Movimiento Armónico
Simple
Estudio cinemático, dinámico y
energético
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Conceptos básicos del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), Apuntes de Mecánica
Explicación de los conceptos básicos del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), incluyendo sus características, magnitudes que lo definen y dinámica del M.A.S. Se aborda también el Movimiento Circular Uniforme (MCU) y su relación con el M.A.S.
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 52
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¡Descarga Conceptos básicos del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) y más Apuntes en PDF de Mecánica solo en Docsity!
Movimiento Armónico
Simple
Estudio cinemático, dinámico y
energético
Objetivos
Identificar el M.A.S. como un movimiento rectilíneo periódico,oscilatorio y vibratorio
Saber definir e identificar las principales magnitudes físicas queintervienen en él
Entender la utilidad de usar la relación existente entre el M.A.S. y elMovimiento Circular Uniforme para deducir las expresionesmatemáticas
Aprender a deducir las expresiones matemáticas que relacionan lasmagnitudes que intervienen en el fenómeno
Visualizar, con aplicaciones interactivas, las relaciones gráficas delas magnitudes con el tiempo y con la posición, y saber interpretarlas gráficas
Aprender a aplicar la teoría al estudio de un resorte
El
movimiento
de
los
planetas
alrededor del sol y de los satélitesalrededor de la Tierra se repite cadacierto tiempoSi
estiramos
ligeramente
un
muelle del que pende un cuerpo ylo
dejamos
en
libertad,
el
peso
que cuelga se desplaza arriba ydebajo de la posición inicial
El péndulo de un reloj oscila a unlado y a otro, marcando el tiempo
Estos
fenómenos,
y
otros
muchos,
que
se
repiten de forma idéntica cada cierto intervalo detiempo, se dice que son periódicos
Movimiento Armónico Simple (MAS)
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando semueve a lo largo del eje X, estando su posición
x
dada en función del tiempo
t
por la ecuación
x = A sen (wt +
Donde A es la amplitud, w la frecuencia angular o pulsación, w t +
ϕ
la fase
y
ϕ
o
ϕ
o
la fase inicial (w = 2
π
/ T)
Características del MAS
Es periódico, pues cada cierto tiempo, las variables del movimiento vuelven
a tomar el mismo valor
Es oscilatorio o vibratorio pues el cuerpo oscila alrededor de la posición de
equilibrio (sobre un plano constante)
Es un movimiento rectilíneo con cambio de sentido: el cuerpo se mueve
entre dos puntos separados de la posición de equilibrio la misma distancia(la amplitud de la oscilación)
Se describe mediante una función armónica, seno o coseno:
x=Asen(wt+
ϕ
) o
x= A cos(wt+
ϕ
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se
realiza en una región del eje X comprendida entre
+A
y
–A
La función seno es periódica y se repite cada 2
π
, por tanto, el movimiento se repite
cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2
π
, es decir, cuando
transcurre un tiempo
T
tal que
w(t+T) +
ϕ
= w t +
ϕ
+ 2
π
MAS Y MCU
Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre unacircunferencia, su proyección sobre el diámetro coincide con laposición de un objeto que describe un movimiento armónico simplesobre ella.La elongación de este movimiento es la distancia desde la posiciónque tiene en cada instante al punto medio de la circunferencia.
ϕ
= w · t ; si t = T
ϕ
π
en consecuencia
w = 2
π π
π π
/ T
¿Coincide el período del movimiento circular uniforme con el períododel movimiento armónico simple?
Hallar la ecuación del M.A.S. sin tenerque recurrir a cálculos matemáticoscomplejos.Ver de donde vienen algunos de losconceptos que usamos en el M.A.S,como la frecuencia angular y el desfase
El MCU permite
MAS Y MCU
CINEMÁTICA DEL MAS
Observa el gráfico. Un móvil parte de O,recorriendo la circunferencia con una velocidadangular constante w. Al cabo de cierto tiempobarre un determinado ángulo
ϕϕϕϕ
, llamado espacio
angular. Como es un movimiento circularuniforme, podemos escribir:
ϕϕϕϕ
= w t
En ese tiempo el resorte pasó de O a Mcomprimiéndose la distancia x.
La proyección del vector posición (A) sobre el eje vertical x, determina laelongación del M.A.S. asociadoLa ecuación de la elongación de un punto que describe un M.A.S. es:
x = A sen(w t)
CINEMÁTICA DEL MAS
Si cuando empezamos a contar el tiempo (t = 0) el cuerpo que describeel M.A.S no está en la posición de equilibrio O, sino en P, decimos queexiste un desfase
ϕϕϕϕ
. Este desfase se corresponde con el ángulo girado
por el punto que describe el movimiento circular desde la posición deequilibrio hasta ese punto. Observa el gráfico. El móvil parte de O, origen deespacios, pero no empezamos a contar el tiempohasta que llega a P, origen de tiempos. En el tiempo tgiró el ángulo
ϕ
= w t. Pasó de P a Q.
Nuevamente, por trigonometría, en el triángulo azul,podemos escribir la ecuación de la elongación como:
x = A sen (w t +
ϕϕϕϕ
)
Velocidad de un m.a.s. (II)
Podemos hallar una expresión de la velocidad en función de la posición, v =f(x), modificando ligeramente esta ecuación:Por el teorema fundamental de trigonometría sabemos que:
sen
2
(wt +
ϕ ϕ
ϕ ϕ
) + cos
2
(wt +
ϕϕϕϕ
) = 1; cos(wt+
ϕϕϕϕ
)=(1-sen
2
(wt +
ϕϕϕϕ
1/
Substituyendo este valor del coseno en la fórmula de la velocidad:
V = Awcos(wt+
ϕϕϕϕ
)=Aw)[1-sen
2
(wt +
ϕϕϕϕ
]
1/
Sabemos que
x = sen(wt +
ϕϕϕϕ
y dentro de la raiz cuadrada aparece su
valor al cuadrado. Por tanto, la fórmula de la velocidad en función de laelongación será:Para x = 0,
v = Aw
y la velocidad máxima se produce en el centro (x = 0)
Aceleración en el mas
Derivando la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos la ecuaciónde la aceleración en el M.A.S:
a =
A w
2
sen(wt +
ϕϕϕϕ
a(máx) = A w
2
El valor máximo se alcanza en los extremos de la oscilación.
Podemos obtener también una expresión de laaceleración en función de la elongación, ya quesabemos que x = A sen (wt +
ϕ
), y substituyendo en la
expresión de la aceleración A sen(wt +
ϕ
) por x:
a = - w
2
x
Gráficas en el MAS
0
Aw
0
2
π
T
Aw
2
0
-A
3
π
/
3T/
0
-Aw
0
π
T/
-Aw
2
0
A
π
/
T/
0
Aw
0
0
0
a
v
x
Fase (
ϕ
)
t
Tabla de valores cinemáticos del mas para
0
Gráficas en el MAS
A partir de la tabla y de la gráfica anterior concluimos que:
Transcurrido un período T, las magnitudes x, v e a vuelven a tomar los
mismos valores, es decir, varían periodicamente.
No se anulan ni alcanzan sus valores máximos en el mismo instante, es
decir, las magnitudes están desfasadas
Cuando la elongación es máxima(x=A), la velocidad es nula (v=0) y laaceleración es mínima (-Aw
2
La velocidad está adelantada un cuartode período respecto a la elongación (unángulo de
π
/2 radianes)
La aceleración está desfasada medio período respecto a laelongación (un ángulo de
π
radianes)