. Calcular el radio del anillo.
- Dos masas puntuales m 1 y m 2 están conectadas por una varilla ligera de longitud L. El conjunto gira alrededor de su centro de masa con una velocidad angular ω. Demostrar que la relación entre las energías cinéticas de las masas es Ec 1 / Ec 2 = m 2 /m 1
- Un aro de 0,40 m de radio y 0,6 kg rueda sin rozamiento con una velocidad de 15 m/s hacia un plano inclinado de 30^0. Calcular la distancia que sube el aro por el plano inclinado.
- Una rueda maciza de 4 kg de 0,23 m de radio está inicialmente en reposo. Calcular: a) El trabajo que se requiere para hacerle girar a 3 rev/s alrededor de su eje. b) La potencia en HP que se produce al girar 2 min.
c) Si la energía de la rueda en rotación se duplica, determinar las revoluciones por segundo que hará.
- Se aplica una fuerza tangencial de 11 N a un disco en reposos de masa 1,5 kg de radio 2 m, durante 6 s. Calcular: a) La aceleración angular, el desplazamiento angular y la velocidad angular final b) El trabajo realizado por la fuerza.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Las cosas que giran como un cilindro que rueda bajando un plano inclinado, un acróbata ejecutando un salto mortal, siguen girando hasta que algo los detiene. Un objeto que gira tiene una inercia de rotación y como ya se dijo anteriormente todos los objetos que se mueven tienen inercia de movimiento o cantidad de movimiento, en el caso de los objetos que giran se llama cantidad de movimiento angular.
Los planetas en órbita en torno al Sol, una piedra que gira en el extremo de una cuerda y los diminutos electrones que giran en torno a los núcleos atómicos tienen cantidad de movimiento angular.
Se define la cantidad de movimiento angular (L ) como el producto del momento lineal mv y el radio R del cuerpo que gira.
L = mv.R
La cantidad de movimiento angular es una magnitud vectorial cuya dirección se define aplicando la regla de la mano derecha.
Con la definición de ω = v/r podemos expresar la magnitud del momento angular en términos de la velocidad angular:
L = m.R 2 ω
También podemos remplazar I = m R^2 así:
L = I ω
Podemos concluir diciendo que un objeto o sistema mantiene su cantidad de movimiento angular a menos que sobre ellos actúe un momento de torsión externo neto.
