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Instituto Tecnológico de Hermosillo
Algebra Lineal
Prof. Miguel Ángel Burruel Valencia
Alumna. Kenya Yamileth Gil Santacruz
Ensayo números complejos
Temas:
1.1 Definición y origen de los números complejos. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo. 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo. 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. 1.6 Ecuaciones polinómicas.
01 de julio del 2019
Números complejos
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario. Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física y en ingeniería, especialmente en la electrónica por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los números complejos son aquellos que van acompañados de una parte imaginaria donde puede escribirse Z = a + bi donde i es la unidad imaginaria y a y b son números reales. La parte real del numero es decir la a , es el numero real que se suma al numero imaginario puro y la parte imaginaria del numero es decir la b, es el coeficiente real del numero imaginario puro. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica del número complejo z. Los números complejos se representan en un plano infinito que llamaremos plano complejo, de modo que la parte real se represente en el eje de abscisas, llamado eje real , y la parte imaginaria en el eje de ordenadas, llamado eje imaginario. Los números complejos tienen sus operaciones fundamentales tales como son; la suma, la resta, la multiplicación y la división.
El argumento o angulo de un numero complejo es el angulo que forma el vector con el eje real se designa por arg (z) y se calcula de la siguiente forma. La expresión de un numero complejo en forma polar es z = rα que es igual a; |z|= r (r es el módulo) y arg(z)= α (α es el argumento). Sean r y α coordenadas polares del punto (a, b) que corresponde a un número complejo no nulo z = a + bi. Como a = r ∙ cos α y b = r ∙ sen α z puede ser expresado en forma polar como z = r ∙ cis(α). En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, α tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos. Para la forma exponencial tenemos que una vez teniendo la forma polar podemos pasarlo a la forma exponencial solo cambiamos de grados a radianes teniendo de 1° = π 180 donde z = r ∙ (^) eα^ i El teorema de De Moivre sirve para hallar potencias enésimas de un numero complejo y su fórmula es (cos ( α )+ sen ( α ) i ) n
= cos (nα) + sen (nα) i. cuando
queremos sacar la potencia primero debemos calcular el módulo, después el argumento y ya que elevemos el numero a la potencia indicada la formula será la siguiente z n
= r
n
[cos (nα) + i sen (nα)]
Las ecuaciones polinómicas solo contienen expresiones algebraicas, que pueden tener una o más incógnitas que intervienen en la ecuación. Según el exponente que tengan y tendrán tantas soluciones como nos indique su grado. El método de Ruffini sirve para hallar las soluciones de ecuaciones de cualquier orden, con la condición de que sus soluciones sean enteras. Primeramente, se sitúan los coeficientes de la ecuación ordenados en potencias de (x) decreciente. Donde n es una constante, elegida a azar entre los divisores del último coeficiente. Estos divisores son llamados valores de prueba. El método consiste en elegir, al azar, un valor de prueba de entre los anteriores, colocarlo en lugar de n, e ir sumando y multiplicando estos valores al final se obtenga un número, que sumado al último valor de la última columna nos de 0 el resultado. El algoritmo de Ruffini puede ser aplicado tantas veces como sea necesario.
