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1. Probabilidades
La estadística se divide en dos aspectos:
1) La Estadística Descriptiva se ocupa de describir algo que ya ha ocurrido. Los datos se
organizan en una tabla de distribución de frecuencias, donde se pueden observar los valores de menor ocurrencia (donde se encuentra la menor concentración de datos) y los de mayor ocurrencia (con la mayor concentración de datos). También se puede representar la distribución en forma gráfica usando los histogramas y polígonos de frecuencia. Además, se pueden calcular medidas de tendencia central (tienden a estar en el centro de los datos, como la media aritmética) y de dispersión; la dispersión se describe empleando medidas como el rango (amplitud) y la desviación estándar (indica como están extendidos los datos con respecto a su punto central o media aritmética).
2) La Estadística Inferencial o Inferencia Estadística es la segunda faceta de la
Estadística, que se basa en el cálculo de la probabilidad de que ocurrirá un determinado resultado (llamado también evento, suceso, ocurrencia). Ahora se pasará a estudiar este aspecto de la Estadística. La inferencia estadística se ocupa de deducciones acerca de un parámetro de una población (como la media aritmética poblacional μ ), con base en una muestra tomada a partir de aquella (calculándole el estadístico correspondiente, en este caso una media aritmética muestral ). Debido a que existe una incertidumbre al tomar decisiones, resulta importante que todos los riesgos implícitos conocidos se evalúen en forma científica. En esta evaluación ayuda la teoría de probabilidades , a la que a menudo se le denomina ciencia de la incertidumbre. El empleo de la probabilidad permite a quien toma decisiones, analizar los riesgos y minimizar el azar inherente, con información limitada, por ejemplo, un fabricante al lanzar un nuevo producto al mercado o aceptar un embarque de insumos recién llegado que contenga partes defectuosas.
1.1 Concepto de Probabilidad ( P )
Es un número entre 0 y 1, ambos inclusive , que mide la creencia de que ocurra un resultado específico en un experimento aleatorio, de manera que:
- Un suceso imposible de ocurrir tiene probabilidad 0 o 0%.
- Un suceso seguro de ocurrir tiene probabilidad 1 o 100%.
- El resto de sucesos tendrá una probabilidad comprendida entre 0 y 1 (0 < P < 1). La teoría de probabilidad y sus métodos estadístico-matemáticos datan desde la correspondencia entre Pascal y Pierre de Fermat (año 1654), sobre análisis de resultados de juegos de azar, como barajas y dados.
Otros conceptos relacionados con el tema son:
- Experimento: Es un proceso planeado mediante del cual se obtienen resultados, también conocidos como eventos, sucesos, o salidas del experimento. Se trata de una actividad que se observa o se mide. Los experimentos pueden ser dos tipos: - Experimento aleatorio o no determinista: es aquel cuyos resultados o eventos dependen del azar, como lanzar una moneda y observar cual lado se obtiene. Se sabe de antemano los posibles resultados, pero no se sabe cual de ellos será (en el caso de la moneda, los resultados son Cara o Sello). Estos experimentos tienen valor estadístico pues no se sabe de antemano el resultado que sucederá. - Experimento determinista o determinístico: es aquel del que se sabe de antemano cual es el resultado (se puede determinar de antemano), pues no depende del azar, por ejemplo, un tiro al piso, el resultado es que siempre le va a acertar al piso (la probabilidad de acertar es 1 o 100%), o al tirar una piedra al agua, no va a flotar (la probabilidad de que flote es 0). Como ya se sabe el resultado de antemano, estos experimentos tienen interés en Estadística.
- Variable Aleatoria: es aquella que resulta de un experimento aleatorio y puede tomar diferentes valores determinados por el azar. La letra x es muy utilizada como variable aleatoria. Como el valor numérico de una variable se determina por un suceso fortuito, dicha variable se denomina una variable aleatoria. Ejemplos, las estaturas de los jugadores de un equipo de basquetbol y el peso de una persona. Algunos ejemplos de experimento aleatorio son: (a partir de ahora, todos los experimentos refe- ridos en este curso son aleatorios, a menos que se especifique lo contrario)
- Preguntar a un grupo de estudiantes universitarios que probaron tres marcas de compu- tadoras personales, cual prefieren.
- Medir el diámetro interior de arandelas para determinar el número de defectuosas.
- Contar el número de pacientes en un hospital que tiene 60 años de edad o más.
- Hacer girar la llave de encendido de un automóvil que sale de la línea de ensamble, para determinar si el motor arrancará o no. Puesto de otra forma, un experimento es algo que se planea hacer y de cuyo resultado no se está seguro. Por ejemplo, se pregunta a los estudiantes de una universidad sobre su preferencia sobre una computadora personal, pero no se está seguro de cual es la más popular. De manera seme- jante, al planear que se cuente el número de pacientes de un hospital que tengan más de 60 años, no se está seguro si hay 0 o 1 o 2 o 3 … mayores de 60 años. Un experimento puede tener dos o más resultados posibles, a los que se llama eventos.
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1, Probabilidad que el sol desaparezca este año Probabilidad que el Magallanes gane este año el campeonato Probabilidad que una moneda caiga cara al lanzarla una vez Probabilidad de que llueva en Caracas este año Figura 1 No puede suceder Seguramente sucede Probabilidad que el promedio del curso sea 19 puntos o más Tal vez otras personas den una probabilidad diferente al Magallanes o al promedio del curso de 19, ya que son más difíciles de estimar e interviene la creencia personal o subjetividad.
Ejemplo 1:
Se ha desarrollado un nuevo juego de computadora. Su potencial de mercado lo van a probar 80 jugadores expertos. a) ¿Cuál es el experimento? b) ¿Cuál es un posible evento? Comente esto. c) Suponga que 65 jugadores que probaron el nuevo juego afirmaron que les gustó, ¿65 es una probabilidad? Comente. d) La probabilidad de que el juego de computadoras sea un éxito se calcula como –1. Co- mente. Solución: a) Prueba del nuevo juego de computadora. b) A 73 jugadores les agradó el juego. Podría haber sido cualquier número entero entre 0 y
c) No; la probabilidad no puede ser mayor de 1. La probabilidad de que el juego al lanzarse al mercado tenga éxito es de 65/80, o 13/16, o 0,8125, u 81,25%. d) La probabilidad puede ser menos de 0. Tal vez hubo un error en los cálculos.
1.1.2 Tipos o Enfoques de la Probabilidad
Se analizarán dos enfoques de la teoría de probabilidades: objetivo y subjetivo. La probabilidad objetiva puede subdividirse en: 1) probabilidad clásica o a priori , y 2) frecuencia relativa o pro- babilidad a posteriori.
1.1.2.1 Probabilidad Clásica
El enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa en que los resultados elementales del experimento son igualmente posibles. Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de
que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles. Probabilidad de ocurrencia del evento A = número de ocurrencias posibles del evento A número total de ocurrencias posibles En forma compacta: P ( A )= n A n donde: P ( A ): es la probabilidad que resulte el evento A. También se suele escribir PA. Pueden utilizarse letras y/o números entre los paréntesis para denotar el evento. ( A es una etiqueta arbitraria para denotar un resultado en particular.) nA : es el número de resultados favorables al evento A. n : es el número total de resultados posibles.
Ejemplo 2:
Se lanza un dado de seis lados y se observa el lado que muestre hacia arriba al caer (este es el experimento). ¿Cuál es la probabilidad de que caiga el lado “dos” (dos puntos)? ¿Qué enfoque de la probabilidad ilustra este ejemplo? Solución: Los eventos posibles son: que salga “uno”, “dos”, “tres”, “cuatro”, “cinco” o “seis”. Los seis resultados de la tirada del dado son igualmente probables. Por tanto:
- Probabilidad de un dos = Número de eventos posibles de obtener el dos Número total de eventos posibles
- Enfoque clásico, a priori, se trata de eventos que no han ocurrido. ◅ Nota: La probabilidad que salga uno cualquiera de los seis lados en una lanzada es: P (“uno”) o P (“dos”) o P (“tres”) o P (“cuatro”) o P (“cinco”) o P (“seis”) = = P (“uno”) + P (“dos”) + P (“tres”) + P (“cuatro”) + P (“cinco”) + P (“seis”) =
= 1_._ Esto significa que la suma de las probabilidades de los todos los posibles eventos individuales en el experimento de lanzar un dado una vez es igual a 1 o 100% (igual para cualquier experimento). En un experimento, si uno de los posibles eventos ocurre, ninguno de los otros puede ocurrir si-
ne que realizar un experimento para determinar la probabilidad de que la declaración de im- puestos sobe la renta que presentó una persona sea sometida a una auditoría si hay dos millones de declaraciones enviadas a la oficina de impuestos y se va a efectuar una auditoría a 2400. Su- poniendo que cada declaración tiene una probabilidad igual de ser sujeta a auditoría, su proba- bilidad será 0,0012, que se obtiene al dividir 2400 entre 2 millones. Por otra parte, en muchas situaciones comunes, la ocurrencia de posibles eventos no es igual- mente probable ni mutuamente excluyente. Por ejemplo, las máquinas de una fábrica no produ- cen un número igual de partes aceptables y defectuosas, y si se quiere determinar la probabili- dad de que una pieza sea defectuosa, no se puede utilizar la definición clásica, pues se necesita- ría conocer previamente el resultado del proceso de fabricación. En situaciones en las que exis- ten eventos que no sean igualmente posibles, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la defini- ción frecuentista de probabilidad. En la sección que sigue se examina uno de esos planteamien- tos.
1.1.2.2 Probabilidad Tipo Frecuencia Relativa
La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina contando cuantos veces un evento sucedió en el pasado y cuantos eventos se observaron en total, calculando la proporción. En términos de una fórmula, la probabilidad de que un evento suceda se calcula mediante: Probabilidad del evento A = Número de veces que el evento A ocurrió en el pasado Número total de observaciones realizadas En forma compacta: P ( A )= nA n donde: P ( A ): es la probabilidad que resulte el evento A. n A: es el número de resultados favorables al evento A en el pasado_. n_ : es el número total de observaciones. Es decir, es lo mismo que la probabilidad clásica, sólo que la primera es previsible a priori (ba- sada en que los eventos son igualmente probables), y la segunda a posteriori (basada en eventos pasados).
Ejemplo 5:
Se efectuó un estudio de 751 graduados en Matemáticas en cierta universidad, el cual reveló que 383 de los 751 no estaban empleados según su área de estudios en la universidad. ¿Cuál es la
probabilidad de que un graduado en Matemáticas de esa universidad esté empleado en un área distinta a su carrera? Solución: Probabilidad de que suceda un evento = Número de veces que el evento ocurrió en el pasado Número total de observaciones realizadas Denotando MOC como el evento “Matemáticos Empleados en Otra Carrera”, se tiene: P ( MOC )= n MOC n
= 0,5100 ◅ (redondeando a 4 decimales). Puesto que 383 de 751, o sea 0,51 en términos de probabilidad, están en en campo de empleo di- ferente al de su área principal de estudios, se puede emplear esto como una estimación de la pro- babilidad. En otras palabras, con base en la experiencia existe una probabilidad de 0,51 de que un graduado en Matemáticas esté empleado en un campo distinto al de sus estudios.
Ejemplo 6:
El Centro Nacional de Estadísticas informó que de cada 883 muertes en los últimos años, 24 se debieron a accidentes automovilísticos, 182 a cáncer y el resto a otras causas. Utilizando el enfo - que de frecuencia relativa, se pide la probabilidad de que una muerte específica se deba: a) A un accidente automovilístico. b) Al cáncer. c) A otras causas. d) ¿A cuál tipo de probabilidad corresponde este problema? Exprese los resultados en forma de fracción y decimal. Solución: a) P ( AA ) = nAA / n = 24/883 = 0,0272 ◅ b) P ( C ) = nC / n = 182/883 = 0,2061 ◅ c) P ( OC ) = nOC / n = ( n - nAA - nC )/ n = (883 – 24 – 182)/883 = 677/883 = 0,7667 ◅ d) Enfoque frecuentista, los eventos ya sucedieron. ◅
Ejemplo 7:
Se lanzó una moneda 70 veces y se obtuvieron 36 caras. Calcule la probabilidad de obtener caras y de obtener sellos. ¿De cuál tipo de probabilidad se trata este planteamiento? Solución: Sean: C = evento que salga Cara al lanzar la moneda; S = evento que salga Sello.
Solución: Cierto comentarista cree que la posibilidad que la inflación el año entrante suba a 30% es 0,25. Usted puede ser más optimista o menos optimista, es subjetivo. ◅
- ¿Qué probabilidad asignaría a adquirir usted un nuevo automóvil este año? Solución: 0,90 si usted ha estado buscando automóvil nuevo, o por ejemplo 0,01 si usted no tiene inten - ción de comprar o cambiar carro. ◅ En resumen, existen dos puntos de vista en lo que se refiera a probabilidad: el objetivo y el sub - jetivo. Se observa que una expresión probabilística siempre constituye una estimación del valor desconocido que regirá un evento que todavía no ocurre. Desde luego, existe una gran diferencia en el grado de incertidumbre que rodea a esta estimación, con base principal en el conocimiento que posea la persona encargada del proceso básico: un individuo puede poseer el conocimiento necesario acerca de la lanzada de un dado, e indicar que la probabilidad de que caiga un "uno" al lanzar un dado normal es 1/6, pero sabe muy poco en lo que se refiere a la aceptación del mercado para un nuevo producto todavía no probado. Por ejemplo, aunque un director de inves- tigación de mercado haga una encuesta de aceptación de un nuevo producto, por ejemplo en 40 tiendas de venta al detal, e indique que hay 70% de probabilidad de que el producto tenga ven - tas de más de un millón de unidades, sigue teniendo muy poco conocimiento acerca de la forma en que reaccionarán los consumidores cuando se lance al mercado nacional (quizás no les guste el color o la presentación). En ambos casos (la lanzada de un dado y la encuesta de un nuevo producto), la persona está asignando un valor a un evento que le interesa (no tomó en cuenta el color o la presentación en el caso del nuevo producto) y existe diferencia sólo en la confianza del pronóstico en cuanto a la exactitud de la estimación (el resultado del dado es más confiable que el del nuevo producto).
1.1.3 Distribución de Probabilidades
Una distribución de probabilidades es la enumeración de todos los resultados posibles de un ex- perimento, junto con la probabilidad asociada a cada uno. Si los resultados son ordenables, se presentan ordenados en forma ascendente.
Ejemplo 1
Los posibles resultados del experimento de lanzamiento de un dado son: “uno”, “dos”, “tres”, “cuatro”, “cinco” y “seis” puntos. a) Elabore una distribución de probabilidad para estos resultados. b) Represente la distribución probabilística en forma gráfica.
c) ¿Cuál es la suma total de las probabilidades? Solución: a) Distribución de probabilidades al lanzar un dado. Resultados (lados del dado), x N° de resultados Probabilidad, P ( x ) ◅ uno 1 ⅙= 0, dos 1 ⅙= 0, tres 1 ⅙= 0, cuatro 1 ⅙= 0, cinco 1 ⅙= 0, seis 1 ⅙= 0, Totales: 6 6/6 = 1, b) Figura 2 uno dos 0, Lados del dado, tres cuatro cinco seis 0 Distribución de Probabilidades Resultados posibles al lanzar un dado x ◅ c) La suma de las probabilidades de todos los eventos: 6/6 = 1,0000 ◅
Ejemplo 2
Se lanza dos veces una moneda. Los posibles resultados son cero, uno y dos caras. ¿Cuál es la distribución de probabilidades para el número de caras, en forma de tabla y de gráfica? Solución: Hay cuatro posibles resultados, de acuerdo al contexto del problema (aunque el problema no in- dica cuantos de cada uno). Podría caer sello en la primera lanzada y otro sello en la segunda, o podría caer sello y cara, en ese orden, etc. En la tabla que sigue se muestran las cuatro posibili - dades ( C = cara, S = sello): Lanzamiento de una moneda dos veces
probabilidades de C , que se escribe P ( C ) en el ejemplo del lanzamiento de una moneda, fueron 0,25; 0,5 y 0,25. b) La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es 1,00. Esto se puede ver en la tabla de la distribución probabilística.
Problemas
- Los psicólogos que trabajan en un centro ambulatorio de atención para adultos de la tercera edad en Caracas, observaron el estado civil de un grupo de 120 varones que se tratan por pro- blemas depresivos. Sus registros se presentan en la siguiente tabla: Estado Civil Cantidad de Pacientes Soltero 24 Casado 18 Viudo 42 Divorciado 36 Total: 120 ¿Qué estado civil se le asignaría a Pablo P. si sólo se sabe que tiene tratamiento por proble - mas depresivos en dicho Centro? Si se selecciona un paciente al azar, ¿cuál sería la probabili- dad que sea Casado? Solución:
- La clase o categoría que más aparece en la distribución de frecuencias de los pacientes mencionados (la variable con la mayor frecuencia, la cual es 42) es Viudo. Esta categoría es la más probable, por tener la mayor frecuencia relativa, para una observación realizada al azar. Por tanto, a Pablo P. se le asignaría el estado civil Viudo. ◅
- Si C es el evento que un paciente sea Casado , entonces la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un paciente Casado es P ( C ) = nC n
- Los estudiantes de un salón de clase se distribuyen del siguiente modo: Chicas Chicos Con lentes 3 6 Sin lentes 12 10 Se selecciona al azar a una persona de ese salón. Calcular la probabilidad de que:
a) Sea una chica. b) Sea una lentes. c) Sea una persona con lentes. d) ¿De cuál tipo de probabilidad se trata y porqué? Solución: a) P (chica ) = n chica n Hay que determinar n chica y n , para lo cual se totaliza la tabla. Chicas Chicos Totales Con lentes 3 6 9 Sin lentes 12 10 22 Totales 15 16 31 Entonces, n chica = 15 y n = 31 personas. Sustituyendo: P (chica) = n chica n
b) P (estudiante con lentes)=
c) P (chica con lentes) =
d) Probabilidad clásica, los eventos no han sucedido, pero se les puede calcular a priori su pro- babilidad pues cada resultado tiene la misma.
- El administrador de una clínica analiza el número de consultas médicas del servicio de cardio- logía que se proporciona semanalmente. Los resultados de las últimas semanas se muestran en tabla siguiente: N° semanal consultas de cardiología N° de semanas observadas 70 5 71 7 72 9 73 8 Determinar la distribución de probabilidades para este experimento y elaborar su gráfica. Indi-
ta y 8 de uva. a) Calcular las respectivas probabilidades de que salga cada uno de los seis sabores al extra- er al azar un caramelo de ese bolso. b) ¿A cuál tipo de probabilidad corresponde este experimento y porqué? Solución: a) P (sabor )= n sabor n , hay que calcular el total de caramelos en el bolso. Sabor (resultado) n sabor A 24 C 10 F 14 L 17 M 5 U 8 ∑ =^78 Las probabilidades son: P ( A ) = 24/78 = 0, P ( C ) = 10/78 = 0, P ( F ) = 14/78 = 0, P ( L ) = 17/78 = 0, P ( M ) = 5/78 = 0, P ( U ) = 8/78 = 0,1026 ◅ ∑ =^ 1, b) Probabilidad tipo clásica, los eventos no han ocurrido. ◅ — o — JG/
