Estadística 2 guía resuelta, Ejercicios de Estadística

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Departamento de Métodos Cuantitativos (DEMEC)

Año 2020

ESTADÍSTICA

EMPRESARIAL II

GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS

CONTENIDOS

• PRACTICO 1. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
• PRACTICO 2. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA POBLACIÓN
• PRACTICO 3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN
• EJERCICIOS INTEGRADORES
• PRACTICO 4. INFERENCIA PARA DOS POBLACIONES
• PRACTICO 5. PRUEBAS CHI-CUADRADO
• PRACTICO 6. ANALISIS DE REGRESION Y DE CORRELACION LINEAL SIMPLE
• PRACTICO 7. SERIES DE TIEMPO
• EJERCICIOS INTEGRADORES

Solución:

a)  1 , 57  ( 1 , 57 ) 0 , 94179

P x   P z  P z F

N N N

Para el caso de la utilización del aplicativo “Probability Distributions”, en principio deberán

bajar la aplicación en sus celulares y/o tablets. El ícono que la representa es:

Una vez que la hayan instalado, si la abren, encontrarán la siguiente pantalla, donde

seleccionarán la distribución de probabilidad a utilizar, para este caso la normal:

Una vez seleccionada la distribución Normal aparecerán:

Recordemos que por defecto, la aplicación utiliza los parámetros de la distribución normal

estándar, es decir, una media de 0 y un desvío de 1. No modificaremos estos valores ya que

estamos interesados en trabajar con la normal estándar.

f(x)

En el rectángulo celeste cargaremos los valores de Z que vayamos calculando para obtener

las correspondientes probabilidades. Una vez ingresado el valor de Z, le solicitamos a la app,

si deseamos el área a izquierda (P(X<x)) o el área a la derecha (P(X>x)), dependiendo del

caso. Podremos ver, que el gráfico nos mostrará la superficie calculada.

Para la pregunta a) indicamos el valor de Z, previamente calculado, y solicitamos la

probabilidad acumulada a la izquierda, llegando de esta manera al resultado.

b) ( 1 ) 1 ( 1 )

P x   P z  P z F

N N N

= 1 – 0,15866 = 0,

En esta pregunta, la operación es similar a la utilizada en la pregunta a) con la diferencia

de que pediremos la probabilidad acumulada por derecha obteniendo automáticamente el

resultado.

Las primeras cuatro preguntas del ejercicio también pueden ser resueltas utilizando el Excel.

En la opción de f(x), pueden definir, las funciones estadísticas y encontrarán la variante

llamada: =DISTR.NORM.ESTAND

En la cual definiendo el valor de z adecuado, obtendrán el área acumulada a la izquierda del

mismo. En la caso de necesitar un área a la derecha se debe proceder como con la tabla.

e) F (z ) 0 , 30 z 0 , 524 xz   0 , 524  7  54  50 , 332 kgs

Si en cambio disponemos de los valores de probabilidad y deseamos conocer el valor de Z, en

el aplicativo, ingresaremos nuestro dato (la probabilidad) en el rectángulo rosado, indicando

que es una probabilidad acumulada a la izquierda (P(X<x)).

f) F ( z) 1  0 , 25  0 , 75 z 0 , 674 xz   0 , 674  7  54  58 , 718 kgs

g) F ( z) 1  0 , 95  0 , 05 z 1 , 645 xz   1 , 645  7  54  42 , 485 kgs.

En las últimas tres preguntas, si se desea trabajar con la planilla de cálculo tenemos

que invertir la función estadística, esto es =DISTR.NORM.ESTAND.INV

En una localidad, donde el 36% de las mujeres casadas trabaja fuera de su hogar, se

entrevistarán 256 mujeres casadas seleccionándolas al azar.

a) Calcular la probabilidad de que más del 40% de las entrevistadas trabaje fuera de su

hogar.

b) Si se entrevistaran 400 mujeres casadas, ¿cuál sería la probabilidad de encontrar a lo

sumo 244 que no trabajen fuera de su hogar?

Solución:

a) n = 256 p = 0,36 (proporción de mujeres casadas que trabajan)

q = 1 – p = 1 – 0,36 = 0,

ˆ ˆ

P p P z P z F

n

p q

p proporcióndemujeresquetrabajanenla muestra

N N N

p p

b) n = 400 p = 0,64 (proporción de mujeres casadas que no trabajan)

q = 1 – p = 1 – 0,64 = 0,

ˆ ˆ 0

P p P z P z F

p

n

p q

p proporcióndemujeresquenotrabajanenla muestra

N N N

p p

Ejercitación:

Problema 1: Sabiendo que los montos abonados mensualmente en concepto de comisiones por

ventas en la firma “Norte S. A.” se distribuyen normalmente con un promedio igual a US$

4.700 y un desvío estándar igual a US$ 640, contestar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone como máximo US$ 5.400 en

concepto de comisiones por ventas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone como mínimo US$ 4.900 en

concepto de comisiones por ventas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone entre US$ 4.000 y US$ 5.000 en

concepto de comisiones por ventas?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone a lo sumo US$ 8.000 en concepto

de comisiones por ventas?

e) ¿En qué porcentaje de los meses el monto abonado en concepto de comisiones por

ventas supera los US$ 1.000?

f) ¿En qué porcentaje de los meses el monto abonado en concepto de comisiones por

ventas queda comprendido entre US$ 4.200 y US$ 7.500?

g) ¿Cuál es el monto no superado en el 24 % de los meses?

h) ¿Cuál es el monto sólo superado en el 15 % de los meses?

i) ¿Qué monto se debe reservar para pagar las comisiones por ventas del mes próximo,

si se desea que la probabilidad de que dicha reserva resulte suficiente sea igual a

0,88?

RESPUESTAS: a) 0,86214 b) 0,37828 c) 0,54 d) 1

e) 100 % f) 78,23 % g) US$ 4.248 h) US$ 5.363 i) US$ 5.

Problema 2: Cierta empresa de radiotaxis ha calculado un gasto de mantenimiento promedio

por cada unidad de 1250 $ por mes, con un desvío estándar de 650 $. En una muestra de 50

vehículos de la empresa,

a) Indique el promedio, variancia y distribución de la variable “gasto promedio de

mantenimiento mensual por unidad” para la muestra de 50 taxis.

b) Calcule la probabilidad de que en un mes la empresa gaste en promedio en

mantenimiento más de 1300 $ por unidad.

c) Calcule la probabilidad de que la empresa gaste a lo sumo 1100 $ promedio mensuales

en mantenimiento por unidad.

d) Calcule cuánto se gastará en promedio como mínimo en el 40% de los meses.

e) Complete las siguientes frases:

1. En el 40% de los meses el gasto promedio de mantenimiento es de a la sumo

…….. $.

2. En promedio en el 80% de los meses se gasta en mantenimiento de la flotilla

como mínimo ……. $ por unidad

3. En el …..% de los meses se gasta en el mantenimiento de la flotilla más de

1400$ promedio por unidad.

RESPUESTAS: a) $ 1250, $

2

8450, normal b) 0.

c) 0.0514 d) $ 1273.3 e1)$ 1226.7; e2) $ 1172.6; e3) 5.14%

Problema 3: Una multinacional llevó a cabo un relevamiento de los sueldos anuales de sus

gerentes generales en los 14 países donde opera. Los resultados (en miles de US$) fueron:

125 79 82 62 109 158 102 55 120 105 91 88 104

100

a) Calcule el promedio y el desvío estándar de los sueldos anuales de todos los gerentes

(¿son poblacionales o muestrales?)

b) Extraiga una muestra aleatoria de 5 sueldos y calcule su promedio y su desvío

estándar (¿son poblacionales o muestrales?). Si tomara otra muestra de 5 sueldos,

también al azar, ¿se mantendrían el promedio y el desvío? ¿Cómo se comporta

entonces x?

Problema 8: En un sindicato donde el 20 % de los afiliados tiene menos de 25 años de edad,

se seleccionan al azar 400 afiliados para efectuar una encuesta acerca de la aplicación de las

normas de seguridad en sus respectivos lugares de trabajo. Calcular:

a) La probabilidad de que la proporción de afiliados menores de 25 años seleccionados

para la encuesta resulte inferior a 0,14.

b) La probabilidad de que el porcentaje de encuestados con 25 años de edad como mínimo

resulte inferior al 85 %.

RESPUESTAS: a) 0,00135 b) 0,

Problema 9: En una universidad donde el 32 % de los alumnos son mujeres, se tomará una

muestra de 240 alumnos. Calcular la probabilidad de que el porcentaje de mujeres en dicha

muestra difiera en más de 3 puntos del porcentaje de mujeres en la universidad.

RESPUESTA: 0,

Revisión conceptual

Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la diferencia entre parámetro y estimador?

b) ¿Qué es un estimador insesgado? De algún ejemplo.

c) ¿Cuál es la diferencia entre una estimación eficiente y una ineficiente?

d) ¿Qué estadístico usaría para estimar la media poblacional? ¿La media de la muestra

o la mediana? ¿Por qué?

e) Un contador selecciona una muestra aleatoria de 100 cuentas bancarias y resulta que

promediadas dan un saldo de 725,80$. El contador afirma que ese será el saldo de

TODAS las cuentas del banco ya que el promedio muestral es un estimador insesgado

de la media de una población. El contador creía saber estadística pero... en esto estaba

equivocado, ¿por qué?

f) La figura de la derecha muestra la distribución de

probabilidades de la variable X = largo del fruto (en mm) de

cierta especie leguminosa. Para una muestra de n = 5 frutos

elegidos al azar se define la variable aleatoria

n

X

X

n

i 1

 i



Indique cuál de las siguientes afirmaciones con respecto a la

distribución de probabilidades de X es verdadera, justificando

sus dichos:

1. La distribución de probabilidades no es normal ya que el

tamaño de la muestra no es lo suficientemente grande

2. Tiene una esperanza igual a 0
3. Tiene una varianza 5 veces menor
4. La forma de la distribución es más aplanada que la de la

figura

Solución:

a) Datos: 49 1. 323 156 , 25 95 %

2

n x  NC

Intervalo de confianza: P{Límite Inferior    Límite Superior } = 1 – 

sup 27 1 , 96

inf 27 ( 1 , 96 )

2

1

2

0 , 975

2

1

0 , 025

2





n

Límite erior LS x z

n

Límite erior LI x z

z z z z

NC

n

x

x





 

En resumen:

: 27 3 , 5  23 , 50 ; 30 , 50 

2

1



Respuesta

n

x E donde E z



b) Datos: n = 49  = 12,5 E = 1,50 NC =?

2

1

2

1

2

1

  

  

NC

z z F

n

E z

Respuesta: El nivel de confianza sería igual a 60%

c) Datos: E = 1,50  = 12,5 NC = 95% n =?

2

2

2

1

2

1





n

E

z

n

n

NC z entonces E





Respuesta: Habría que incluir 218 minoristas más.

Intervalo de confianza para el promedio con variancia poblacional desconocida:

Para estimar el coeficiente intelectual (CI) promedio de los alumnos de una universidad se

toma una prueba a una muestra de 6 estudiantes obteniéndose los siguientes resultados:

128 – 117 – 125 – 136 – 110 – 134

Suponiendo que los CI siguen una distribución normal:

a) Efectuar la estimación con un riesgo del 5%.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para que, manteniendo el mismo nivel de

confianza, el error de muestreo de la estimación anterior sea igual a 4?

Solución:

a) Datos: n = 6 x: 128 – 117 – 125 – 136 – 110 – 134  = 5%

 

; 1 2 5 ; 0 , 975

2 2

2

2



t

n

S

x E E t

gradosdelibertad GL n

NC

S

n

x x

S

n

x

x

v 

Respuesta: [125 – 10,5 ; 125 + 10,5] = [114,50 ; 135,50]

b) Datos: E = 4 NC = 95% n =?

41 , 3 42

4

2 , 571 10

1 6 1 5 2 , 571

1

2

2

; 1 2

5 ; 0 , 975

  

































      



n

E

t S

n t n

 



25 , 5 26

4

2 , 020 10

1 42 1 41 2 , 020

1

2

2

; 1 2

41 ; 0 , 975

  

































      



n

E

t S

n t n

 



26 , 5 27

4

2 , 060 10

1 26 1 25 2 , 060

1

2

2

; 1 2

25 ; 0 , 975

  

































      



n

E

t S

n t n

 



26 , 4 27

4

2 , 056 10

1 27 1 26 2 , 056

1

2

2

; 1 2

41 ; 0 , 975

  









 





















      



n

E

t S

n t n

 



Respuesta: El tamaño de la muestra debería ser igual a 27 alumnos.

Intervalo de confianza para la proporción:

En un importante supermercado, que cuenta con varias sucursales en distintos puntos del

país, se está estudiando la incidencia de las tarjetas de débito como medio de pago. A tal

efecto, se ha analizado una muestra de 125 compras efectuadas durante el último fin de

semana en el local ubicado en Constitución, observándose que 79 fueron abonadas con

tarjetas de débito y el resto con otros medios de pago.

a) Estimar la proporción de compras que se abonan con tarjetas de débito en la sucursal

Constitución. (Utilizar  = 2%).

Intervalo de confianza para la variancia

Se desea estimar el desvío estándar de la longitud de un lote de piezas fabricadas. Es

razonable suponer que la longitud de la pieza se distribuye normalmente. Una muestra de

12 piezas del lote produjo un desvío estándar de 32 mm. Basándose en estos datos, construir

un intervalo de confianza del 95% para el desvío estándar.

Solución:

Datos: n = 12 S = 32 NC = 95%

 

:  22 , 67 ; 54 , 30 

2

2

; 2

2

2

2

; 1 2

2

2

11 ; 0 , 975

2

; 1 2

2

11 ; 0 , 025

2

; 2

Intervalodeconfianzaparaestimareldesvío estandar

Intervalodeconfianzaparaestimarlavarianc ia

S n

LímiteSuperior LS

S n

LímiteInferior LI

v n NC

v

v





 



  

Respuesta: Se estima con una confianza del 95% que el desvío estándar de la longitud de todo

el lote está comprendido entre 22,67 mm y 54,30 mm.

Ejercitación:

Problema 1: En una ciudad del interior del país en la que habitan 100.000 familias se tomó

una muestra al azar de 285 familias con la finalidad de analizar el ingreso mensual familiar

y se obtuvo una media de U$S 2131. Suponga que el desvío estándar de los ingresos asciende

a U$S 1772.

a) Indique cuál es la unidad de observación, la variable aleatoria en estudio, la población

de referencia y la muestra. ¿ U$S 2131 es el valor de un estimador o de un parámetro?

¿Y U$S 1772? Justifique su respuesta.

b) Estimar el ingreso promedio mensual familiar con una confianza del 90 %. ¿Los

resultados se aplican a las familias encuestadas, a todas las familias de la ciudad o a

todas las familias del interior?

c) Repetir la estimación pero utilizando una confianza del 99%.

d) Calcule la amplitud de ambos intervalos. ¿Es razonable que el segundo intervalo

tenga una amplitud mayor que el primero?

e) ¿Cuántas familias más se debería incluir en la muestra para reducir el error de

muestreo de la estimación del punto b) en un 20 %?

f) Indique cuál es el estimador utilizado y cuál es su esperanza, desvío estándar y

distribución de probabilidades.

RESPUESTAS:

a) la unidad de observación es cada familia, la variable aleatoria en estudio es el ingreso

mensual, la población de referencia está constituida por las familias de la ciudad del

interior del país y la muestra está formada por 285 familias. U$S 2131 es el valor de

un estimador ya que se calculó sobre la muestra y U$S 1772 es el valor de un

parámetro, ya que al ser un dato histórico, se asume que se calculó sobre una gran

cantidad de datos.

b) Se estima que el ingreso promedio mensual familiar está comprendido entre U$S 1958

y U$S 2303.

c) [U$S 1860 ; U$S 2401]

d) U$S 345y U$S 541

e) Se deberían incluir 161 familias más en la muestra.

f) El estimador es x , su esperanza es μ, su desvío estándar (también llamado error

estándar) es  / n y distribución de probabilidades es normal ya que el tamaño de

muestra es grande.

Problema 2: El dueño de un comercio minorista desea estimar el tiempo promedio que

demanda la atención de cada cliente, y sabe por estudios anteriores que dicho tiempo se

distribuye normalmente con desvío estándar igual a 4,215 minutos. A tal efecto, registró la

cantidad de minutos que le insumió la atención de seis clientes elegidos al azar y obtuvo los

siguientes datos:

15 – 12 – 8 – 23 – 15 – 11

a) Efectuar la estimación requerida con un nivel de riesgo igual al 2 %.

b) ¿Cuántos clientes más se debería observar para reducir el error de muestreo anterior

en 1 minuto?

c) Basándose en la muestra original el comerciante estimó que el tiempo promedio de

atención por cliente oscila entre 12,142 minutos y 15,858 minutos. ¿Cuál es el nivel

de confianza de esta estimación?

RESPUESTAS: a) [10; 18 min] b) 5 clientes más c) NC = 72 %

Problema 3: Como parte de su control de calidad, la Química Erovne mide la temperatura,

en °C, durante el ciclo de fabricación de un producto. Se sabe por registros históricos que la

temperatura en dicho paso se distribuye normalmente con una variancia de 9°C

2

.

a) Si se desea estimar la temperatura media de un ciclo de fabricación con una confianza

del 95% y un máximo error muestral de 2.5°C, ¿cuántas mediciones deberán

efectuarse?