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La distribución de frecuencias, tal como hemos estudiado en el capítulo anterior, no sólo es un resumen de los datos observados, también ella muestra la forma en que se distribuye la variable; pero es más, cada uno de los valores incluidos en la Tabla de Distribución de Frecuencias, proporciona una información estadística valioza. De manera que se tiene un conjunto de datos estadísticos descriptivos, ya que cada uno de ellos nos describe la densidad de observaciones que caen en una clase o varias clases. Sin embargo, frecuentemente se necesita tener una sola medida que describa la naturaleza de los datos en su conjunto, es decir, un valor de la variable simple que a su vez sea “representativo” de todas las observaciones. Ser representativo significa, que este refleja la tendencia de los valores individuales que están distribuidos alrededor de cierto valor central.
Tipo: Apuntes
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mario murillo oporto
La Paz - Bolivia - 1990
¿Es posible prescindir del concurso de la Estadística en la tarea de Preparación
y Evaluación de Proyectos?...., indudablemente que no.
Es innegable que una de las herramientas principales para la elaboración de todo
trabajo de investigación, donde los factores que intervienen sufren cambios
constantes que implican incertidumbre y que frente a ellos hay necesidad de
hacer predicciones para tomar la acción adecuada en una política de decisiones,
es la Estadística.
El presente trabajo fue realizado tomando como base las notas de las clases que
me correspondió dictar en la Universidad Mayor de San Andrés, Universidad
Católica Boliviana y en el primer Curso de Preparación y Evaluación de
Proyectos (Programa BID-ISAP-CONEPLAN-OEA - Ciudad de La Paz, 1973).
Se han incluido los temas que se consideraron más importantes, tratando de
dejar claras las ideas centrales y sus aplicaciones, sin entrar a muchas
demostraciones matemáticas, de acuerdo al objetivo perseguido. Se recomienda
a los estudiantes ampliar la lectura de cada Capítulo, al menos con uno de los
textos mencionados en la bibliografía.
Deseo resaltar la persona de Don Hugo Javier Ochoa G., Director del Curso de
Preparación y Evaluación de Proyectos, citado anteriormente, de quién surgió la
idea de realizar el presente documento. Para él, mis mejores palabras de elogio
y agradecimiento por su colaboración desinteresada, tolerancia y estímulo
constante de que fui objeto durante el tiempo que duró mi labor.
La Paz - Bolivia 1974
Al presentar esta nueva edición, deseo expresar especialmente mi más profundo
sentir de agradecimiento a todos cuantos me honraron con la lectura de las dos
impresiones anteriores.
La aceptación que tuvo el texto y el actual interés manifestado por contar con él,
sobre todo por estudiantes de carrera y muchos egresados, han constituido
Tipos de Promedio
La distribución de frecuencias, tal como hemos estudiado en el capítulo anterior,
no sólo es un resumen de los datos observados, también ella muestra la forma
en que se distribuye la variable; pero es más, cada uno de los valores incluidos
en la Tabla de Distribución de Frecuencias, proporciona una información
estadística valioza. De manera que se tiene un conjunto de datos estadísticos
descriptivos, ya que cada uno de ellos nos describe la densidad de
observaciones que caen en una clase o varias clases. Sin embargo,
frecuentemente se necesita tener una sola medida que describa la naturaleza de
los datos en su conjunto, es decir, un valor de la variable simple que a su vez
sea “representativo” de todas las observaciones. Ser representativo significa,
que este refleja la tendencia de los valores individuales que están distribuidos
alrededor de cierto valor central. Es obvio que el valor más representativo para
un conjunto de valores normalmente no es el valor más pequeño ni el más
grande, sino que es un valor que está en algún punto intermedio del grupo. Por
esta razón, un valor representativo es aquél que indica una medida de tendencia
central, conocido comúnmente como promedio.
El promedio se emplea con frecuencia como mecanismo para resumir un
conjunto de datos correspondiente a una variable, sobre todo si es grande, a fin
de describir los datos estadísticos. Así por ejemplo, la edad promedio de los
estudiantes de una universidad, el salario promedio mensual de los artesanos en
una ciudad; el promedio de quintales de papa producida por hectárea, el
promedio de gastos en consumo de los trabajadores mineros, etc. Los promedios
también se utilizan para comparar una población con otra; por ejemplo, el
promedio general de calificaciones obtenidas en un colegio comparado con el
promedio de otro colegio; comparar los rendimientos promedios de unidades
producidas por distintas fábricas, etc.
Un promedio se dice también que es una medida de posición, en razón de que
las formas en que están distribuidas las series estadísticas pueden ser iguales,
diferenciándose únicamente en el valor promedio, como se verá en las secciones
que siguen.
Los estadígrafos de tendencia central más utilizados son: la Media Aritmética, la
Media Geométrica, la Media Armónica y la Media Cuadrática, Se incluyen
también en esta categoría a la Mediana y la Moda, que tienen su característica
particular a diferencia de las cuatro primeras. Incluyen también las fractilas como
estadígrafos de posición.
Media Aritmética
La medida de tendencia central más útil y la más usada, es la “Media Aritmética”,
que algunas veces se la llama simplemente “media”.
DEFINICIÓN 3.1 La media aritmética es la suma de todos los valores observados
dividido por el número de observaciones. Si X 1
2
n
son los valores
observados de una muestra, entonces la media aritmética (designada por 𝑥̅ ) es
n
x
x
n
i
1
Algunas veces se utilizará un “operador” que indique la operación de calcular la
media aritmética. Así, para la media aritmética, se usará la letra M, de manera
que M(X) representa la media aritmética de la variable X (que es una
característica cualquiera de la población o de una muestra); entonces,
∑ 𝑥 𝑖
𝑛
Si se tomaran en cuenta a todos los valores de la población, se tendrá:
x
N
i
1
Las fórmulas (3.1) y (3.2) se utilizan para calcular la media aritmética de una
muestra y de una poblacion, cuando se tiene la información estadística original,
es decir, cuando las observaciones de valores de una variable no se encuentran
agrupados en una tabla de distribución de frecuencias.
Cuando se tiene la distribución de frecuencias relativas, el cálculo de la media,
es como sigue:
𝑖
𝑖
𝑚
1
En donde
n
n
i
i
Ejemplo 3.3 Tomando en cuenta nuevamente la información del Ejemplo 3.1 se
calcula la media con las frecuencias relativas de la Tabla 3.
5
i 1
i
xh i
x 1
h 1
x 2
h 2
x 5
h 5
Obsérvese que por los tres métodos el resultado es el mismo.
La expresión (3,3). puede también escribirse
∑ 𝑋
𝑖
𝑛
𝑖
𝑚
1
∑ 𝑛
𝑖
𝑚
1
; si la variable es Y se tiene: M(Y) = 𝑌
∑ 𝑌
𝑖
𝑛
𝑖
𝑚
1
∑ 𝑛
𝑖
𝑚
1
Esta expresión recibe el nombre de media aritmética ponderada, cuyos pesos o
ponderaciones son las frecuencias absolutas 𝑛
𝑖
. La media aritmética expresada
en (3.4) también resulta ser una media ponderada con sus frecuencias relativas
𝑖
Hasta aquí, se logró ver el cálculo de la media, tanto para datos sin agrupar como
para datos agrupados. En este último caso sólo para cuando las clases son
únicas. Ahora viene la siguiente pregunta, cómo se calculará la media si se tiene
una distribución con intervalos de clase. No hay ningún problema, pues, para ello
se toman en cuenta los puntos medios de clase como valores de la variable, y
se calcula de manera idéntica a los ejemplos anteriores.
Ejemplo 3.4 Se calcula la media aritmética tomando en cuenta la información de
las columnas 2 y 3 de la Tabla 2.6. Como los valores del punto medio de clase,
juegan el mismo papel de la variable, por lo que:
𝑖
𝑖
=
=
La información requerida para el cálculo de la media aritmética se puede
procesar también en la distribución de frecuencias, tal como se observa en la
Tabla 2.6.
TABLA 2.6 Distribución de frecuencias de salarios semanales de 100 obreros
𝑌
𝑖− 1
′
𝑖
′
𝑌
𝑖
𝑛
𝑖
𝑌
𝑖
∗ 𝑛
𝑖
ℎ
𝑖
𝑌
𝑖
∗ ℎ
𝑖
280 - 295 287,5 4 1.150,00 0,04 11,
295 - 310 302,5 5 1.512,50 0,05 15,
310 - 325 317,5 10 3.175,00 0,10 31,
325 - 340 332,5 9 2.992,50 0,09 29,
340 - 355 347,5 13 4.517,50 0,13 45,
355 - 370 362,5 15 5.437,50 0,15 54,
370 - 385 377,5 18 6.795,00 0,18 67,
385 - 400 392,5 12 4.710,00 0,12 47,
400 - 415 407,5 8 3.260,00 0,08 32,
415 - 430 422,5 6 2.535,00 0,06 25,
Totales - 100 36.085,00 1,00 360,
Utilizando las frecuencias relativas, es posible también calcular la media
aritmética, que significa utilizar la siguiente ecuación:
𝑖
𝑖
𝑚
1
1
1
2
2
𝑚
𝑚
Existen varios métodos abreviados de cálculo, que en la actualidad pierden algo
de importancia, dado que casi siempre es posible contar con una calculadora
sea mecánica o electrónica para el cálculo de la media aritmética. De manera
que se prestara más atención a las propiedades de la media y sus aplicaciones.
Es increíble cómo ayuda el tener dominio de todo lo relacionado con la media
aritmética, en especial para estudios de temas posteriores.
Propiedades de la Media Aritmética
La media aritmética es un valor representativo en el sentido de que es el centro
de gravedad puesto que balancea a todos los valores de las observaciones que
están a ambos lados de esta medida.
Una primera observación, es que conociendo la media aritmética y sabiendo cual
es el número de observaciones de la muestra, fácilmente se obtiene el agregado
o total de los valores de esa muestra, es decir
Como
x nx
n
x
x (3.5)
TABLA 3.2 Desvíos respecto de la media aritmética
Observaciones
𝑖
𝑖
Desvíos
𝑖
Desvíos ponderados
𝑖
𝑖
Totales 10 0,
el valor común. Si K representa el valor observado de todas las unidades
elementales, entonces
n
nK
n
Demostración: M(X) =
𝑋
1
+𝑋
2 +.. .+
𝑋
𝑛
𝑛
; si 𝑋
𝑖
= k para i = 1, 2, 3,... , n; entonces:
M(k) =
𝑘+𝑘+.. .+𝑘
𝑛
𝑘
( 1 + 1 +.. .+ 1
)
𝑛
𝑘∗𝑛
𝑛
= k
Esto es lógico. Por ejemplo, si todos los empleados de una oficina ganan 2.
$, entonces la media de todos los empleados que trabajan es 2.000 $.
La demostración para el caso de distribución de frecuencias es la siguiente:
∑ 𝑌 𝑖
𝑛 𝑖
𝑚
1
𝑛
𝑌 1
𝑛 1
+𝑌 2
𝑛 2
+.. .+𝑌 𝑚
𝑛 𝑚
𝑛
𝑘𝑛 1
+𝑘𝑛 2
+.. .+𝑘𝑛 𝑚
𝑛
𝑘
∑ 𝑛 𝑖
𝑚
1
𝑛
𝑘∗𝑛
𝑛
= k
El resultado anterior es cuando Y i
= k para i = 1, 2, 3,... , m
entonces, M (KX) = K M(X) (3.10)
Demostración : M(kX) =
𝑘𝑋
1
+𝑘𝑋
2
+.. .+𝑘𝑋
𝑛
𝑛
𝑘 ∑ 𝑋
𝑖
𝑛
1
𝑛
= k*𝑋
, y para distribución de
frecuencias se tiene: M(kY) =
∑ 𝑘𝑌
𝑖
𝑛
𝑖
𝑚
1
𝑛
𝑘
∑ 𝑌
𝑖
𝑛
𝑖
𝑚
1
𝑛
= k*𝑌
Ejemplo. Si los salarios de los 100 trabajadores del ejemplo 3.4 se incrementan
en 5%, entonces el salario medio después del incremento resulta:
Sea U i
𝑖
𝑖
𝑖
el salario incrementado en 5% del i–esimo
trabajador, en donde k = 1,05; entonces M(1,05Y) = ( 1 , 05 )(𝑌
entonces: M(X+K) = M(X) + k = 𝑋
Demostración : M(X+k) =
∑ ( 𝑋 𝑖
+𝑘
)
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋 𝑖
𝑛
1
𝑛
𝑘∗𝑛
𝑛
frecuencias resulta: M(Y+k) =
∑ ( 𝑌 𝑖
+𝑘
) 𝑛 𝑖
𝑚
1
𝑛
∑ 𝑌 𝑖
𝑛 𝑖
𝑚
1
𝑛
𝑘
∑ 𝑛 𝑖
𝑚
1
𝑛
𝑘∗𝑛
𝑛
Ejemplo. Si a los salarios de los 100 trabajadores del ejemplo 3.4 se
incrementan en un monto fijo de 200 $, entonces el salario medio después del
incremento resulta:
Sea 𝑈
𝑖
𝑖
k = 200 ; es M(Y+200) = 𝑌
entonces, M(
𝑋
𝑘
𝑋
̅
𝑘
Demostración : M(
𝑋
𝑘
∑ (
𝑋
𝑖
𝑘
)
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋 𝑖
𝑛
1
𝑛∗𝑘
1
𝑘
∑ 𝑋 𝑖
𝑛
1
𝑛
𝑋
̅
𝑘
, y para distribución de
frecuencias se tiene: M(
𝑌
𝑘
∑ (
𝑌
𝑖
𝑘
𝑛
𝑖
)
𝑚
1
𝑛
∑ 𝑌
𝑖
𝑛
𝑖
𝑚
1
𝑛∗𝑘
1
𝑘
∑ 𝑌
𝑖
𝑛
𝑖
𝑚
1
𝑛
𝑌
̅
𝑘
1 , 05
este monto es el salario real medio.
6. La media aritmética de la suma de dos variables es igual a la suma de sus
medias individuales, de esta manera,
Demostración:
∑ ( 𝑋
𝑖
+𝑌
𝑖
)
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋
𝑖
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑌
𝑖
𝑛
1
𝑛
Generalizando para k variables, se tiene:
𝑖
𝑘
1
∑ (∑ 𝑋
𝑖
𝑘
1
)
𝑛
1
𝑛
∑ (𝑋
1 𝑖
+𝑋
2 𝑖
+.. .+𝑋
𝑘𝑖
)
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋
1 𝑖
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋
2 𝑖
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋
𝑘𝑖
𝑛
1
𝑛
𝑖
𝑘
1
7. Si se dividen en r sub muestras una muestra general de tamaño n y se calculan
sus respectivas medias, entonces, la media de la muestra general se obtiene
utilizando las medias de las r sub muestras ponderadas con sus
correspondientes tamaños de las mismas, es decir:
Sean 𝑋 1
2
𝑖− 1
𝑖
𝑖+ 1
𝑛
, las n observaciones de la variable
X de la muestra general; 𝑛 ( 1
)
( 2
)
( 𝑟
)
los tamaños de las r sub muestras
y 𝑋
( 1
)
( 2
)
( 𝑟
)
las medias de las r submuestras, entonces la media de la
muestra general está dada por la siguiente expresión (3.12):
M(X)=
∑ 𝑋
𝑖
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑋
1 𝑖
+∑ 𝑋
2 𝑖
𝑛
( 2 )
1
𝑛
( 1 )
1
+.. .+ ∑ 𝑋
𝑟𝑖
𝑛
(𝑟)
1
𝑛
( 1 )
+𝑛
( 2 )
+... +𝑛
(𝑟)
𝑛
( 1 )
𝑋
̅
( 1 )
+𝑛
( 2 )
𝑋
̅
( 2 )
+.. .+𝑛
(𝑟)
𝑋
̅
(𝑟)
𝑛
( 1 )
+𝑛
( 2 )
+... +𝑛
(𝑟)
∑ 𝑛
(𝑖)
𝑋
̅
(𝑖)
𝑟
1
∑ 𝑛
(𝑖)
𝑟
1
Estas ecuaciones sirven para calcular la media geométrica de datos sin agrupar
y de datos agrupados, respectivamente.
Ejemplo 3.6 Calcular la media geométrica para los datos del Ejemplo 3.1 que
son: 3, 4, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 7, 3; luego la G(X) = √
10
1
10
= 4,53. Comparando con el valor de la media aritmética se
verifica que el valor de la media geométrica es menor que el valor de la media
aritmética; o sea 4,53 < 4,70.
Veamos ahora el cálculo de la media geométrica para distribución de frecuencias
(Tabla 3.3)
TABLA 3.3 Cálculo de la media geométrica para distribución de frecuencias
x i
n i
log x i
n i
log x i 3 4 5 6 7
Tot 10 6,
log G (X) =
(6,55976) = 0,655976; luego, calculando el antilogaritmo de
logG(X), se obtiene la media geométrica, o sea G (X) = 4,
La aplicación más útil de la media geométrica, es para promediar razones de
cambio o tasas de variación periódica de series cronológicas con tendencia
geométrica.
Ejemplo 3.7 Suponiendo que la población de cierta ciudad tuvo un incremento
de 100.000 a 250.000 habitantes durante el período 1 920 - 1970. Cuál es la
razón media de cambio por década?. Si se calcula a través de la media
aritmética, la Tasa media del periodo 1920 – 1970 es =
𝑌
𝑡
− 𝑌
𝑡− 1
𝑌
𝑡− 1
000
000
− 1 ) ∗ 100 = 1 50% es el
incremento en las 5 décadas. Si se divide entre 5 ; o sea:
150%
5
= 30% es el
incremento medio decenal a través de la media aritmética; pero esta medida no
es la correcta, ya que el número de habitantes estimado para el año 1970
asciende a 371.293 que no es real, ya que el número real de habitantes es solo
250.000, tal como se observa en el siguiente cuadro:
Estimación del número de habitantes con la Tasa Media Aritmética
Decenal de 30% de cierta ciudad para el periodo 1920 - 1970
Años
No. de
habitantes
observado
Calculo con el
factor de
expansión de la
media aritmética
No. de
habitantes
estimado
1920 100.000 100.000 = 100.
1930 100.000*1.3 = 130.
1940 130.000*1.3 = 169.
1950 169.000*1.3 = 219.
1960 219.700*1.3 = 285.
1970 250.000 285.610*1.3 = 371.
El número de habitantes durante el periodo 1920 – 1970 crece con razón
compuesta; la cual, significa utilizar la media geométrica, que se obtiene
como sigue :
log G(X) =
∑ log 𝑥
𝑛
𝑙𝑜𝑔( 2 , 5 )
𝑛
0 , 39794
5
= 0,079588; luego, hallando el antilogaritmo
de este resultado, además restando uno (1) y multiplicando por 100 se obtiene
la razón o tasa media de incremento decenal del número de habitantes de esa
ciudad; o sea, G (X) = 1,201 12 , y la razón de incremento decenal resulta: r =
(𝐺(𝑋) − 1 )*100 = 20,1 12 % por década.
TABLA 3.4 Cálculo de la media geométrica, el factor de expansión y el
crecimiento de la población de cierta ciudad para el periodo 1920 - 1970
Años
No. de habitantes
observado
Valor relativo
𝑋
𝑖
log 𝑋
𝑖
No. de habitantes estimado
1920 100.000 100. 000
1930
(
)( 1 , 20112
) = 120. 112
1940 ( 120. 112 )( 1 , 20112 ) = 144. 269
1950
(
)( 1 , 20112
) = 173. 284
1960 ( 173. 284 )( 1 , 20112 ) = 208. 121
1970 250.000 2,5 0,
(
)( 1 , 20112
) ≅ 2 50.
Totales 0,
Los cálculos de las razones de cambio promedio, se basan bajo el supuesto de
que la razón de cambio es constante. Cuando el cálculo implica un número
considerable de años, generalmente se usa la fórmula
anual en este caso resulta: (1,01849 – 1)*100 que arroja aproximadamente r =
1,85%. Este es el “ incremento medio anual” del número de habitantes de la
citada ciudad durante el periodo 1920 – 1970.
Media Armónica
DEFINICIÓN 3- 3 La media armónica denotada por H de una serie de valores
observados x l
, x 2
,... x n
, se define como el recíproco de la media aritmética de los
recíprocos de esos valores observados. Así, para datos sin agrupar, se tiene:
1
𝑋
1
1
𝑋
2
+... +
1
𝑋
𝑛
𝑛
=
1
𝑋
𝑖
𝑛
1
y para datos agrupados
𝑛
1
𝑌
1
𝑛
2
𝑌
2
+.. .+
𝑛
𝑚
𝑌
𝑚
𝑛
=
𝑛
𝑖
𝑌
𝑖
Ejemplo 3.8 Nuevamente tomando la información del Ejemplo 3.2, tendremos:
4 , 36
De la misma manera que la media aritmética y la media geométrica, la media
armónica es también afectada por los valores de cada elemento observado. La
media aritmética es la más afectada por los valores extremos que la media
geométrica, y esta a su vez más afectada que la media armónica. Las
magnitudes de las tres diferentes medidas para los mismos datos, tienen la
siguiente relación:
Si observamos los resultados de los ejemplos 3.2, 3.6 y 3.8, efectivamente,
La media armónica es útil para promediar principalmente razones. Es el caso en
que se trata de promediar velocidades y tiempos medios de trabajo.
Para la aplicación de la media armónica es posible utilizar la siguiente regla
general. Si entre dos variables Y y X, existe una relación de dependencia; de las
cuales, una es la variable dependiente (Y) y la otra es la variable independiente
(X); o sea, Y = f(X), entonces.
CASO I ; Si Y varia y X permanece fija entonces se calcula la media aritmética
de Y, esta media es la correcta.
CASO II : Si X varia y Y permanece fija entonces se calcula la media armónica
de X.
Ejemplo 3.9 Durante cuatro años sucesivos un industrial compró fueloil para una
caldera a 20, 22, 25 y 30 bolivianos (promedios) por galón. Hallar el precio medio
por galón para el periodo de esos cuatro años, cuando: a) Compra igual cantidad
de fueloil por año, b) Cada año gasta igual monto de dinero.
Solución .-
La relación es: “ bolivianos por galón ”; es decir, Monto gastado = f(cantidad de
fueloil adquirida);
a) L a cantidad anual es fija y varía el monto anual por la variación del precio;
por lo que, se utiliza la media aritmética: 𝑌
20 + 22 + 25 + 30
4
97
4
=24,25 Bs/galón.
Comprobación :
Año
Comprobación a) Comprobación b)
Precio
medio
Bs./Gln.
Cantidad
adquirida (Gls.)
Gasto
anual (Bs.)
Gasto anual
(Bs.)
Cantidad
adquirida (Gls.)
1 20 1.000 20.000 100.000 5.000,
2 22 1.000 22.000 100.000 4.545,
3 25 1.000 25.000 100.000 4.000,
4 30 1.000 30.000 100.000 3.333,
TOT 97 4.000 97.000 400.000 16.878,
Utilizando los datos de la primera parte del cuadro anterior se verifica que la
media aritmética es el promedio correcto; o sea:
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 4 𝑎ñ𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐴𝑑𝑞𝑢𝑖𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 4 𝑎ñ𝑜𝑠
000
000
= 24,25 Bs./Galón.
b) En este inciso, la cantidad comprada anualmente VARIA y el monto anual es
FIJO; por lo que, se calcula la media armónica, o sea:
1
20
1
22
1
25
1
30
=
500 + 15. 000 + 13. 200 + 11. 000
000
700
Bs/galón.
Comprobación :
Obrero
Horas
por silla
Comprobación b) comprobación a)
Sillas Horas Horas Sillas
40 200 242,42 49
40 240 242,42 40
40 160 242,42 61
En la práctica, es posible que cada obrero de una fábrica trabaje la misma
cantidad de tiempo pero produzca diferente número de sillas. Es justamente en
este caso que la media armónica es más realista que la media aritmética, ya que
M x horas por silla; este resultado, supondría que a cada
uno de los trabajadores se le asignó el mismo número de sillas para cumplir la
orden.
Comprobación:
En este ejemplo la relación es: Horas = f(cantidad de sillas). En este caso el
tiempo VARIA y la cantidad de sillas es FIJA; o sea, utilizando los datos de la
primera parte del cuadro anterior se tiene:
=
= 7 horas/silla
Cuando un conjunto de datos observados incluye valores extremos muy grandes
o muy pequeños, la media aritmética no es el indicador de tendencia central
adecuado; en cambio la media armónica si lo es.
Ejemplo
Sean los siguientes valores observados: 10, 20, 30, 40 y 900. La media aritmética
es 𝑋
5
= 200 y la media armónica es H(X) =
5
1
10
1
20
1
30
1
40
1
900
5
0 , 1 + 0 , 05 + 0 , 033 + 0 , 025 + 0. 001
5
0 , 209
Media Cuadrática
DEFINICIÓN 3.4 La media cuadrática de n valores observados se define como
la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de esas observaciones.
Para datos sin agrupar, se tiene
n
x
M x
n
i
i
c
1
2
y para datos agrupados:
𝑐
∑ 𝑌
𝑖
2
𝑛
𝑖
𝑚
1
𝑛
Ejemplo 3.10 Tomando la información de la Tabla 3.1, se tiene que
x x x x x
c
De la misma manera que la media aritmética, la media geométrica y la media
armónica, la media cuadrática es también afectada por los valores de cada
elemento observado. La media aritmética es la más afectada por los valores
extremos que la media geométrica, y esta a su vez más afectada que la media
armónica. Las magnitudes de las tres diferentes medidas para los mismos datos,
tienen la siguiente relación:
𝑐
Si observamos los resultados de los ejemplos 3.2, 3.6, 3.8 y 3.10, efectivamente,
𝑐
La aplicación de la media cuadrática se verá en el próximo capítulo, cuando
estemos tratando los cálculos de las medidas de variación.
La Mediana
Hemos visto que las medidas anteriores están influenciadas particularmente por
los valores de las observaciones. De esta manera, cuando hay valores extremos
muy grandes o muy pequeños, generalmente la media no es una buena medida
de tendencia central, así por ejemplo, si la producción diaria de un obrero es
normal durante 4 días de la semana, y el 5o. día tiene un rendimiento casi nulo,
su rendimiento medio desciende considerablemente. Esta influencia profunda de
los valores extremos sobre la media aritmética, implica que este promedio
frecuentemente no proporcione una medida significativa de tendencia central, es
decir, que indique un punto cercano a aquél en que la mayor parte de los
elementos están localizados, si la distribución es marcadamente oblicua. En
estos casos, a menudo se utiliza otro tipo de medida que no está influenciada
