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problemas resueltos de optimización de redes de investigación de operaciones.
Tipo: Ejercicios
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Agosto-Diciembre 2019
Equipo # Arreola Euan Cristor Jorge E Caamal Pech Julián Alejandro E Góngora León Emmanuel Javier E Rivas Herrera Mauricio Antonio E
En el desarrollo de este presente documento se pretende alcanzar los objetivos de la unidad que establecen que nosotros podremos identificar los tipos de problemas de redes y así poder aplicar el algoritmo para conocer la ruta que permita
Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos. Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son no- dirigidos, la red es una red no-dirigida. Nodos. Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección. Ciclo. Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida. Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol. Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal. Ventaja. Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.
Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal. Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones". Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones. Problema de la ruta más corta. Se trata de encontrar la ruta de menor distancia o costo entre en punto de partida o el nodo inicial y el destino o nodo terminal. Problema del árbol de mínima expansión. Concepto. Este problema considera una red no dirigida y conexa. En ella se debe encontrar un árbol de expansión con la longitud mínima de sus arcos. Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima. 1.- selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. 2.- se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. 3.- Empates. Los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el
en las redes con capacidades. Al igual que el problema del camino más corto, este considera un costo por flujo hacia un arco. Al igual que el problema de transporte, este permite múltiples orígenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos como casos especiales del problema de flujo de costos mínimo. El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexión superior de flujo a través de cada arco Programación lineal en teoría de redes. Concepto. La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada más actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al desarrollo de la computación. Lo que se busca con la aplicación de la programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en forma óptima.
Mapa.
Problema 22 .- Una compañía de renta de automóviles tiene un desequilibrio de vehículos en siete de sus sitios. La red siguiente muestra los lugares de interés (los nodos) y el costo de mover un automóvil entre los sitios. Un numero positivo al lado de un nodo indica un exceso de suministro en éste, y un número negativo indica un exceso de demanda. Solución. a. Elabore un modelo de programación lineal para este problema. Min 20X 12 + 25X 15 + 30X 25 + 45X 27 + 20X 31 + 35X 36 + 30X 42 + 25X 53 + 15X 54 + 28X 56 + 12X 67 + 27X 74 s.a. X 31 – X 12 – X 15 = 8 X 25 + X 27 – X 12 – X 42 = 5 X 31 + X 36 – X 53 = 3 X 54 + X 74 – X 42 = 3 X 53 + X 54 + X 56 – X 15 – X 25 = 2 X 36 + X 56 – X 67 = 5 X 74 – X 27 – X 67 = 6 25 35 30 1 2 1 2 3 5 4 6 7
Xij ≥ 0 para todos los i,j b. Resuelva el método formulado en el inciso a) para determinar cómo deben redistribuirse los automóviles entre los sitios. QM Windows. Interpretación. La solución para mantener un equilibrio en los vehículos es: X3= 8 X 25 X5= 8 X 31 X7= 3 X 42 X8= 5 X 53 X10= 5 X 56 X12= 6 X 74
QM Windows. Interpretación. La ruta corta es: R.T = (1, 2), (2, 5), (5, 6), (6, 7) D.T = 17
Problema 24 .- En el problema de Gorman Construction, encontramos la distancia más corta desde la oficina (nodo 1) al sitio de construcción localizado en el nodo 6. Como algunos de los caminos son carreteras y otros son calles citadinas, las rutas de distancia más corta entre la oficina y el sitio de construcción no necesariamente proporcionan la ruta más rápida o de tiempo más corto. Aquí se muestra la red de carreteras de Gorman con el tiempo de traslado en vez de la distancia, la ruta más corta desde la oficina de Gorman al sitio de construcción del nodo 6, si el objetivo es minimizar el tiempo de traslado en vez de la distancia. Cambio a red dirigida Programación lineal de la ruta más corta Min 40X 12 + 36X 13 + 6X 23 + 25X 26 + 12X 24 + 15X 35 + 11X 46 + 8X 45 + 23X 56 s.a. nodo inicial: X 12 + X 13 = 1 nodo final: X 26 + X 46 + X 56 = 1 nodo 2: X 12 – X 23 – X 24 – X 26 = 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo de traslado en minutos
en la entrega rápida de documentos y paquetes entre oficinas en horas laborales. Esta empresa promueve su capacidad Para hacer entregas rápidas y a tiempo en cualquier parte de la zona metropolitana. Cuando un cliente llama con una solicitud de entrega, CARD garantiza el tiempo de entrega. La red siguiente muestra las rutas de calles disponibles. Los números sobre cada arco indican el tiempo de traslado en minutos entre los dos lugares. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que pueda usarse para encontrar el tiempo mínimo requerido para realizar una entrega desde la ubicación 1 a la ubicación 6. b. ¿Cuánto tiempo lleva hacer una entrega desde la ubicación 1 a la ubicación 6? c. Suponga que ahora es la 1:00 PM. CARD acaba de recibir una solicitud de recolección en la ubicación 1, y su servicio de mensajería más cercano está a 8 minutos de la ubicación 1. Si la CARD proporciona un margen de seguridad del 20% para garantizar un tiempo de entrega, ¿cuál es el tiempo de entrega garantizado si el paquete recogido en la ubicación 1 se entregará en la ubicación 6? Solución. (^39 ) 2 (^351816) 12 30 4 1 12 30 3 15 5
a) Programación lineal. Min z= 35X12 + 30X13 + 12X23 + 18 X24 + 39X26 + 12X32 + 15X35 + 18X42 + 12X45 + 16X46 + 15X53 + 12X54 + 30*X Sujeto a: Nodo Inicial: X12+X13= Nodo 2: X12+X32+X42-X23-X24-X26= Nodo 3: X13+X23+X53-X35-X32= Nodo 4: X24+X54-X42-X45-X46= Nodo 5: X35+X45-X53-X54-X56= Nodo Final: X26+X46+X56= X12,X13,X23,X24,X26,X32,X35,X42,X45,X46,X53,X54,X56>= B) Interpretación. El tiempo que lleva hacer una entrega desde la ubicación 1 a la ubicación 6 es 69 minutos. Qm Windows.
