Empuje de los suelos, Apuntes de Mecánica de suelos

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APUNTE DE EMPUJE SOBRE MUROS RIGIDOS

AREA GEOTECNIA

Ing. Augusto J. Leoni – Ing. Diego Skok

FACULTAD DE INGENIERÍA UNLP

Área Geotecnia de la Facultad de Ingeniería UNLP

• Introducción. EMPUJE DE SUELOS SOBRE MUROS RÍGIDOS
• Teoría de Rankine.
• Conclusiones de la teoría de Rankine.
• Coeficientes de los suelos en reposo para diferentes suelos.
• Teoría de Coulomb.
• Empujes en suelos puramente friccionantes - Hipótesis de Rankine.
• Empuje Pasivo - Método de la Espiral Logarítmica.
• paralela al muro o una carga concentrada. Cálculo del diagrama de presiones originado por una carga lineal
• Aspectos generales para calcular la estabilidad del muro.
• Ejemplo práctico del Método de la espiral logarítmica.

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elemental sometido a cierta profundidad a una presión vertical (^) v, igual al peso de la ‘tapada’ de

suelo que está por encima, y que vale el producto de su peso unitario por la profundidad en la

cual se encuentra el elemento prismático estudiado v = . z (figura 1). A esta presión vertical v,

le corresponde una tensión horizontal h. La relación entre ambas es un coeficiente K, que en el

estado original – denominado estado de reposo – se lo denomina K 0.

Supongamos idealmente (figura 2a) que podemos insertar en ésta masa semi infinita, una pantalla

rígida, de tal forma que si nosotros retiramos el suelo que se encuentra a la izquierda de la

pantalla, no cambien las condiciones iniciales del terreno en la parte de la derecha de la misma

(figura 2b).

Fig 2.

Si se permite que este paramento vertical se traslade una cierta magnitud hacia la izquierda a

presión constante, se producirá una reducción de la presión horizontal. A medida que nos

desplazamos a presión constante, para cierto corrimiento, toda la masa de suelo entra en

equilibrio plástico; cada punto llega al límite de rotura, y en ese momento la relación entre las

presiones horizontal y vertical se indica por el coeficiente de empuje activo de Rankine, Ka. Este

coeficiente es entonces la relación entre las tensiones principales, cuando por disminución de la

presión horizontal toda la masa semi infinita de suelo está al borde de la rotura, este es el primer

estado límite. Si se corriera el paramento vertical hacia la derecha, la presión vertical

prácticamente se mantendría constante, pero se produciría un incremento de la presión horizontal.

También se llegaría al borde de la rotura, pero con una inversión de tensiones principales: ahora

la tensión horizontal sería mayor que la vertical. Es otro estado límite característico de Rankine,

para el cual la relación entre las dos presiones está dada por el coeficiente de empuje pasivo, Kp.

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Fig 3.

En la figura 3 se indica la representación de los estados límites por círculos de rotura de Mohr.

Si mantenemos la tensión vertical v constante, se disminuye la tensión horizontal hasta llegar a

la rotura, el segmento 0 - hmín de la figura representa la presión horizontal en ese momento. En

cambio, si mantenemos la tensión vertical constante y aumentamos la tensión horizontal, el

círculo va creciendo hacia la derecha, hasta que en el estado límite de Rankine toca la curva de

resistencia intrínseca y se produce el estado límite de rotura.

En la figura 4 se indican para el mismo diagrama las inclinaciones para las cuales se producen los

estados límites. En el estado activo, la línea de rotura forma un ángulo de  45  / 2 con la

horizontal. En el estado pasivo, las líneas de rotura en toda la masa que se encuentra en estado de

equilibrio plástico, forman también un ángulo de  45  / 2 pero con la vertical.

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Fig. 5: Variación del valor de Ko =  h /  v con las deformaciones de las estructuras de soporte

En la figura 5 se han representado las variaciones de los coeficientes Ka y Kp para distintas

condiciones de densidad relativa del material (arena), en función del giro del paramento vertical

que lo contiene.

Se puede observar en dicha figura la gran deformación que se debe producir para generar Kp, que

en el caso de las arenas densas tienen un pico máximo mientras que en el caso de las arenas

sueltas dicho pico no se alcanza y la pendiente de crecimiento es muy débil.

Por lo expuesto en los párrafos anteriores se aconseja para el cálculo del empuje pasivo, dividir el

valor de Kp por un coeficiente de seguridad, ya que en la mayoría de los casos, las estructuras no

pueden aceptar la gran deformación que se necesita para generar el empuje pasivo máximo.

Por el contrario, se puede apreciar que en el caso del empuje activo Ka las deformaciones

necesarias para alcanzar el valor mínimo de Ka son muy pequeñas.

Fig. 6

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1 - 2.  r  90 

2 -  r  45  / 2

1 3

1 3

tg

c

sen

 

 

 

 

sen

c

sen

sen

cos

1 3

5 -.^ ^45 /^2 ^2. ^45 /^2 

2

 1   3 tg   ctg  

2

N   tg  

7 - ^1  3. N ^ ^2 c. N 

En la figura 6 se indica el diagrama de Mohr correspondiente a un suelo genérico. La ordenada al

origen representa la cohesión, y la fricción está dada por la pendiente del ángulo que forma la

recta con la horizontal. Se ha transcripto la fórmula que da los valores de  1 en función de  3 , por

ejemplo, en el caso de empuje activo la tensión principal menor es la horizontal; despejando  3

para arenas donde la cohesión es nula, se obtiene el valor del coeficiente Ka de Rankine. Por lo

tanto, en la teoría de Rankine la distribución de presiones está afectada por un coeficiente

constante, y la presión vertical crece con la profundidad. La distribución de empujes es triangular,

ya que es:



N

1 3 ^ ; N 

K A

Fig. 7a. Empuje activo en arenas

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parte negativa y la positiva, y en la figura se indica su expresión en función de 2 zo , que es la

altura a la cual se anula el empuje activo.

Es necesario destacar que a la profundidad 2 zo se compensa el área negativa del diagrama de

empujes activos, con otra área similar positiva, lo que hace que a esa profundidad el empuje

activo resultante sea nulo.

Fig. 8. Empuje pasivo en arcillas

Para el otro estado límite, de empujes pasivos, la estructura empuja contra el suelo, y la presión

horizontal crece hasta llegar al estado de equilibrio plástico. La tensión principal mayor es la

horizontal  1. Por lo tanto despejando de la fórmula expresada en la figura 6 tendremos:

Tensión principal mayor:  1 = p

Tensión Principal menor:  3 = . z

 

  zN c N

p

En la figura 8, se ilustra el diagrama de empuje pasivo para el caso más general de un suelo que

tiene cohesión, fricción y sobrecarga. La presión horizontal es la suma de 3 términos; los dos

últimos son constantes, y los diagramas correspondientes resultan rectangulares. El primer

término . Z. N . crece con la profundidad, ya que . Z es la presión vertical v. El empuje

resultante, se calcula como suma de las resultantes parciales de cada una de éstas áreas, o sea,

componiendo las fuerzas P”p y P´p que se observan en la figura, actuantes en los baricentros de

las áreas rectangular y triangular respectiva.

Las condiciones de borde impuestas por la teoría de Rankine, como habíamos dicho

anteriormente, limitan su aplicación en la realidad. Por ejemplo, la resistencia de corte en la

interacción suelo – estructura, no es nula cuando se produce un desplazamiento; por otra parte

siempre hay fricción, de manera que, esta simplificación conduce a cierto error en la

determinación del empuje. También hay casos en los cuales las condiciones geométricas de

verticalidad para la superficie del paramento y horizontalidad para el terreno, no se verifican. Sin

embargo, el error que se comete al aplicar esta teoría, en los casos de empuje activo, es siempre a

favor de la seguridad, ya que el valor de dicho empuje que surge de suponer tensión de corte nula

es mayor que el real.

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Conclusiones de la teoría de Rankine.

Fig. 9. Empujes activos y pasivos.

Supongamos, un muro rígido enterrado cierta altura en la masa de suelo que contiene. Se hace el

relleno, y en cuanto el muro se corre una pequeña fracción toda la masa de suelo entra en empuje

activo, tendiendo a volcar el muro.

El empuje pasivo que tiende a sostenerlo, no se desarrolla totalmente, ya que requiere mayor

deformación. De allí que en algunos casos reales no podamos alcanzar el valor del empuje pasivo

que ayuda a la estabilidad del muro. Es por ello que siempre hay que dividir el empuje pasivo,

por un coeficiente de seguridad, y calcular el empuje activo suponiendo que se manifiesta en su

totalidad.

La teoría de Rankine para empuje activo puede servir para calcular proyectos no muy onerosos,

donde es suficiente una aproximación. Si el proyecto involucrado es realmente importante,

conviene calcular el empuje mediante otra teoría, por ejemplo, con la teoría de Coulomb, con la

cual, los valores de las secciones serán mucho menores.

La figura 9 presenta los diagramas de equilibrio plástico de estructuras de suelos, cuando la

tensión tangencial no es nula. En ella se han colocado las resultantes del diagrama de empuje que

actúa sobre el parámetro vertical, aplicada a una altura H/3 del pie del muro, pues resulta de un

diagrama triangular.

A la izquierda (Fig. 9), se observan las superficies de rotura determinadas experimentalmente

para dos casos de empuje activo: el primero de ellos (lado superior izquierdo), cuando el empuje

está dirigido un ángulo  hacia abajo de la horizontal, llamado empuje positivo- y el segundo

(lado inferior izquierdo) cuando el empuje forma un ángulo  hacia arriba de la horizontal,

llamado empuje negativo. En el caso de  positivo, la superficie es en realidad compuesta;

inicialmente es curva, y luego plana, terminando con el mismo ángulo  45  / 2 que indicaba

Rankine. En el caso de  negativo, una parte de la superficie es curva, con curvatura inversa de

la anterior, terminando en el mismo ángulo.

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OCR es la tasa de precompresión que se define como:

esióndesobrec aefectiva presente

esióndeprecompresión OCR Pr arg

Pr 

e- En un fluido: K 0 = 1, debido a que

El hecho que K 0 pueda ser mayor que 1 en las arcillas preconsolidadas está basado en el siguiente

fenómeno físico:

Al descargarse verticalmente (por ejemplo por erosión de sedimentos superiores) desde un cierto

valor de hasta  0 actual, por tratarse de una masa semi infinita disminuye muy poco con

relación a la reducción ocurrida verticalmente, permaneciendo sensiblemente igual a la original.

No se puede tomar esto como una ley general ya uqe hay arcillas preconsolidadas, por ejemplo

por desecación, para las cuales K 0 puede ser menor o igual a la unidad.

Ello se debe a que las tensiones capilares que produce la desecación (que no actúan solo en

dirección horizontal), original tensiones en los canalículos de la masa que, donde los granos se

acercan entre sí con fuerzas muy importantes, reduciendo la relación de vacios y, en

consecuencia, provocando un estado de figuración interno, configurando una estructura laminar

similar a la de la arena, por lo que, en ciertos casos, K 0 resulta próximo a los sugeridos para

dichos materiales.

Teoría de Coulomb.

Otra teoría que tiene aplicación práctica es la de Coulomb, completamente diferente a la de

Rankine en cuanto a su enfoque. Coulomb introduce una simplificación importante para calcular

el empuje: supone que la superficie de rotura se produce en el suelo, no a través de líneas sino de

planos. La falla se produciría entonces a través de un plano potencial de rotura, lo cual no es

cierto de acuerdo a lo ya explicado, pero permite calcular con rapidez el empuje. Por lo tanto, la

teoría de Coulomb permite calcular problemas en los cuales el paramento no es vertical, y la

superficie de relleno tiene cualquier forma. Introduce la superficie de rotura plana, y estudia el

problema como el equilibrio de una cuña del suelo que falla, limitada de un lado por el

paramento, y del otro por una superficie plana.

La resolución es por tanteos, buscando cual de todas las superficies planas posibles conduce por

ejemplo el empuje activo máximo que constituye el valor más desfavorable.

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Fig. 10. Cálculo del empuje activo usando la teoría de Coulomb.

Supongamos, que la cuña que desliza es la limitada por las rectas OA y OC , figura 10. Dicha

cuña tiene un peso W que podemos calcular y representar con su dirección y sentido en una

escala adecuada.

Esta fuerza de gravedad deberá estar equilibrada por un lado, por la reacción P que se genera en

el plano OC y que está inclinada un ángulo =  con respecto a la normal al mismo, ya que el

deslizamiento es entre suelo y suelo, el empuje activo EA que tendrá una inclinación  con

respecto a la normal al plano OA , que dependerá de la naturaleza del muro, especialmente su

rugosidad, y del suelo.

En los casos de suelos cohesivos tendremos que considerar también la resultante de la fuerza que

se origina por adherencia en el plano OA y en el OC. Estas fuerzas están representadas por Ca y

por C en la figura 10 y se obtienen multiplicando el valor de la cohesión “C” por la superficie del

plano en el que actúa, en el caso del plano OC y multiplicando a la cohesión por el área del

plano OA y por un factor de reducción que depende de la naturaleza del muro, es decir:

C = c. OC

Ca = c. OA. F

Obtenidas las fuerzas W, Ca, C, en el caso de los suelos cohesivos y W en el caso de los suelos

granulares se dibuja a escala cada fuerza con su correspondiente dirección y sentido, lo que nos

permitirá, encontrar el valor de la reacción al peso de la cuña P y el valor del empuje activo EA.

Los valores EA así obtenidos para las distintas cuñas consideradas se representarán sobre un

plano de referencia m-n y en coincidencia con el vértice de la cuña considerada (B; C;.....;D).

Finalmente se unen los extremos libres de los vectores así representados, mediante una curva

continua. Se obtendrá de esta forma un valor de EA máx que tomaremos como empuje activo ya

que corresponde a la reacción que deberá movilizar el muro para impedir el deslizamiento de la

cuña de suelo que tiene mayor posibilidades de hacerlo.

El punto de aplicación del empuje activo se obtiene, primeramente hallando el baricentro de la

cuña de falla, posteriormente se traza una paralela a la superficie de falla, que pase por el

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Fig. 1 2 - a)

Podemos notar que estamos en presencia de dos estratos con distintos parámetros de corte y

distinta densidad, la superficie del terreno natural es totalmente irregular y soporta una

sobrecarga. Tenemos además la presencia de la napa freática cuyo pelo libre no se alinea según

un plano horizontal.

Para resolver éste problema primeramente trazamos la cuña de prueba I que pase por el punto ‘O’

tal como se indica en la parte (b) de la figura y mediante el diagrama de fuerzas encontramos la

cuña más desfavorable, que es la que nos da el mayor valor del EA1 (empuje activo).

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Fig. 1 2 - c)

El segundo paso consiste en encontrar la cuña de prueba II mas desfavorable trazada a partir del

pie del muro, para ello tenemos que determinar primeramente otra cuña trazada en el manto

superior a partir del punto ‘m’ que no tiene porqué tener la misma pendiente y que nos dé el

máximo valor de ‘x’, tal como se indica en la parte ‘c’ de la figura. Nótese que en esta cuña se

computa la resultante de la presión hidrostática como una fuerza ‘U’, que actúa en forma normal

al plano de falla considerado.

Fig. 1 2 - d)

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La distribución de las tensiones sobre el muro tendrán una dirección paralela a la inclinación del

terreno superficial, y su distribución en profundidad seguirá siendo triangular

Fig. 13.

Si  = 0 la ecuación (3) se transforma en la (1) y la (4) en la (2)

Empuje Pasivo

Empuje Pasivo - Método de la Espiral Logarítmica.

TN

z

TN

EXACTO

PLANO

TN

EXACTO (^) PLANO

E

E

z

Fig. 14. Comparación entre las zonas de rotura pasivas entre superficies curvas y planas

La figura 1 4 recalca la diferencia que existe entre suponer una superficie de deslizamiento plana

• como en la teoría de Coulomb – y la superficie real de equilibrio de la cuña involucrada. En

muchos textos se expone otra solución, consistente en suponer que la superficie de deslizamiento

o de rotura está compuesta por un sector curvo b-d y otro plano d-e, (fig. 16). La superficie curva

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• por determinación experimental y teórica – está comprendida entre un arco de círculo y un arco

de espiral logarítmica. Para aprovechar ciertas ventajas geométricas, Terzaghi toma un arco de

espiral logarítmica para el sector b-d y un plano para el sector d-e, y calcula el equilibrio en la

superficie formada por ambos sectores.

l

01

a f 1

d 1

e 1

45 -



/

W

b

45 -

(^)  /



E''p 1

E'p 1

Ep 1

h H

H/ H/

r 1

r (^0) P''p

CA Pp

C

P'p





Curva de deslizamieno

lEp

lPp

D

F

1

lw 1

CA

Fig. 15. Fuerzas intervinientes en la determinación del Empuje Pasivo

En el equilibrio de este prisma, la parte triangular a-d 1 - e 1 tiene un plano de simetría en el cual se

puede suponer que no actúan tensiones de corte, ya que el prisma a-d 1 - e 1 se encuentra en el

estado pasivo de Rankine. Por lo tanto se suprime el triángulo f 1 - e 1 - d 1 para colocar en su lugar la

resultante calculada mediante la teoría de Rankine, limitando el estudio a la cuña determinada por

a-f 1 - d 1 - b. Las fuerzas que actúan sobre dicha superficie son: el empuje pasivo, que forma un

ángulo  con el paramento del muro; la cohesión y la adherencia, cuando existen; el peso de la

cuña; la fuerza Pp que reemplaza al triángulo f 1 - e 1 - d 1. La resultante F forma un ángulo  con la

normal a la tangente a la espiral, y por lo tanto pasa por el centro de la espiral.

Como el método se basa en tomar momentos respecto del centro de la espiral, el momento de la

reacción F se anula.

A los efectos de su cálculo, el empuje pasivo se descompone en dos direcciones extremas: se

considera – por una parte – el empuje pasivo proveniente del suelo con peso y sin cohesión, y por

otra el suelo sin peso y con cohesión. Esta descomposición permite calcular los empujes E’P y

E”P correspondientes a cada caso, y obtener de su suma el empuje pasivo.

Para aplicar el método se toma el suelo en la primera condición mencionada – cohesión nula – en

cuyo caso las fuerzas solamente derivan del peso. El empuje que deseamos calcular está ubicado

a una profundidad H/3. Se procede por tanteos, considerando en primer término el equilibrio de

una cuña cualquiera; tomando momentos respecto de 0 1 se calcula el valor de E’p 1.

A continuación pasamos a detallar el cálculo del empuje pasivo según ésta teoría.

Para ello consideraremos primeramente el caso de suelo con peso y sin cohesión (fig. 1 6 ).