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Departamento de Ciencias

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

SESIÓN 2 : DERIVADA DIRECCIONAL, GRADIENTE DE UNA FUNCION,

DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA.

SABERES PREVIOS:

• La derivada parcial de la función con respecto a cada una de las variables de

𝑧 = 𝑒

5 𝑥𝑦 , es: ……………

• Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦); entonces

𝜕𝑧

𝜕𝑥

es la razón de cambio de z con respecto a x

cuando: ……………..

• Se llaman derivadas parciales a cada una de las derivadas de una función

dada, con respecto de cada una de: ……………..

• Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦); la derivada parcial de f con respecto a y, denotada por 𝑓𝑦, es la

función dada por:………….siempre que el límite exista ………

Caso 2

La altura de una montaña con respecto al

nivel del mar, viene dado por:

2 − 0 , 05 𝑦

5

Donde x representa la dirección Este e y la

dirección Norte. Un escalador está en el punto

de la montaña de coordenadas ( 200 ; 100 ).

¿Cómo calcular la pendiente de la colina

en cualquier dirección?

Analizar si el escalador

asciende o desciende

cuando escala en las

direcciones Norte, Noreste y

Sur respectivamente.

¿Cuál sería la dirección que ha

de seguir el escalador para

que no cambie su altura?

¿Cuáles serán las direcciones

que ha de tomar para

ascender o descender lo

más rápido posible?

SABERES PREVIOS

Enlace: https://quizizz.com

➢ Derivada direccional

➢ Gradiente

➢ Incrementos

➢ Diferencial total.

➢ Condición suficiente para diferenciabilidad.

➢ Regla de la cadena.

CONTENIDO

DERIVADA DIRECCIONAL

Si se quiere determinar la tasa de cambio de 𝑧 en el punto 𝑥𝑜, 𝑦𝑜 en la dirección

de un vector unitario 𝒖 = (𝑎, 𝑏), consideramos el punto 𝑃 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 sobre la

superficie 𝑆 dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

El plano vertical que pasa por 𝑃 en la dirección 𝒖 intersecta a 𝑆 en una curva 𝐶; la

pendiente de la recta tangente a 𝐶 en 𝑃 es la tasa de cambio que se busca y se

llama derivada direccional de 𝑓 en la dirección 𝑢.

Hallar la derivada de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

3 − 𝑥𝑦 − 2 𝑦

2 en el punto P(1,2) y en

la dirección que va desde este punto al punto N(4,6)

Ejemplo

El vector unitario es: 𝑢 =

𝑃𝑁

𝑃𝑁

𝑢 =

𝑁 − 𝑃

𝑁 − 𝑃

𝑢 =

( 4 , 6 ) − ( 1 , 2 )

( 4 , 6 ) − ( 1 , 2 )

𝑢 =

( 3 , 4 )

( 3 , 4 )

=

3

5

,

4

5

𝐷𝑢𝑓(𝑃) = lim ℎ→ 0

𝑓(𝑥 0 +ℎ𝑎,𝑦 0 +ℎ𝑏)−𝑓(𝑥 0 ,𝑦 0 )

ℎ

𝐷𝑢𝑓(𝑃) = lim ℎ→ 0

𝑓( 1 +

3

5

ℎ, 2 +

4

5

ℎ) − 𝑓( 1 , 2 )

ℎ

𝐷𝑢𝑓 𝑃 = lim ℎ→ 0

−

33ℎ

5

−

17 ℎ

2

25

27 ℎ

3

125

ℎ

=

SOLUCIÒN:

𝐷𝑢𝑓(𝑃) = −

33

5

𝐷𝑢𝑓(𝑃) = lim ℎ→ 0

( 1 +

3

5

ℎ)

3 − 1 +

3

5

ℎ 2 +

4

5

ℎ − 2 2 +

4

5

ℎ

2

− 1

2 − 1 2 − 2 ( 2 )

2

ℎ

lim ℎ→ 0

−

33

5

−

17ℎ

25

27 ℎ

2

125

Ejemplo

𝐷𝑢𝑓 0 , 0 = lim ℎ→ 0

= lim ℎ→ 0

= lim ℎ→ 0

= lim ℎ→ 0

= lim ℎ→ 0

2 𝑎𝑏

= lim ℎ→ 0

Dado 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 , hallar 𝐷𝑢𝑓( 0 , 0 )

Solución

𝐷𝑢𝑓(𝑃) = lim ℎ→ 0

𝑓(𝑃 + ℎ𝑢) − 𝑓(𝑃)

ℎ

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = (𝑎, 𝑏) el vector unitario;

Cualquiera sea la dirección. Luego 𝐷𝑢𝑓 0 , 0 existe y es 0; se ha tomado

El vector 𝑢 = (𝑎, 𝑏) = (cos𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃).

GRADIENTE

• Sea 𝑓 función de varias variables cuyas derivadas parciales existen.

El gradiente de 𝑓, denotado por 𝛻𝑓, es la función vectorial definida por:

• Para una función de dos variables definida por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦):
• Para una función de tres variables definida por 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧):

𝛻𝑓(𝑃) =

𝜕𝑓

𝜕𝑥 1

(𝑃),

𝜕𝑓

𝜕𝑥 2

(𝑃),... ,

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛

(𝑃)

𝛻𝑓(𝑃) =

𝜕𝑓

𝜕𝑥

(𝑃),

𝜕𝑓

𝜕𝑦

(𝑃)

𝛻𝑓(𝑃) =

𝜕𝑓

𝜕𝑥

(𝑃),

𝜕𝑓

𝜕𝑦

(𝑃),

𝜕𝑓

𝜕𝑧

(𝑃)

DERIVADA DIRECCIONAL EN TÉRMINOS DEL GRADIENTE

𝑢

EJEMPLO

Hallar 𝐷𝑢𝑓( 1 , 3 ) en la dirección de (1,3) hacia (2,4), si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

2

• 𝑦

2

Solución

Sea el vector: 𝑢 = ( 2 , 4 ) − ( 1 , 3 ) = ( 1 , 1 ) y así 𝒖 =

1

2

1

2

Luego 𝐷𝑢𝑓 1 , 3 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥

1

2

𝜕𝑓

𝜕𝑦

1

2

2

2

6

2

8

2

EJEMPLO

Hallar 𝐷𝑢𝑓( 1 , 2 ) en la dirección del vector ( 2 , − 3 ), si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

2

• 𝑦

2

Solución

Como ( 2 , − 3 ) no es unitario entonces lo volvemos unitario, dividiendo por su norma

13 , luego 𝑢 =

2

13

− 3

13

y como 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥

2

• 𝑦

2 es diferenciable en (1,2).

Luego

EJEMPLO

Dado 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥

2

• 𝑦

2

• 𝑧

2

a) Determine 𝐷𝑢𝑓( 1 , 2 , 3 ) en la dirección del vector ( 1 , 1 , 1 )

b) Determine la dirección en el cual 𝐷𝑢𝑓( 1 , 2 , 3 ) es máxima y cuál es su valor.

c) Determine la dirección en el cual 𝐷𝑢𝑓( 1 , 2 , 3 ) es mínima y cuál es su valor.

Solución

a) primero hallamos el gradiente: 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥, 2𝑦, 2𝑧

Luego; 𝐷𝑢𝑓 1 , 2 , 3 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧. 𝒖 = 𝛻𝑓 1 , 2 , 3

1

3

1

3

1

3

Determinar si la afirmación es verdadera o falsa.

De ser falso, explique por qué o dar un contra ejemplo.

➢Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿𝑛 𝑦, entonces 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) =

1

𝑦

. ……………………………………………. ( )

➢La función 𝑓(𝑥, 𝑦) crece lo más rápido posible en dirección del vector 𝑓(𝑥, 𝑦). ( )

➢El 𝛻𝑓 𝑥 0 , 𝑦 0 indica la tasa máxima de crecimiento de 𝑓 …………………………... ( )

➢El 𝛻𝑓(𝑥 0 , 𝑦 0 ) indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑓…………………… ( )

➢La función𝑓(𝑥, 𝑦)decrece lo más rápido posible en la dirección de − 𝛻𝑓(𝑥 0 , 𝑦 0 ). ( )

¿Recuerdas el nombre del siguiente diagrama?

➢ A partir del diagrama mostrado, ¿cómo expresar la variable 𝑧 como función de

las otras variables presentes en el diagrama?

➢ ¿Cómo expresar las derivadas parciales de 𝑧 con respecto a 𝑟 y 𝜃?

x

z

𝑦

θ r

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑟

r θ

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑟

DIFERENCIAL TOTAL Y REGLA DE LA CADENA