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TEMA 4
definición de espacios vectoriales
INSTITUTO TECNoLóGICO DE TAPACHULA INGENIERIA QUÌMICA ALGEBRA LINEAL
SEGUNDO SEMESTRE
GRUPO A TEMAS UNIDAD 4:
- Definición de espacio vectorial definición de subespacios vectoriales y sus propiedades.
- independencia lineal, base y dimensión
- vectores de coordenadas y cambios de fase
- espacios vectoriales con producto interno base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt
- INTEGRANTES
TAMAYO ROJAS IRENE MARLETH
CANCINO CANCINO HELEN
BREITER PÉREZ JOSUÉ MIGUEL
DIAZ LOARCA REYNA ELIZABETH
ESTRUCTURA DEL PERIÓDICO
Los alumnos de ingeniería química grupo A
realizan una actividad para mostrar los espacios
vectoriales
IMAGINARIO CHIAPANECO Definición de espacio vectorial definición de subespacios vectoriales y sus propiedades. independencia lineal, base y dimensión vectores de coordenadas y cambios de fase espacios vectoriales con producto interno base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt Secion de chistes Crucigramas sopa de letras mapa mental Opiniones individuales Opinion grupal Autoevaluaciòn PROFESOR Javier Francisco Valle Mora
espacio vectorial UN ESPACIO VECTORIAL ES UNA ESTRUCTURA MATEMÁTICA. EL ESPACIO VECTORIAL ES LA ESTRUCTURA MATEMÁTICA QUE SE CREA A PARTIR DE UN CONJUNTO NO VACÍO Y QUE CUMPLE CON DIVERSOS REQUISITOS Y PROPIEDADES INICIALES. ESTA ESTRUCTURA SURGE MEDIANTE UNA OPERACIÓN DE SUMA (INTERNA AL CONJUNTO) Y UNA OPERACIÓN DE PRODUCTO ENTRE DICHO CONJUNTO Y UN CUERPO. ENTRE LAS APLICACIONES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES SE ENCUENTRAN CIERTAS FUNCIONES DE COMPRESIÓN DE SONIDO E IMÁGENES, QUE SE BASAN EN LAS SERIES DE FOURIER Y OTROS MÉTODOS, Y LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (RELACIONAR UNA FUNCIÓN MATEMÁTICA CON DIVERSAS VARIABLES INDEPENDIENTES Y LAS DERIVADAS PARCIALES DE LA MISMA RESPECTO DE DICHAS VARIABLES). EJEMPLO DE UNA EXPERIENCIA CON ESPACIOS VECTORIALES IMAGINA QUE ESTÁS NAVEGANDO POR UN MAPA Y SIGUIENDO DIRECCIONES PARA LLEGAR A TU DESTINO. CADA DIRECCIÓN QUE TOMAS SE REPRESENTA COMO UN VECTOR EN EL ESPACIO. AL LLEGAR A TU DESTINO, TE DAS CUENTA DE QUE HAS ESTADO USANDO LOS PRINCIPIOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES SIN SABERLO. AHORA, PROFUNDIZAREMOS EN ESTOS CONCEPTOS.
SUBESPACIOS VECTORIALES Edición IX - 19de febrero 2024 y sus propiedades 3
UN SUBCONJUNTO W DE UN ESPACIO
VECTORIAL V SOBRE UN CAMPO F SE LLAMA SUBESPACIO VECTORIAL SI CUMPLE LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
- CIERRE BAJO LA ADICIÓN: PARA CUALESQUIERA DOS VECTORES U Y V EN W , SU SUMA U + V TAMBIÉN ESTÁ EN W.
- CIERRE BAJO LA MULTIPLICACIÓN ESCALAR: PARA CUALQUIER VECTOR U EN W Y CUALQUIER ESCALAR C EN F, EL PRODUCTO CU TAMBIÉN ESTÁ EN W.
- CONTIENE EL VECTOR CERO: EL VECTOR CERO DEL ESPACIO V TAMBIÉN PERTENECE A W UN SUBESPACIO VECTORIAL DEBE SER CERRADO BAJO LAS OPERACIONES DE ADICIÓN DE VECTORES Y MULTIPLICACIÓN ESCALAR Y DEBE CONTENER EL VECTOR CERO. SI W CUMPLE ESTAS CONDICIONES, ENTONCES W ES UN SUBESPACIO DE V.
LOS SUBESPACIOS VECTORIALES TIENEN VARIAS PROPIEDADES IMPORTANTES QUE SE
DERIVAN DE LAS DEFINICIONES DE ESPACIO VECTORIAL Y SUBESPACIO. ALGUNAS DE ESTAS PROPIEDADES SON:
- EL VECTOR CERO: TODO SUBESPACIO VECTORIAL CONTIENE EL VECTOR CERO DEL ESPACIO VECTORIAL ORIGINAL.
- CIERRE BAJO LA ADICIÓN: SI U Y V SON VECTORES EN UN SUBESPACIO W , ENTONCES U + V TAMBIÉN ESTÁ EN W.
- CIERRE BAJO LA MULTIPLICACIÓN ESCALAR**: SI U ES UN VECTOR EN W Y C ES UN ESCALAR, ENTONCES CU TAMBIÉN ESTÁ EN W.
- PROPIEDAD DE LA COMBINACIÓN LINEAL: SI ESTÁN EN W Y C SON ESCALARES, ENTONCES LA COMBINACIÓN LINEAL ESTÁ EN W.
- INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS: LA INTERSECCIÓN DE DOS SUBESPACIOS DE UN ESPACIO VECTORIAL V ES TAMBIÉN UN SUBESPACIO DE V.
- UNIÓN DE SUBESPACIOS: LA UNIÓN DE DOS SUBESPACIOS NO NECESARIAMENTE ES UN SUBESPACIO, A MENOS QUE UNO DE ELLOS ESTÉ CONTENIDO EN EL OTRO.
- EL SUBESPACIO TRIVIAL Y EL SUBESPACIO TOTAL: {0}(EL CONJUNTO QUE CONTIENE SOLO EL VECTOR CERO) Y ( V ) MISMO SON SIEMPRE SUBESPACIOS DE V. ESTAS PROPIEDADES ASEGURAN QUE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES MANTENGAN LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL DENTRO DEL CONTEXTO MÁS AMPLIO DEL ESPACIO VECTORIAL V
Espacio Vectorial
independencia lineal, base y dimension Bases La base no es única. Si B es una base de V , cualquier conjunto B′ = {b ′ 1 ,... , b′ n} ⊂ V de n vectores linealmente independientes es también una base (ver teorema anterior y prop. 1) abajo) Dem.: Sea B = {b1,... , bn} un subconjunto de M tal que los vectores de B sean LI y el n´umero n de elementos de B sea m´aximo. Obviamente n ≥ 1, pues M = V y V 6= {0}, por lo que existe al menos un vector no nulo en M. Si v ∈ M ⇒ v ∈ B, pues los vectores {v, b1,... , bn} son necesariamente LD (pues son n + 1) y por lo tanto, existe una combinación con coeficientes no todos nulos. Si α = 0 ⇒ 0 = α1b1+.. .+αnbn, pero en tal caso αi = 0 ∀ i por por ser los bi LI. Por consiguiente, α 6= 0 y v = − (α1b1+.. .+αnbn)/α ∈ B. Por lo tanto, M ⊂ B y entonces V = M = B. Del teorema de la sección anterior se desprenden ahora las sig. propiedades fundamentales. Si B = {b1,... , bn} es una base de V , entonces:
- Cualquier conjunto de n vectores LI {v1,... , vn} ⊂ V es también una base de V. Dem.: Como B es base, los n vectores vj pueden ser escritos en la forma (1), con S no singular dado que son LI. Pero en tal caso el espacio generado es el mismo, por lo que forman también una base de V. En particular, los n vectores vj = Pn i=1 Sij bi , j = 1,... , n, forman una base de V sii S es no singular. 2) Todo conjunto de n + 1 vectores {v1,... , vn+1} ⊂ V es LD. Dem.: Supongamos que son LI. ⇒ los primeros n vectores son LI. Pero en tal caso forman una base, por el corolario anterior, por lo que vn+1 pertenece al espacio generado por ellos y el conjunto es entonces LD. Todo conjunto con m > n vectores es por lo tanto también LD. Y un conjunto con m < n vectores no podría ser base, pues en tal caso B no sería base. Sea V un espacio vectorial, que supondremos distinto del subespacio trivial S = {0}. Un conjunto finito B = {b1,... , bn} ⊂ V es una base de V si los vectores de B
- Son LI
- Generan V (B = V ). Si V = Rn , el conjunto B = {e1, e2,..., en}, con ei = (0,..., 0, 1(i) , 0,...,0), es una base, denominada base canónica de Rn. En efecto, son LI pues si 0 = α1e1 +... + αnen = (α1,... , αn) ⇒ α1 =... = αn = 0. Y generan V pues (x1,... , xn) = x1e1 +... xnen. Pero tambi´en es base el conjunto {(1, 0,... , 0),(1, 1, 0,... , 0),..
. ,(1, 1,... , 1)}. Ejemplo 2: Escribir la base canónica de R m×n. Ejemplo 3: Si V es el subespacio de polinomios de grado ≤ 2, una base es {e1, e2, e3}, donde e1 = 1, e = x, e3 = x 2 , denominada también base canónica. Si V es generado por un conjunto finito de vectores M = {v1... , vm} y V 6= {0} ⇒ existe una base B = {b1,... , bn} de V incluida en M. Como consecuencia, todas las bases de un espacio V tienen el mismo número de elementos, n. A ese número se lo denomina dimensión del espacio V : n = dimV. Representa el máximo número de vectores LI. Un espacio en el que ∃ un No arbitrariam. grande de vectores LI se dice que tiene dimensión infinita.
Independencia lineal, base y dimensión
espacios vectoriales con producto interno Sea V un espacio vectorial sobre C. Un producto interno en V es una función de 𝑉𝑥𝑉 en C que asigna a cada pareja ordenada ( 𝑢̅ , ̅𝑣 ) de vectores de V un escalar ( 𝑢̅ |̅𝑣 ) ∈ 𝐶, llamado el producto de 𝑢̅ por 𝑣̅, que satisface las siguientes propiedades: i) ( 𝑢̅ |̅𝑣 ) = ( 𝑣̅|𝑢̅ ̅̅̅̅̅) ii) ( 𝑢̅ |̅𝑣 + 𝑤̅) = ( 𝑢̅ |̅𝑣 ) + ( 𝑢̅ |𝑤̅ ) iii) (𝛼𝑢̅ |̅𝑣 ) = 𝛼(𝑢̅ |̅𝑣 ) iv) ( 𝑢̅ |̅𝑣 ) > 0 si 𝑢̅ ≠ 0̅ Sea V un espacio vectorial sobre C. Un producto interno en V es una función de 𝑉𝑥𝑉 en C que asigna a cada pareja ordenada ( 𝑢̅ , ̅𝑣 ) de vectores de V un escalar ( 𝑢̅ |̅𝑣 ) ∈ 𝐶, llamado el producto de 𝑢̅ por 𝑣̅, que satisface las siguientes propiedades:
Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt Ejemplos En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial. El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero. Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares. Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.
C R U C I G R A M A
ESPACIOS VECTORIALES El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo que nos permite encontrar una base ortogonal de un subespacio W de Rn a partir de una base dada para W. Supongamos entonces que {x1,x2,…,xk} es una base para un subespacio W de Rn. Base ortonormal (Gram Schmidt) Sea V un espacio vectorial sobre R (respectivamente C). Un producto interno sobre V es una funci´on Φ : V × V → R (respectivamente C) que cumple: Espacios vectoriales con producto interno En un espacio vectorial V, fijada una base {v1,v2,... vn} , todo vector u∈V puede ponerse de forma única como combinación lineal de dicha base: u = Los escalares α 1, α 2,... , α 1 v1 + α α n se llaman coordenadas del2 v2 +... α n vn vector u en la base {v1,v2,... vn}. Vectores de coordenadas y cambios de fase Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} de un espacio (L.D.) si existen escalares c1,c2,…,ck al menos vectorial V es linealmente dependiente uno de los cuales no sea cero, tal que c1v1+c2v2+ +ckvk=0. Independencia lineal, base y dimension Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un espacio subespacio vectorial con de V si W es en sí mismo un las mismas operaciones (suma definidas en V. de vectores y producto por un escalar) Subespacio vectorial Es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a diez axiomas Definicion de espacio vectorial TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO CAMPUS TAPACHULA
ALGEBRA LINEAL
mapa mental
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Opiniones Alumnos Este tema fue realmente interesante, aunque un poco extenso. Aun así, estoy satisfecho con el nivel de aprendizaje alcanzado y estoy seguro de que podré aplicar estos conocimientos en el futuro. -Josué Miguel Breiter Pérez En lo particular este tema es interesente, pero no fue facil de entender al principio pero al avanzar con las clases y las explicaciones de el maestro se entendio de una mejor manera. Reyna Elizabeth Diaz Loarca Este tema lo considero algo más complicado, tiene cierto grado de dificultad. Sin embargo, con las explicaciones del maestro me ayudó a comprender mejor el tema. Leticia Pérez Ramírez. Este tema lo considere complicado pero gracias a como lo explico el profesor pude entenderlo de mejor manera Helen Cancino Cancino
en general opino que la clase ha sido muy interesante a lo
largo de la 4 unidad y nos ha brindado bastante apoyo en
cuanto a varios temas de matemáticas aplicadas como lo
es la algebra lineal.
Irene Marletht Tamayo Rojas
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