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Documento que contiene información sobre el cálculo de momentos y centroides de áreas en física. Se incluyen ecuaciones y ejemplos para áreas cuadradas, rectangulares, circulares, semicirculares, semielípticas, semiparabólicas y parabólicas. Además, se explica el concepto de momento total y se dan ejemplos de diagramas de cortante y momento.
Tipo: Apuntes
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Av. Tecnológico #2, C.P. 76800 , San Juan del Río, Querétaro, México
Tels. 01 (427) 27 241 18, 01 (427) 24178
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Equilibrio de un cuerpo rígido en el espacio
Cuando un elemento se encuentra sometido a varias
fuerzas que hacen que el cuerpo esté en reposo o en
movimiento con VELOCIDAD CONSTANTE, entonces se
dice que se encuentra en estado de equilibrio.
Si en un cuerpo sus dimensiones son considerables
respecto a sus posibles trayectorias, entonces se dice que
se trata de un cuerpo rígido y que si esta en equilibrio se
cumple que:
Las anteriores ecuaciones se plantean para solucionar problemas en los cuales las
fuerzas y el elemento pueden ser analizados en el espacio.
Desplazamiento en dirección de
ejes x, y, z.
Giros que tiene el cuerpo
alrededor del eje x, y, z.
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Diagrama de cuerpo libre.
Solución.
𝒙
𝒛
𝑩
𝑪
𝒙
𝒛
𝑥
𝑥
𝑐
𝑧
𝐵
𝑧
𝑨
𝟑𝟎𝑻𝑩
𝟏𝟑𝟐
𝟑𝟎
( 𝟖𝟎
)
𝟏𝟑𝟐
𝟒𝟐𝑻𝒄
−𝟏𝟑𝟐
𝟒𝟐(𝟔𝟎)
𝟏𝟑𝟐
𝒙
𝒙
𝒄
𝑥
𝑥
𝑐
𝒙
𝒙
𝒛
𝑩
𝒛
𝑧
𝑧
𝐵
𝒛
𝒛
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𝑨
Centroides de gravedad en áreas compuestas
Todos los cuerpos rígidos poseen peso, de acuerdo
con el volumen y estructura de que están hechos. Su
peso se indica como un vector que apunta hacia el
centro de la tierra, debido a la fuerza de gravedad.
Dicho vector se aplica en el centroide del cuerpo rígido.
En este punto el cuerpo está en equilibrio pues la suma
de momentos alrededor de los ejes 𝒙, 𝒚 y 𝒛 es igual a
cero.
Centroides de áreas cuadradas, rectángulos y círculos es muy fácil calcular su
centroide.
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Figura irregular.
Centroide.
Si se suman todos los momentos de 𝑴𝒙 y
𝑴𝒚 de todos los diferenciales de área, se
obtiene el momento total.
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
Si se suman todos los diferenciales de
𝒅𝒂 obtiene el área total
𝒏
𝒊=𝟏
Figura irregular.
Para cada 𝒅𝒂 se obtiene el momento de
área alrededor de un eje, que consiste en
multiplicar el área por la distancia 𝒙
y 𝒚.
𝒙𝟏
𝒊
𝒚𝟏
𝟏
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RESISTENCIA DE MATERIALES
La resistencia de materiales clásica es una disciplina
de la ingeniería mecánica, la ingeniería estructural, la
ingeniería civil y la ingeniería de materiales que
estudia la mecánica de solidos deformables mediante
modelos simplificados.
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Compresión.
El esfuerzo, al igual que en el caso anterior es perpendicular a la sección transversal
del cuerpo, pero este esfuerzo tiende a acortar dicho cuerpo.
Cizalladura o cortadura.
Cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas contrarias, situadas en dos planos
contiguos, que tienden a deslizar entre sí, las secciones en que actúan.
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Flexión.
Cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a doblar el cuerpo. Esto
produce un alargamiento de unas fibras y un acortamiento de otras. Este tipo de
esfuerzos se presentan en puentes, vigas de estructuras, perfiles que se curvan en
máquinas, etc.
Esfuerzo térmico.
Al presentarse un cambio de temperatura
en un elemento, éste experimentará una
deformación axial, denominada
deformación térmica. Si la deformación es
controlada, entonces no se presenta la
deformación, pero sí un esfuerzo,
llamado esfuerzo térmico.
Ejemplos.
Los casos más generales de deformación y esfuerzo térmico son:
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Ley de Hooke
Cuando aplicas una fuerza a un muelle, probablemente este se alargará. Si duplicas
la fuerza, el alargamiento también se duplicará. Esto es lo que se conoce como la
ley de Hooke.
La ley de Hooke establece que el alargamiento de un muelle es directamente
proporcional al módulo de la fuerza que
se le aplique, siempre y cuando no se
deforme permanentemente dicho muelle.
Clasificación de vigas.
Viga.
Una viga es un miembro estructural donde
las cargas aplicadas son principalmente
perpendiculares al eje, por lo que el
diseño predominante es a flexión y corte,
si las cargas no son perpendiculares se
produce algo de fuerza axial, pero esta no
es determinante en el diseño.
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Dentro de lo que son las vigas podemos encontrar dos tipos diferentes: VIGAS
HIPERESTATICAS y VIGAS CANTILIVER.
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Diagrama de cortante
(V)
∑ 𝑭𝒗 = 𝟎
∑ 𝑴𝑨 = 𝟎
Diagrama de Momento
(M)
∑ 𝑴𝑪 = 𝟎
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𝑤 = 𝑁/𝑙
Mom. Max
Centro de gravedad.
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Ejemplo.
Clasificación de columnas.
Teóricamente una columna tiene esfuerzos de compresión sin llegar a su carga
crítica (Per).
Las columnas tienen sección: cuadrada, rectangular, circular, pentagonal, etc.
Para el M. Max.
𝟐
𝟐
P Per
P=Per
El pandeo es la falta
estructural común cuando
hay cargas críticas.
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Capacidad de carga. Para su capacidad de P se consideran las variables:
(esfuerzo de proporcionalidad), 𝝈
(esfuerzo de fluencia) 𝒕 Módulo de elasticidad.
3. Por su apoyo.
Para calcular la Per se utilizan las ecuaciones de Euler
𝑷𝒆𝒓 =
𝝅
𝑬𝑱
𝒌𝑳
𝝈𝒆𝒓 =
𝟐
𝑳
𝒓
𝟐
Ejemplo.
Carga crítica.
Esfuerzo crítico.
