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Espacios generados, dependencia lineal y bases
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
14 de enero de 2011
´Indice
14.1. Introducci´on............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................ 1 14.3. Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales............................ 4 14.4. Reducci´on del conjunto generador................................... 5 14.5. Dependencia Lineal........................................... 6 14.6. Pruebas de dependencia lineal..................................... 7 14.7. Unicidad de la combinaci´on lineal................................... 7 14.8. Base................................................... 7 14.9. Todo espacio tiene base........................................ 8 14.10.Unicidad de la representaci´on..................................... 9
14.1. Introducci´on
Nuestro inter´es consiste en reformular las definiciones de dependencia lineal, independencia lineal y espacio generado que ya se ten´ıan para Rn^ pero en el contexto general de los espacios vectoriales. Es de notar que en las definiciones dadas s´olo se hac´ıa referencia a suma de vectores, multiplicaci´on de un vector por un escalar, a combinaci´on lineal y al vector cero. Todo esto existe en el espacio vectorial en general. Las demostraciones de cada uno de los resultados son id´enticas a las correspondientes para Rn, por ello no se incluir´an.
14.2. Espacio Generado
Definici´on 14. Sea V un espacio vectorial, y v 1 , v 2 ,... ,vk vectores de V. El conjunto formado por todas las posibles combinaciones lineales de los vectores v 1 , v 2 ,... ,vk se llama el espacio generado por v 1 , v 2 ,... ,vk. Este conjunto se representa por Gen {v 1 , v 2 ,... , vk} Si V = Gen {v 1 , v 2 ,... , vk} diremos que {v 1 , v 2 ,... , vk} genera a V y que {v 1 , v 2 ,... , vk} es un conjunto generador de V.
Ejemplo 14. Indique si la matriz A =
[
]
pertenece al espacio generado por las matrices:
A 1 =
[
]
, A 2 =
[
]
y A 3 =
[
]
Soluci´on Buscamos saber si existen constantes c 1 , c 2 y c 3 tales que:
A = c 1 A 1 + c 2 A 2 + c 3 A 3
Es decir, (^) [ − 1 0 0 − 2
]
= c 1
[
]
[
]
[
]
Si se efectua cada producto y se realiza la suma de las matrices en el lado izquierdo obtenemos: [ − 1 0 0 − 2
]
[
2 c 1 − 4 c 2 + 2 c 3 − 2 c 1 + 4 c 2 + 1 c 3 − 3 c 1 + 6 c 2 + 0 c 3 0 c 1 + 0 c 2 − 2 c 3
]
Si se igualan elementos correspondientes de estas matrices se obtiene:
2 c 1 − 4 c 2 + 2 c 3 = − 1 − 2 c 1 + 4 c 2 + 1 c 3 = 0 − 3 c 1 + 6 c 2 + 0 c 3 = 0 0 c 1 + 0 c 2 − 2 c 3 = − 2
Formando la matriz aumentada y aplicando Gauss-Jordan obtenemos:
Debido al pivote en la columna de las constantes, el sistema es inconsistente. Como el sistema es inconsistente, no existen c 1 , c 2 y c 3 que cumplen: A = c 1 A 1 + c 2 A 2 + c 3 A 3 Por tanto, A no pertence al espacio Gen{A 1 , A 2 , A 3 } . Observaci´on Es importante observar la relaci´on entre [ − 1 0 0 − 2
]
= c 1
[
]
[
]
[
]
y la matriz aumentada: (^)
El efecto final es como si las matrices se convirtieran en un vector columna. El proceso de conversi´on consiste en acomodar en una gran columna todos y cada uno de los renglones. Esto consiste en un proceso de zig-zag sobre los renglones de la matriz. A este proceso de convertir una matriz en un vector columna lo llamaremos vectorizaci´on de una matriz.
Ejemplo 14. Indique si el polinomio p(x) = 1 − 2 x − x^2 − 19 / 4 x^3
El efecto final es como si los polinomios se convirtieran en un vector columna. El proceso de conversi´on con- siste en tomar en orden, iniciando con el t´ermino constante, s´olo los coeficientes del polinomio y formar un vector columna. A este proceso de convertir un polinomio en un vector columna lo llamaremos vectorizaci´on de un polinomio. Nota Tambi´en es importante se˜nalar que el proceso para verificar si un vector en Rn^ es combinaci´on lineal de un conjunto de vectores, que consist´ıa en formar una matriz aumentada donde en la primera parte entran los vectores del conjunto como columnas y en la parte aumentada entra el vector como columna, sigue siendo v´alido usando vectorizaci´on en el caso de vectores que son polinomios o matrices.
Ejemplo 14. Indique si
Gen
p 1 (x) = 1 + x + x^2 p 2 (x) = 1 p 3 (x) = − 1 − x^2 p 4 (x) = x^2
= P 2
Soluci´on Debemos ver si cualquier polinomio p(x) = a + b x + c x^2 es siempre combinaci´on lineal de los polinomios dados. Es decir, debemos ver que sin importar los valores de a, b y c existen c 1 , c 2 , c 3 y c 4 tales que:
p(x) = c 1 p 1 (x) + c 2 p 2 (x) + c 3 p 3 (x) + c 4 p 4 (x) Por las notas anteriores, esto se convierte en la matriz aumentada que escalonada queda:
1 1 − 1 0 a 1 0 0 0 b 1 0 − 1 1 c
1 1 − 1 0 a 0 − 1 1 0 b − a 0 0 − 1 1 c − b
Puesto que los pivotes aparecen en la primera parte de la matriz aumentada, el sistema es consistente inde- pendientemente de los valores de a, b, y c. Por tanto, cualquier polinomio p(x) es combinaci´on lineal de p 1 , p 2 , p 3 y p 4. Por consiguiente, tal conjunto de vectores s´ı genera P 2 Observaci´on Es importante observar que la inclusi´on del polinomio cualquiera p(x) = a + b x + c x^2 no tiene un uso real cuando se pregunta si se genera todo el espacio. Tambi´en es de observar que este tipo de preguntas se res- ponden de igual manera que en el caso de vectores de Rn: se forma una matriz con los vectores, y se aplica gauss-jordan. Si cada rengl´on tiene un pivote, el conjunto s´ı genera al espacio vectorial completo. Si existe un rengl´on sin pivote, el conjunto de vectores no genera al espacio vectorial completo. Pero los vectores, ya sean polinomios o matrices, deben vectorizarse.
14.3. Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales
Es importante tener en mente los generadores usuales de los espacios vectoriales que trabajaremos. Ejemplos Es cierto que:
{e 1 , e 2 ,... , en} genera a Rn.
1 , x, x^2 ,... , xn
genera a Pn.
1 , x, x^2 ,...
genera a P.
- {E 11 , E 12 , E 13 ,... , Emn, } genera a Mm×n.
14.4. Reducci´on del conjunto generador
En ciertas situaciones es importante determinar un conjunto de generadores reducido. Para ello, deberemos ser capaces de eliminar de un conjunto generador ciertos vectores que no aportan informaci´on al espacio generado. El siguiente resultado indica cu´ales vectores se pueden eliminar de un conjunto generador.
Teorema
Si uno de los vectores v 1 , v 2 ,... ,vk del espacio vectorial V es combinaci´on lineal de los restantes, el generado permanece igual si se elimina dicho vector.
Ejemplo 14. Considere los vectores: v 1 = −5 + 4 x + x^3 v 2 = 5 − 2 x − x^2 − 6 x^3 v 3 = 2 − x + 2 x^2 + 6 x^3 v 4 = 6 − 2 x − 6 x^2 + 6 x^3 v 5 = 9 − 4 x + 3 x^2 + 6 x^3 y suponga que W = Gen {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 }
Indique qu´e opciones contienen vectores que se pueden remover del generador y que el conjunto restante puede seguir generando W
- v 3 , v 4
- v 3 , v 5
- v 1 , v 5
- v 2
Soluci´on Formamos [v 1 v 2 v 5 |v 3 v 4 ] y reducimos:
Concluimos que como queda un pivote en la parte derecha v 3 y v 4 no pueden ser removidos simult´aneamente y seguir generando el mismo espacio. Formamos [v 1 v 2 v 4 |v 3 v 5 ] y reducimos:
Concluimos que como queda un pivote en la parte derecha v 3 y v 5 no pueden ser removidos simult´aneamente y seguir generando el mismo espacio. Formamos [v 2 v 3 v 4 |v 1 v 5 ] y reducimos:
en ese caso hubiera sido linealmente dependiente. Observaci´on Es importante observar que incluir la matriz de ceros no tiene un uso real cuando se pregunta si un conjunto es dependiente o independiente. Tambi´en es de observar que este tipo de preguntas se responden de igual manera que en el caso de vectores de Rn: se forma una matriz con los vectores, y se aplica gauss-jordan. Si cada columna tiene un pivote, el conjunto s´ı es linealmente independiente. Si existe una columna sin pivote, el conjunto de vectores es lineamente dependiente. Pero los vectores, ya sean polinomios o matrices, deben vectorizarse.
14.6. Pruebas de dependencia lineal
Como se ha visto, para determinar si un conjunto es linealmente dependiente o independiente ha de aplicarse el proceso de Gauss-Jordan. Sin embargo, a veces se pueden revisar a simple vista ciertas pruebas y concluir sin necesidad de Gauss-Jordan. Las pruebas pueden sumarizarse en el siguiente resultado. Teorema Sea S un conjunto de vectores del espacio vectorial V , S es linealmente dependiente si
teniendo un solo vector el vector es el vector cero, o
tiene al vector cero como elemento, o
teniendo dos vectores uno es un m´ultiplo escalar del otro, o
contiene un subconjunto de vectores que es linealmente dependiente, o
hay un vector de S que es combinaci´on de los vectores restantes en S.
14.7. Unicidad de la combinaci´on lineal
Teorema
Sea S = {v 1 , v 2 ,... , vk} un conjunto de vectores del espacio vectorial V que es linealmente inde- pendiente. Entonces
- Si v es un vector que pertenece al generado por S, entonces v se escribe de forma ´unica como combinaci´on lineal de S. Esto es, si
v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · ak vk = b 1 v 1 + b 2 v 2 + · · · bk vk
entonces a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,... , ak = bk.
- Si v es un vector que no pertenece al generado por S, entonces {v 1 , v 2 ,... , vk, v} es lineal- mente independiente.
14.8. Base
El concepto de base es uno de las m´as importantes en los espacios vectoriales. Este concepto tiene que ver con conjuntos de generadores minimales. Es decir, con conjuntos generadores donde cada vector aporta informaci´on que los vectores restantes en el conjunto no poseen.
Definici´on 14. Sea B un conjunto no vac´ıo de vectores del espacio vectorial V distinto de cero, B es una base para V si:
- B es linealmente independiente, y
- B genera a V.
Ejemplo 14. Indique en cu´ales opciones el conjunto dado es base para M 22 :
- B 1 =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
2. B 2 =
{[
]
[
]
[
]
[
]
[
]}
3. B 3 =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
4. B 4 =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
Soluci´on Veamos si B 1 es base: Formemos la matriz cuyas columnas son los elementos de B 1 vectorizados y reduzca- mos: (^)
Como en cada rengl´on hay pivote, B 1 genera a M 22. Como en cada columna hay pivote, B 1 es linealmente independiente. Como B 1 genera a M 22 y es linealmente independiente, B 1 es base para M 22. Veamos si B 2 es base: Formemos la matriz cuyas columnas son los elementos de B 2 vectorizados y reduzca- mos: (^)
Como en cada rengl´on hay pivote, B 2 genera a M 22. Como hay una columna sin pivote, B 2 es linealmente dependiente. Como B 2 es linealmente dependiente, B 2 no es base para M 22. Veamos si B 4 es base: Formemos la matriz cuyas columnas son los elementos de B 4 vectorizados y reduzca- mos: (^)
Como hay al menos un rengl´on sin pivote, B 4 no genera a M 22. Con eso basta para decir que B 4 no es base para M 22. Como hay una columna sin pivote, B 4 es linealmente dependiente. Con eso tambi´en bastaba para afirmar que B 4 no es base para M 22
14.9. Todo espacio tiene base
Una de las necesidades m´as grandes en espacios vectoriales es la de determinar una base para un espacio vectorial. El siguiente resultado es de tipo te´orico y da la garant´ıa de bases siempre existen.
