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Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal
EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES
1. Dado el sistema de ecuaciones lineales: ⎭⎪
⎬⎪
2 x + 3 y = 3⎫ 4 x +5 y = 6
a) Escribir la expresión matricial del sistema.
b) Discutir el sistema.
c) Resolver el sistema por el método de Gauss.
d) Estudiar si el sistema es de Cramer, y en caso afirmativo, calcular su solución matricialmente y por la regla de Cramer.
Solución
a)^2 4 5
x y
⎜⎝ ⎟⎠^ =^
b) Escribimos la matriz ampliada del sistema dado y la escalonamos mediante operaciones elementales por filas. Observar que en este proceso también se escalona A.
( A|B ) = 2 3 | 3 4 5 | 6
F 2 → F 2 ≈ - 2 F 1 2 3 | 3
⎜⎝ − ⎟⎠^ ⇒^ rg^ A^ = 2 = rg( A|B ) = nº de incógnitas
Aplicando el teorema de Rouche-Frobenius se deduce que el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución.
c) Teniendo en cuenta que ( A|B ) ≈ 2 3 | 3 0 1 | 0
, el sistema ⎭⎪
⎬⎪
2 x +3 y = 3⎫
- y = 0 es equivalente al inicial.
De la segunda ecuación se obtiene y = 0, y sustituyendo en la primera 2 x + 3.0 = 3, por tanto,
x = 3 2
Luego la solución del sistema es x = 3 2
, y = 0
d) Como A es cuadrada y A =10–12 = -2 ≠ 0, el sistema dado es un sistema de Cramer y lo
podemos resolver bien por cálculo matricial o bien por la regla de Cramer.
Cálculo matricial
X = A-1^ B , es decir, x y
Hallamos A -1^ mediante operaciones elementales:
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F 2 → F 2 ≈ - 2 F 1 2 3 |^1
F 1 → F ≈ 1 +3 F 2 2 0 |^5
F 1 →1/2 ≈ F 1
F 2 → ≈ - F 2 1 0 |^ 5 / 2^ 3 / 2
Entonces A -1^ = 5 / 2^ 3 / 2 2 1
y por tanto x y
= 5 / 2^ 3 / 2
= ⎝⎛^ (-5/2).3+(3/2).62.3 + (-1).6 ⎠⎞ = ⎝⎛^ 3/2 0 ⎠⎞
La solución del sistema es x = 3 2
, y = 0.
Regla de Cramer
x =
-2 =^
-2 =^
2 ,^ y^ =
= -2^0 = 0
2. Discutir y resolver el sistema homogéneo:
x y z x y z x y
Solución
Por ser un sistema homogéneo es compatible. Calculamos el rango de A para determinar el número de soluciones que posee.
A =
F 2 → F 2 - F 1 , F ≈ 3 → F 3 - 2 F 1
F 3 → F 3 ≈ + F 2
Así, rg A = 2, por tanto el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. El grado de indeterminación de sistema es 3 – rg A = 3 - 2 = 1, por lo que la solución dependerá de un parámetro.
Para calcular la solución del sistema dado se resuelve el sistema equivalente asociado a la matriz
escalonada que es 0 3 2 0
x y z y z
De la última ecuación se obtiene 3 y = 2z , luego, y = 2 3
z
Sustituyendo en la primera, x + 23^ z^ - z = x - 3^ z^ = 0, luego x = 3^ z
Por lo tanto, las soluciones del sistema es x =^3^ z , y =^23^ z^ , z un número real cualquiera.
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En este caso rg A = 3 independientemente del valor de a y como el número de incógnitas es también 3 para que el sistema sea compatible determinado debe ocurrir que rg( A|B ) sea 3.
rg ( A|B ) = 3 si –2 a + 24 = 0 ⇒ a = 24 2
Resolvamos el sistema para a = 12 por el método de Gauss.
( A|B ) ≈
luego el sistema a resolver es
x y z y z z
despejando
2 z = 10 ⇒ z = 5
-2 y + 2 z = 6 ⇒ -2 y = 6 –2 z = 6 – 2.5 = - 4 ⇒ y = 2
x + y – z = 1 ⇒ x = 1 – y + z = 1 – 2 + 5 = 4 ⇒ x = 4
Por tanto, la solución para a = 12 es x = 4, y = 2, z = 5.
5. Determinar los valores reales de a , para que el siguiente sistema tenga: solución única, infinitas soluciones y ninguna. Resolverlo en los casos en que sea posible.
x + ay + 3 z = 2 x + y - z = 1 2 x +3 y + az = 3
Solución
Para estudiar los rangos de A y ( A|B ), escalonamos la matriz ampliada
( A|B ) =
a
a
F 1 ↔ ≈ F 2
a a
F 2 → F 2 - F 1 , ≈ F 3 → F 3 - 2 F 1
a a
F 2 ↔ ≈ F 3
a a
F 3 → F 3 + (1- ≈ a ) F 2 2
a a a a
La primera operación elemental ( F^1 ↔ ≈ F^2 ) tiene por objeto que el parámetro^ a^ figure en una fila inferior lo que facilita los cálculos.
El rango de A depende de si es nula o no la expresión - a^2 - a + 6
- a^2 - a + 6 = 0 ⇒ a^2 + a - 6 = 0 ⇒ a = 1 25 2
− ± (^) ⇒ a = 2 y a = -
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Casos:
- a ≠ 2, -3 ⇒ - a^2 - a + 6 ≠ 0 ⇒ rgA = rg (A|B) = 3 = nº de incógnitas ⇒ el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución para cada valor de a distinto de 2 y de -3.
Vamos a hallar la solución resolviendo el sistema asociado a la matriz escalonada comenzando a despejar z en la última ecuación y sustituyendo en las anteriores:
(- a^2 -a +6) z = 2- a ⇒ z = 22 2 1
a (a ) -a - a (a^ )(a^ )^ a
+ −^ −^ +^ +
y + ( a +2) z = 1 ⇒ y = 1 – ( a +2) z = 1 −^ (a(a^^ ++^23 ))^ = a^ +^3 a^ −+^3 a −^2 = a^1 + 3
x + y – z = 1 ⇒ x = 1 – y + z = 1 - a^1 +^3 + a^1 +^3 = 1
La solución es x = 1, y = (^) a^1 + 3 , z = (^) a^1 + 3
- a = 2, en este caso, ( A|B ) ≈
⇒ rg A = rg ( A|B ) = 2 < nº de incógnitas ⇒ el
sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones que vamos a calcular resolviendo el sistema asociado a la matriz escalonada
y + 4 z = 1 ⇒ y = 1 – 4 z
x + y – z = 1 ⇒ x = 1 – 1 + 4 z + z = 5 z
Las soluciones son x = 5 z , y = 1 – 4 z , z ∈ Ñ
- a = -3, en este caso, ( A|B ) ≈
⇒ rg A = 2 ≠ rg ( A|B ) = 3 ⇒ el sistema es
incompatible, es decir, no tiene solución.
6. Estudiar según los valores de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su
solución.
x y z x y az x y z
Solución
Como el número de ecuaciones del sistema coincide con el de incógnitas, será un sistema de Cramer si ⎟ A ⎟ ≠ 0.
