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POLEAS:
En el sistema constituido por la carretilla y el bloque de masas
m 1 y m 2 , determinar una expresión para: la aceleración de la
carretilla, la tensión de la cuerda y la fuerza ejercida por la
superficie sobre la carretilla.
Solución: I.T.I. 9 9
Texto solución
En el sistema de la figura las masas de los cables y poleas
son despreciables. Si el coeficiente de rozamiento entre la
superficie inclinada y m 2 es μ: a) determinar las
condiciones de movimiento en uno u otro sentido, b) en el
caso de que el sistema se mueva con aceleración calcularla.
Solución: I.T.I. 94, I.T.T. 95, I.I. 94
Texto solución
θ m 2
m 1
θ m 1
m 2
m 3
Física Tema Página 2
En el sistema de la figura las masas de 1 y 2 son iguales:
m , el coeficiente de rozamiento entre los bloques y B es μ,
y la masa de la polea es despreciable. ¿Cual es la
aceleración mínima a la que debe desplazarse B en
dirección horizontal para que los cuerpos 1 y 2
permanezcan en equilibrio respecto de B ?. En las mismas
condiciones que antes, calcular la aceleración máxima para
que se siga manteniendo el equilibrio.
Solución: I.T.I. 03, I.T.T. 03
En el caso de que la aceleración de B fuese inferior a cierto valor mínimo
aB , mín. el
bloque 1 se movería hacia la derecha sobre B y el bloque 2 descendería, las fuerzas de
rozamiento sobre los dos bloques estarían orientadas en sentido contrario a su
movimiento relativo respecto de B. En el caso de que la aceleración de B fuese igual a
dicho valor mínimo
aB , mín. los bloques ya no se moverían, pero las fuerzas de
rozamiento que actuarían sobre ellos seguirían teniendo la misma orientación, serían
fuerzas de rozamiento estáticas y su valor sería máximo.
Si viésemos las cosas desde el punto de vista de un observador
O ʹ′ montado en B los dos
bloques se encontrarían en reposo y su aceleración sería nula. El hecho de que
O ʹ′sea un
observador no inercial implica que en su análisis tiene que tener en cuenta fuerzas de
inercia.
Si el análisis del problema lo hace un observador inercial O con su sistema de referencia
fijo en el suelo viendo desplazarse aceleradamente el carretón, los diagramas y
ecuaciones que plantearía serían:
aB
B
m
g +
N 1 +
T +
Froz ., 1 + − m
( aB ) = 0 m
g +
N 2 +
T +
Froz .,2 + − m
( aB ) = 0
T
N 1
Froz ., 1
m
g
Finercia = − m
aB
1
T
N 2
m
g
Finercia = − m
aB
Froz .,
m
g +
N 1 +
T +
Froz ., 1 = m
aB m
g +
N 2 +
T +
Froz .,2 = m
aB
T
N 1
Froz ., 1
m
g
aB
T
N 2
m
g
Froz .,
aB
Física Tema Página 4
El carretón de la figura es acelerado hacia la derecha a 2 m/s
2
respecto del suelo. Los bloques, de masas m 1 = 5 kg y m 2 = 10 kg,
tienen un coeficiente de rozamiento con el carretón de 0.2.
Calcular la aceleración de los bloques respecto del suelo.
Solución: I.T.I. 94, 99, 00, I.T.T. 95, 99, 02, 05, I.I. 94
Cada bloque va a realizar un movimiento rectilíneo. En nuestro caso, dadas las masas de
los bloques, parece bastante claro que el movimiento de 1 va a ser ascendente y el de 2
descendente. Consideraremos que la cuerda y la polea son ideales (sin masa).
Si viésemos las cosas desde el punto de vista de un observador
O ʹ′ montado en el
carretón el bloque 1 tendría una aceleración
a 1 ʹ′ ascendente a lo largo del plano inclinado
y el bloque 2 una aceleración
a 2 ʹ′ dirigida verticalmente hacia abajo. El hecho de que
O ʹ′
sea un observador no inercial implica que en su análisis tiene que tener en cuenta
fuerzas de inercia:
Si el análisis del problema lo hace un observador inercial O con su sistema de referencia
fijo en el suelo viendo desplazarse aceleradamente el carretón, los diagramas y
ecuaciones que plantearía serían:
θ = 37º m 2
ac
m 1
θ
T
N 1
Froz ., 1 m 1
g
Finercia = − m 1
ac
a 1 ʹ′
m 1
g +
N 1 +
T +
Froz ., 1 + − m 1
( ac ) = m 1
a 1 ʹ′ m 2
g +
N 2 +
T +
Froz .,2 + − m 2
( ac ) = m 2
a ʹ′ 2
T
N 2
m 2
g
Finercia = − m 2
ac
a 2 ʹ′
Froz .,
θ
T
N 1
Froz ., 1 m 1
g
a 1 ʹ′
ac
a 1
m 1
g +
N 1 +
T +
Froz ., 1 = m 1
a 1 = m 1
a 1 ʹ′ +
( ac ) m 2
g +
N 2 +
T +
Froz .,2 = m 2
a 2 = m 2
a ʹ′ 2 +
( ac )
T
N 2
m 2
g
a 2 ʹ′ a 2
ac
Froz .,
Independientemente de quién analice el problema las ecuaciones finales resultan ser las
mismas. Teniendo en cuenta que al ser constante la longitud de la cuerda:
a 1 ʹ′ = a ʹ′ 2 = a ʹ′ , y
que las fuerzas de rozamientos son dinámicas: Froz ., i = μ Ni Descomponiendo en
componentes a lo largo del plano y perpendiculares al plano para el bloque 1 y en
componentes horizontales y verticales para el bloque 2:
− m 1 g sen θ + T − μ N 1 = m 1 ( a ʹ′ + ac cos θ) N 2 = m 2 ac
− m 1 g cos θ + N 1 = − m 1 ac sen θ m 2 g − T − μ N 2 = m 2 a ʹ′
Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas cuya solución es:
N 1 = m 1 ( g cos θ − ac sen θ) =
N 2 = m 2 ac =
a ʹ′ =
m 2 ( g − μ ac ) − m 1 [ g ( sen θ + μcos θ) + ac (cos θ − μsen θ)]
m 1 + m 2
T =
m 1 m 2
m 1 + m 2
⎟ [ g^ (^1 +^ sen^ θ^ +^ μcos^ θ)^ +^ ac (cos^ θ^ −^ μ^ sen^ θ^ −^ μ)] =
33.1N
20.0 N
60.7 N
3.33 m / s
2
Física Tema Página 7
Un bloque de 6 kg descansa, como se indica en la figura, sobre la
pieza en forma de L de 10 kg. Los coeficientes de rozamiento entre
ambos son μest. = 0.30 y μdin. = 0.25, y no hay rozamiento ni en la
polea (idealmente sin masa) ni en el plano horizontal. Determinar:
a) La máxima fuerza que se puede ejercer en la cuerda para que el
bloque B no deslice sobre A , b) la aceleración en dicho caso.
Solución: I.T.I. 97, 01, 03, I.T.T. 97, 01, 04
a) Si consideramos el conjunto de los dos bloques su
aceleración vendrá dada por:
F +
N (^) suelo → A + Mtotal
g = Mtotal
aconjunto
Nsuelo → A = Mtotal g
F = Mtotal aconjunto ⇒ aconjunto =
F
Mtotal
F
mA + mB
Si analizamos el diagrama de fuerzas del cuerpo B :
Froz ., A → B +
F +
N (^) A → B + mB
g = mB
aB
NA → B = mB g
Froz ., A → B − F = mB aB ⇒ aB =
Froz ., A → B − F
mB
Los dos resultados hacen referencia a la misma aceleración, ya que los bloques se
mueven conjuntamente:
F
mA + mB
Froz ., A → B − F
mB
⇒ F =
mA + mB
mA + 2 mB
⎟ Froz ., A → B
La fuerza de rozamiento entre los dos bloques es estática, aunque los dos bloques se
encuentren en movimiento acelerado su movimiento relativo es nulo. Esta fuerza de
rozamiento puede crecer hasta cierto valor límite, lo cual nos limita el valor de F :
Froz ., A → B ≤ Froz. máx ., A → B = μ est. NA → B = μ est. mB g
⇒ F ≤ μ est.
mA + mB
mA + 2 mB
⎟ mB g^ =^ 12.83N
F
B
A
F
B
A
N (^) suelo → A
Mtotal
g
aconjunto
Froz. A → B
B
A
F
N A → B
mB
g
aB
b) Si la fuerza F alcanza su valor máximo, volviendo al análisis que hacíamos para el
conjunto:
aconjunto =
F
Mtotal
F
mA + mB
= (^) 0.802m / s
2
En el sistema de la figura se suponen nulos los rozamientos y las masas de las
poleas y de las cuerdas. Hallar m 1 para que m 3 permanezca en reposo. Determinar
en dicho caso las tensiones en las cuerdas. Datos: m 2 = 0.5 kg, m 3 = 0.3 kg.
Solución: I.T.I. 93, 96, I.T.T. 95
Texto solución
En el sistema de la figura se suponen nulos los rozamientos y las masas de las
poleas y de las cuerdas. Hallar m 1 para que m 3 permanezca en reposo. Determinar
las aceleraciones de los cuerpos y las tensiones de las cuerdas.
Solución: I.T.I. 94, I.I. 94
Texto solución
En el sistema de la figura se suponen nulos los rozamientos y las masas de
las poleas y de las cuerdas. Determinar la aceleración de cada uno de los
bloques. ¿Cuál de ellos llegará primero al suelo? Datos: m 1 = 5 kg,
m 2 = 15 kg, m 3 = 10 kg, h 1 = 0.45 m, h 2 = 0.30 m, h 3 = 0.45 m.
Solución: I.T.I. 95
Texto solución
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento
de ambas superficies con los cuerpos
apoyados sobre ellas es de 0.1. determinar
las aceleraciones de cada cuerpo si las
masas de los mismos son mA = 3 kg,
mB = 20 kg y mC = 10 kg y θ = 30º.
Solución: I.T.I. 96
Texto solución
A
C
B
θ
mB
g + 2
T = mB
aB ⇒ mB g − 2 T = mB aB ( 2 )
Tenemos 2 ecuaciones y tres incógnitas: T , aA , aB. Necesitamos una tercera ecuación
para resolver el sistema. Esta ecuación se obtiene teniendo en cuenta que A está unido al
techo por una cuerda de longitud fija, lo cual impone una relación entre la aceleración
de los dos cuerpos. Cuando el bloque A se desplaza una cierta distancia en el sentido
positivo escogido para su movimiento unidimensional, en nuestro caso ascendiendo por
el plano, el bloque B se desplaza una distancia mitad, también en el sentido positivo de
su movimiento, en nuestro caso descendente. Si los desplazamientos de B son siempre la
mitad de los desplazamientos de A , derivando dos veces obtenemos que la relación entre
aceleraciones es similar:
a B
aA
Una vez encontrada la última ecuación podemos resolver el sistema:
aA =
2 mB − 4 mA ( sen θ + μ din. cos θ)
4 mA + mB
⎥ g^ =
aB =
mB − 2 mA ( sen θ + μ din. cos θ)
4 mA + mB
⎥ g^ =
T = [ 2 + sen θ + μ cos θ]
mA mB
4 mA + mB
⎟ g^ =
Para el sistema de la figura (las poleas son de masa
despreciable y las cuerdas de longitud cte.) determinar: a) la
aceleración de los cuerpos, b) la tensión de las cuerdas, c) la
velocidad del cuerpo A después de haber recorrido 1 m sobre
el plano inclinado. Suponer que el sistema parte del reposo.
Datos mA =1.5 kg, mB =1 kg, θ =30º, μ = 0.1.
Solución: I.T.I. 02
Cada bloque va a realizar un movimiento rectilíneo. En general no tenemos por qué
conocer con certeza hacia donde se produce el movimiento. Como regla general,
debemos tomar un sentido positivo de movimiento para cada uno de ellos (como cuando
uno tomaba un sistema de referencia para los movimientos unidimensionales). Al final
el signo del resultado nos informará del sentido de movimiento. Vamos a tomar en
nuestro caso el sentido positivo de movimiento ascendente para A y descendente para B.
0.926m / s
2
1.852m / s
2
887.3N
θ
A
B
a) y b) Dibujando el diagrama de fuerzas para los dos cuerpos (considerando que el
movimiento real se produce hacia la derecha para poder dibujar las fuerzas de
rozamiento):
Si suponemos que la cuerda que engancha A con el techo es ideal (sin masa) y que la
polea es también ideal (sin masa) la tensión es la misma en todos los puntos de la
cuerda. Aplicando la segunda ley de Newton a la polea móvil, podemos ver que la
tensión que tira de B es el doble que la tensión que tira de A :
TB − 2 TA = m (^) polea apolea = 0
Planteando la segunda ley de Newton para cada cuerpo y teniendo en cuenta que el
rozamiento sobre A es dinámico ( F roz. = μ NA ):
Froz ., A +
T +
N (^) A + mA
g = mA
aA
NA = mA g cos θ
T − Froz ., A − mA g sen θ = mA aA
⇒ T − μ mA g cos θ − mA g sen θ = mA aA ( 1 )
mB
g + 2
T = mB
aB ⇒ mB g − 2 T = mB aB ( 2 )
Tenemos 2 ecuaciones y tres incógnitas: T , aA , aB. Necesitamos una tercera ecuación
para resolver el sistema. Esta ecuación se obtiene teniendo en cuenta que A está unido al
techo por una cuerda de longitud fija, lo cual impone una relación entre la aceleración
de los dos cuerpos. Cuando el bloque A se desplaza una cierta distancia en el sentido
positivo escogido para su movimiento unidimensional, en nuestro caso ascendiendo por
el plano, el bloque B se desplaza una distancia mitad, también en el sentido positivo de
su movimiento, en nuestro caso descendente. Si los desplazamientos de B son siempre la
mitad de los desplazamientos de A , derivando dos veces obtenemos que la relación entre
aceleraciones es similar:
aB =
aA
2
Una vez encontrada la última ecuación podemos resolver el sistema:
TB
TA
TA
apolea
A
θ
TA
N A
Froz ., A mA
g
aA
B
TB
mB
g
aB
En el sistema representado en la figura mA = 200 kg y mB = 500 kg,
despreciamos los rozamientos en el plano y en las poleas que consideramos
de masa despreciable. Calcular la aceleración de los bloques y la tensión de
las cuerdas.
Solución: I.T.I. 05
Cada bloque va a realizar un movimiento rectilíneo. En general no tenemos por qué
conocer con certeza hacia donde se produce el movimiento. Como regla general,
debemos tomar un sentido positivo de movimiento para cada uno de ellos (como cuando
uno tomaba un sistema de referencia para los movimientos unidimensionales). Al final
el signo del resultado nos informará del sentido de movimiento. Vamos a tomar en
nuestro caso el sentido positivo de movimiento hacia la derecha para A y descendente
para B.
Dibujando el diagrama de fuerzas para los
dos cuerpos:
Si suponemos que la cuerda que engancha A con el techo es ideal (sin masa) y que la
polea es también ideal (sin masa) la tensión es la misma en todos los puntos de la
cuerda. Aplicando la segunda ley de Newton a la polea móvil, podemos ver que la
tensión que tira de B es el doble que la tensión que tira de A :
TB − 2 TA = mpoleaapolea = 0
⇒ TB = 2 TA ( 1 )
Planteando la segunda ley de Newton para cada cuerpo:
TA +
NA + mA
g = mA
aA ⇒ TA = mAaA ( 2 )
mB
g +
TB = mB
aB ⇒ mB g − TB = mBaB ( 3 )
Tenemos 3 ecuaciones y cuatro incógnitas: TA , TB , aA , aB. Necesitamos una cuarta
ecuación para resolver el sistema. Esta ecuación se obtiene teniendo en cuenta que A
está unido a un punto fijo por una cuerda de longitud determinada, lo cual impone una
relación entre la aceleración de los dos cuerpos. Cuando el bloque A se desplaza una
cierta distancia en el sentido positivo escogido para su movimiento unidimensional, en
nuestro caso hacia la derecha, el bloque B se desplaza una distancia mitad, también en el
TB
TA
TA
apolea
A
TA
N A
mA
g
aA
B
TB
mB
g
aB
sentido positivo de su movimiento, en nuestro caso descendente. Si los desplazamientos
de B son siempre la mitad de los desplazamientos de A , derivando dos veces obtenemos
que la relación entre aceleraciones es similar:
aB =
aA
Una vez encontrada la última ecuación podemos resolver el sistema:
aA =
2 mB
4 mA + mB
g = TA =
2 mA mB
4 mA + mB
g =
aB =
mB
4 mA + mB
⎥ g^ =^ TB =^
4 mA mB
4 mA + mB
g =
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es μ = 0.1,
determinar la aceleración de cada bloque de la figura y las
tensiones en las cuerdas si: mA = 5 kg, mB = 20 kg y mC = 15 kg
(Considerar la masa de las poleas despreciable)
Solución: I.T.I. 92, 95, 98, 99, 04, I.T.T. 96, 99, 02, 05
Cada bloque va a realizar un movimiento rectilíneo. En nuestro caso, dadas las masas de
los bloques, parece bastante claro que el movimiento de A va a ser ascendente, el de B
descendente y el de C hacia la izquierda. En general, si no se conocieran las masas, no
sabríamos con certeza hacia donde se produciría el movimiento. Como regla general,
debemos tomar un sentido positivo de movimiento para cada uno de ellos (como cuando
uno tomaba un sistema de referencia para los movimientos unidimensionales). Al final
el signo del resultado nos informará del sentido de movimiento. Vamos a tomar en
nuestro caso el sentido positivo de movimiento hacia arriba para A , hacia abajo para B y
hacia la izquierda para C.
Dibujando el diagrama de fuerzas para los tres cuerpos:
A
B
C
3.77 m/s
2
7.54 m/s
2 1.51 kN
3.02 kN
incrementa en el doble del desplazamiento realizado por B : Δ lgoma = 2 Δ xB. Si finalmente
dejamos fijos A y la polea móvil y desplazamos C una cierta distancia
Δ xC en el sentido
positivo escogido para su movimiento unidimensional, en nuestro caso hacia la
izquierda, la goma experimenta una contracción igual al desplazamiento realizado por
C : Δ lgoma = −Δ xC. Si ahora tenemos en cuenta el movimiento de los tres cuerpos a la vez
y consideramos que lo que tenemos no es una goma sino una cuerda de longitud fija, la
variación en su longitud, debido al movimiento combinado de los tres cuerpos, debe ser
nula:
Δ lcuerda = −Δ xA + 2 Δ xB − Δ xC = 0
Derivando esta expresión dos veces respecto al tiempo encontramos la relación entre las
aceleraciones de los tres cuerpos:
− aA + 2 aB − aC = 0
Nuestro sistema de ecuaciones está ahora completo y su solución es:
TA − mA g = mA aA mB g − TB = mB aB
NC − mc g = 0 TC − μ NC = mC aC
TA = TC TB = 2 TA − aA + 2 aB − aC = 0
Los dos bloques mostrados en la figura están inicialmente
en reposo, despreciando el rozamiento de las poleas
(idealmente sin masa) y sabiendo que el coeficiente de
rozamiento dinámico entre los bloques y el plano es de
0.25, determinar la aceleración de cada bloque y la
tensión de la cuerda. Si el bloque A se hubiese movido
inicialmente hacia la izquierda con una velocidad inicial
de 1 m/s, determinar de nuevo la aceleración de cada bloque y la tensión de la cuerda. Datos:
mA = 90 kg, mB = 136 kg
Solución: I.T.I. 97, 01, 03, I.T.T. 97, 01
Cada bloque va a realizar un movimiento rectilíneo. En nuestro caso, dadas las
pendientes y las masas de los bloques, parece bastante claro que el movimiento se va a
realizar hacia la derecha. En general, si no se conocieran las masas, no sabríamos con
certeza hacia donde se produciría el movimiento. Como regla general, debemos tomar
un sentido positivo de movimiento para cada uno de ellos (como cuando uno tomaba un
sistema de referencia para los movimientos unidimensionales). Al final el signo del
aA = 3.22 m / s
2 TA = 65.1 N
aB = 3.29 m / s
2 TB = 130.2 N
aC = 3.36 m / s
2 TC = 65.1 N
NC = 147 N
A
B
resultado nos informará del sentido de movimiento. Vamos a tomar en nuestro caso el
sentido positivo de movimiento hacia la derecha para los dos bloques.
Dibujando el diagrama de fuerzas para los dos cuerpos (considerando que el
movimiento real se produce hacia la derecha para poder dibujar las fuerzas de
rozamiento):
Para el bloque A tendremos:
Froz ., A +
T +
N (^) A + mA
g = mA
aA ( F roz ., A = μ din. NA )
NA = mA g cos θ
T − Froz ., A − mA g sen θ = mA aA
⎭⎪^
⇒ T − μ din. mA g cos θ − mA g sen θ = mA aA ( 1 )
Para el bloque B tendremos:
Froz ., B + 2
T +
N (^) B + mB
g = mB
aB ( F roz ., B = μ din. NB )
NB = mB g sen θ
mB g cos θ − 2 T − Froz ., B = mB aB
⎭⎪^
⇒ mB g cos θ − 2 T − μ din. mB g sen θ = mB aB (2)
Tenemos 2 ecuaciones y tres incógnitas: T , a 1 , a 2. Necesitamos una tercera ecuación
para resolver el sistema. Esta ecuación se obtiene teniendo en cuenta que los dos
bloques están unidos por una cuerda de longitud fija, lo cual impone una relación entre
la aceleración de los dos cuerpos. Cuando el bloque A se desplaza una cierta distancia en
el sentido positivo escogido para su movimiento unidimensional, en nuestro caso hacia
la derecha, el bloque B se desplaza una distancia mitad, también en el sentido positivo
de su movimiento. Si los desplazamientos de B son siempre la mitad de los
desplazamientos de A , derivando dos veces obtenemos que la relación entre
aceleraciones es similar:
aB =
aA
2
Una vez encontrada la última ecuación podemos resolver el sistema:
Sentido positivo del movimiento para A
A
θ
T
N A
Froz ., A mA
g
Sentido positivo del movimiento para B
B
θ
T
Froz ., B
N B
mB
g
