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1. INTRODUCCIÓN
Se llama viga a una pieza o barra estructural que se somete a cargas que actúan transversalmente de modo que provocan la flexión de la pieza en un plano axial. En las siguientes figuras presenta varios ejemplos. En la figura (a) la viga esta soportada por un rodillo en (1) y un pasador en (2), se la denomina viga simplemente apoyada. La representada en la figura (b) empotrada en un muro o pared en (2) y libre en (1), se denomina viga en voladizo o ménsula. En cambio, la viga de la figura (c), soportada por un rodillo en (1) y por un pasador en (2) se dice que esta viga es simplemente apoyada con dos voladizos. Puesto que, en ambos casos, las condiciones de sustentación son tales que es posible determinar la reacciones por la ecuación de la estática, se dice que estas vigas están estáticamente determinadas. Se trata los esfuerzos y deformaciones relacionados con las fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Se considera únicamente vigas que tiene inicialmente ejes longitudinales rectos. Las cargas laterales que actúa sobre la viga provocan flexión de la misma lo que deforma el eje longitudinal de la viga en línea recta. Para obtener estas relaciones se toma en cuenta las siguientes condiciones: Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas y pueden girar. El material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke. El modulo elástico es igual a tensión y a compresión, La viga inicia y finaliza de forma constante. Las cargas actúan perpendicularmente a la sección de la viga sobre el eje longitudinal.
EJEMPLO
El elemento de la viga mostrada en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente a las cargas. Estos desplazamientos se denomina las deflexiones o flechas del momento. Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente. Antes de aplicar las cargas, la superficie neutra se encuentra ubicada en un plano horizontal; luego de aplicadas las cargas la superficie neutra se transforma en una curva. Como las deformaciones verticales, en las secciones transversales son sensiblemente menores a las deformaciones longitudinales, en todos los puntos de la sección transversal tiene prácticamente el mismo desplazamiento vertical. Por lo tanto, el desplazamiento de la superficie neutra permite representar el desplazamiento de todo elemento.
2. ESFUERZO Y DEFORMACION NORMAL EN VIGAS
ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS
Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión las relaciones entre ambos se expresan mediante la fórmula de la flexión. Es decir, las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre los esfuerzos y las cargas.
La fuerza que actua sobre el elemento es normal a la sección transversal, y tiene una magnitud σ
xdA. Como no actua ninguna fuerza ressultnate normal a la sección transversal, la integral de σ xdA
como no actua ninguna fuerza resultante normal a la sección transversal, la integral de σ xdA sobre
toda el área de la sección debe ser nula; luego.
∫ σ^ x^ dA =−∫ Eky dA =^0 (a)
Como la curvatura k y el módulo de elasticidad E son constantes diferentes de cero en cualquier sección transversal de una viga flexionada, no intervienen en la integración sobre el área de la sección transversal. Por tanto, podemos omitirlos en la ecuación y obtenemos
∫ y^ dA =^0 (b)
Esta ecuación establece que el primer momento del área de la sección transversal, evaluado con respecto al eje z, es cero. En otras palabras, el eje z debe pasar por el centroide de la sección transversal.* Como el eje z también es el eje neutro, concluimos que el eje neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal cuando el material obedece la ley de Hooke y no hay una fuerza axial que actúe sobre la sección transversal. Esta observación hace relativamente simple determinar la posición del eje neutro. nuestro análisis está limitado a vigas para las cuales el eje y es de simetría. En consecuencia, el eje ‘y’ también pasa por el centroide. Por lo tanto, llegamos a la siguiente conclusión adicional: el origen O de las coordenadas (figura b) está ubicado en el centroide del área de la sección transversal. Como el eje y es un eje de simetría de la sección transversal, se deduce que es un eje principal. Ya que el eje z es perpendicular al eje y, también es un eje principal. Por tanto, cuando una viga de material linealmente elástico se somete a lexión pura, los ejes y y z son ejes centroidales principales. Relación momento-curvatura La segunda ecuación de la estática Expresa el hecho de que el momento resultante de los esfuerzos normales que actúan sobre la
sección transversal es igual al momento flexionante M (figura a). El elemento de fuerza σ xdA que
actúa sobre el elemento de área dA (igura 5.9b) lo hace en la dirección positiva del eje x cuando σ x
es positivo y en la dirección negativa cuando σ x es negativo. Como el elemento dA está ubicado
arriba del eje neutro, un esfuerzo positivo σ x que actúa sobre ese elemento produce un elemento de
momento igual a σ x ydA. Este elemento de momento actúa en sentido opuesto al momento
flexionante positivo M que se muestra en la figura a. Por tanto, el momento elemental es
dM= - σ x y dA
La integral de todos estos momentos elementales sobre toda el área de la sección transversal A debe ser igual al momento flexionante:
M=−∫ σ x y dA
o, al sustituir σ x en la ecuación (1), obtenemos
M=∫ σx y dA =¿− ϰEE ∫ y
2
dA ¿ (3)
Esta ecuación relaciona la curvatura de la viga con el momento lexionante M. En virtud de que la integral en la ecuación anterior es una propiedad del área de la sección transversal, es conveniente reescribir la ecuación como sigue:
M = ϰEEI (4)
en donde
I =∫ y
2
dA (5)
constituye el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje z(esto es, con respecto al eje neutro). Los momentos de inercia tienen dimensión de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo,y algunas unidades represnetativas son plg^4 , m^4 , y mm^4 , para cálculos de vigas…la ec (4) puede reformularse como sigue:
ϰE =
− M
EI
La ecuación (6) conocida como la ecuación momento-curvatura, muestra que la curvatura es directamente proporcional al momento flexionante M e inversamente proporcional a la cantidad EI, que se denomina rigidez a la flexión de la viga. La rigidez a la flexión es una medida de la resistencia de una viga a la flexión, es decir, entre mayor sea la rigidez, menor será la curvatura para un momento flexionante dado. Observamos que un momento flexionante positivo produce una curvatura positiva y un momento flexionante negativo produce una curvatura negativa (figura c). (c) Los esfuerzos normales en la viga se relacionan con el momento flexionante al sustituit la
expresión para la curvatura (ec.(6)) en la expresión para σ^ x (ec. (1)) y se obtiene;
σ x =
My
I
DEFORMACION NORMAL EN VIGAS
Para detrminar las deformaciones internas en una viga,debemos considerar la viga de la viga y las deformaciones relaciones
distancia y desde la superficie neutra en la viga inicialmente recta. Por tanto, ahora estamos suponiendo que el eje x yace a lo largo de la superficie neutra de la viga sin deformar. Por supuesto, cuando la viga se flexiona, la superficie neutra se mueve con la viga, pero el eje x permanece fijo en posición. No obstante, la línea longitudinal ef en la viga flexionada (figura c) aún está ubicada a la misma distancia y desde la superficie neutra. Así, la longitud L1 de la línea ef después que tiene lugar la flexión es
en donde sustituimos d θ = dx / ρ Como la longitud original de la línea ef es dx, se deduce que su
alargamiento es L1 – dx o –ydx/r. La deformación unitaria longitudinal correspondiente es igual al alargamiento dividido entre la longitud inicial dx; por tanto, la relación deformación unitaria- curvatura es
∈x =
− y
=− ϰEy
donde ϰE es la curvatura. La ecuación anterior muestra que las deformaciones unitarias
longitudinales en la viga son proporcionales a la curvatura y varían linealmente con la distancia y desde la superficie neutra. Cuando el punto en consideración está arriba de la superficie neutra, la
distancia y es positiva. Si la curvatura también es positiva (como en la figura c), entonces ∈x será
una deformación unitaria negativa, que representa un acortamiento. En contraste, si el punto en
consideración está debajo de la supericie neutra, la deformación unitaria ∈x también será positiva,
representando un alargamiento. Observe que la convención de signos para ∈x es la misma que se
empleó para las deformaciones unitarias normales en capítulos anteriores, a saber, el alargamiento es positivo y el acortamiento es negativo. Las deformaciones unitarias longitudinales en una viga van acompañadas por deformaciones unitarias transversales (es decir, deformaciones unitarias normales en las direcciones y y z) debido a los efectos de la relación de Poisson. Sin embargo, no hay esfuerzos transversales acompañantes ya que las vigas tienen libertad para deformarse lateralmente. Esta condición de esfuerzo es análoga a la de una barra prismática en tensión o compresión y, por tanto, los elementos longitudinales en una viga en flexión pura están en un estado de esfuerzo uniaxial.
3. SECCIÓN TRANSVERSAL DE VIGA
Una sección transversal es un "corte" de 2 dimensiones en una figura de 3 dimensiones. Otra forma de ver esto es encontrando la intersección de un plano de 2 dimensiones y una figura de 3 dimensiones. Para cualquier figura dada de 3 dimensiones, la sección transversal depende de la orientación del plano o “corte”.
Diversas formas de perfiles transversales de vigas: El eje neutro es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren deformación ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexión, paralelo a la dirección axial de la viga, y pasa por el centroide de la sección. Los estados de esfuerzo de los puntos más alejados del eje neutro son iguales a los producidos en carga axial. Como se dijo, en flexión se producen esfuerzos normales, de tracción y de compresión, distribuidos linealmente. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por:
deformación en las vigas compuestas también se calcula en la transformada tomando el valor de E.I correspondiente de la transformada. Esto es válido ya que la deflexión es el resultado de las variaciones de la longitud de las fibras de la viga, y uno de los fundamentos del cálculo de vigas compuestas es que las deformaciones de las fibras son las mismas en la real y en la transformada. VIGAS COMPUESTAS Son aquellas en que la sección está formada por la combinación de dos o más materiales y es una práctica muy común en ingeniería para la construcción de elementos estructurales Resultan convenientes en caso de escasez de materiales estructurales, integran materiales de diferentes propiedades, se pueden combinar materiales ligeros con materiales resistentes. Hay secciones no homogéneas, las hipótesis de la teoría de la flexión se deja de cumplir. Los esfuerzos y deformaciones no son proporcionales a la distancia del eje neutro. Por ello se utiliza el artificio de transformar la sección e transversal. El perfil de esfuerzos se define a partir de las propiedades constructivas del material.
6. VIGAS REFORZADAS
El refuerzo a flexión de una viga de concreto armado con Acero y PRF se hace simplemente adhiriendo la placa o lámina de material compuesto a la parte inferior de la viga, donde se supone se producirán los esfuerzos de tracción. Para ello la superficie del concreto a reforzar debe estar convenientemente preparada, esto es libre de polvos y grasas e irregularidades. El refuerzo puede hacerse con placas prefabricadas o puede ser preparado in situ mediante el proceso denominado húmedo. En el primer caso las placas se cortan de acuerdo al tamaño requerido y se pegan a la parte inferior de la viga. El concreto es el material de construcción más usado a nivel mundial, siendo su resistencia en compresión aproximadamente igual a diez veces su resistencia en tracción, razón por la cual se debe de reforzar con varillas de acero, conociéndolo a tal tipo de estructura como concreto armado o reforzado. Como el concreto se adhiere perfectamente al acero, no habrá deslizamiento de las varillas con respecto al concreto durante la flexión y se podrá aplicar el procedimiento de cálculo como si se tratase de vigas de dos materiales. En la práctica, se considera que toda la tracción es absorbida por el acero y toda la compresión por el concreto.
VIGAS SIMPLES REFORZADAS Y DOBLEMENTE REFORZADAS
Es necesario saber los cambios en el comportamiento en una viga para saber la seguridad y eficiencia. Por eso veremos el comportamiento en maderas, aceros prf,etc. Las vigas generalmente son rectangulares con acero en compresión, llamadas también doblemente reforzadas o doblemente armadas, se proponen cuando por razones de proyecto arquitectónico o estructural, se fijan de antemano las dimensiones de la viga siendo necesario colocar acero de refuerzo en la zona de compresión, ya que el momento flexionante que se debe absorber es mayor que el momento resistente obtenido con la sección impuesta.
2)Línea neutra
3)Debido a V y la tensión cortante máxima se dara en el centro del alma (G).
Observación : Debido a Vz como en la seccion x=0 es Vz=0 τ = 0
2.Hallar las expresiones para calcular los esfuerzos normales y cortantes máximos para un perfi rectangular. Solución: a) Esfuerzos Normales
engranajes son todas verticales, el eje es simétrico y las dimensiones están en centímetros. Se pide calcular los esfuerzos normales de flexión y de corte máximos.
- Dos pares iguales y opuestas de magnitud M=25KN*m se aplica a una viga con sección de canal AB. Puesto que los pares provocan que la viga se flexione a un plano horizontal, determine el esfuerzo a) en el punto c b) en el punto D c) en el punto E.
6.La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si Wo=0.5kip/pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.
- L a viga mostrada en la figura está hecha de un nylón para el cual el esfuerzo permisible es de 24 MPa en la tensión y de 30MPa en comprensión. Determine el máximo par M que puede aplicarse a la viga.
