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NOMBRE DE LA MATERIA:
Mecánica de Materiales II
UNIDAD:
Estado general de esfuerzo
ACTIVIDAD No Reporte de investigación
ESTUDIANTE:
Aguirre Solano Daniel Alisandro
NO. CONTROL:
186Z
SEMESTRE Y GRUPO:
5 - ÚNICO
CARRERA:
Ingeniería Mecánica
SISTEMA:
Escolarizado
UNIDAD ACADÉMICA Instituto Tecnológico Superior de Alvarado
FECHA:
Periodo: AGOSTO - DICIEMBRE 2020
INDICE
Introducción_______________________________________________________
Objetivos_________________________________________________________
1.1. Esfuerzos combinados__________________________________________ 2
1.2. Transformación de esfuerzo en problemas
bidimensionales_______________________________________________ 2
1.3. Esfuerzos principales en problemas
bidimensionales_______________________________________________ 4
1.4. Esfuerzo cortante máximo en problemas
bidimensionales________________________________________________ 5
1.5. Círculo de Mohr de esfuerzos para problemas
bidimensionales________________________________________________ 7
1.6. Construcción del círculo de Mohr para la transformación
de esfuerzos__________________________________________________ 8
1.7. Esfuerzos principales para un estado general de
esfuerzos____________________________________________________ 11
1.8. Circulo de Mohr para un estado general de
esfuerzos____________________________________________________ 14
1.9. Aplicación del círculo de Mohr al análisis tridimensional de
esfuerzos____________________________________________________ 17
Conclusión______________________________________________________ 20
Bibliografía______________________________________________________ 21
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS
1.1. Esfuerzos combinados
La sección transversal de un miembro suele estar sometida simultáneamente a varios de esos tipos de carga y, en consecuencia el método de superposición, si es aplicable, puede usarse para determinar la distribución resultante del esfuerzo causado por las cargas. En aplicaciones se determina primera la distribución del esfuerzo debido a cada carga y luego se superponen esas distribuciones para determinar la distribución resultante del esfuerzo. Como se estableció también, el principio de superposición puede usarse para este fin siempre que exista una relación lineal entre el esfuerzo y las cargas. Además, la geometría del miembro no debe experimentar cambios significativos cuando se aplican las cargas. Esto es necesario para garantizar que el esfuerzo generado por una carga no esté relacionado con el esfuerzo generado por cualquier otra carga, El análisis se confinará a los casos en que se cumplan esas dos hipótesis.
A menudo es posible analizar un miembro estructural sometido a cargas combinadas superponiendo los esfuerzos y deformaciones causados por cada carga que actúa por separado. Ahora bien la superposición de los esfuerzos y las deformaciones es permisible solo en ciertas condiciones como se explicó en capítulos anteriores. Un requisito es que lo esfuerzos y las deformaciones deben ser funciones lineales de las cargas aplicadas. Esto requiere su vez que el material obedezca la ley de Hooke y que los desplazamientos sean pequeños.
Otro requisito es que no debe existir interacciones entre las diversas cargas; es decir, los esfuerzos y deformaciones causados por una de las cargas no deben verse afectados por la presencia de otras cargas. La mayor parte de las estructuras comunes satisfacen estas dos condiciones, por lo que el uso de la superposición es muy común en el trabajo ingenieril.
1.2. Transformación de esfuerzo en problemas bidimensionales
Ahora se desarrollará el método para transformar los componentes de esfuerzo normal y cortante, en los ejes coordenados x, y, a los ejes coordenados x’, y’, en una forma general, y se expresara como un conjunto de ecuaciones de transformación de esfuerzo.
Todos los componentes de esfuerzo que se muestran en la figura 9-5a mantienen el equilibrio del elemento, y por lo mismo, si se conoce la dirección de τxy sobre una cara del elemento, se define su dirección sobre las otras tres caras. Por consiguiente, la convención de signos anterior también se puede recordar solo si se nota que el esfuerzo normal positivo actúa hacia afuera sobre todas las caras, y
el esfuerzo cortante positivo actúa hacia arriba sobre la cara derecha del elemento.
Dado el estado de esfuerzo plano de la figura 1-18a, se definirá la orientación del plano inclinado sobre el cual se van a determinar los componentes de esfuerzo normal y cortante, usando el ángulo θ. para mostrar en forma adecuada este ángulo, primero es necesario establecer un eje x’ positivo, dirigido hacia afuera, perpendicular o normal al plano, y un plano y’ asociado, dirigido a lo largo del plano, figura 1-18b.
Observe que los conjuntos de eje sin prima y con prima forman sendos conjuntos de ejes coordenados derechos; esto es, que el eje z (o z’) positivo, que apunta hacia afuera. El ángulo θ se mide desde el eje x positivo hacia el eje x’ positivo. Es positivo siempre que siga el enroscamiento de los dedos de la mano derecha, es decir, tenga dirección contraria a la de las manecillas del reloj, como se ve en la figura 1-18b.
Sí se requiere solamente la determinación de p y q, la construcción del círculo de
Mohr puede ser simplificada. No necesita atención la dirección de cortante el cual puede ser colocado en cualquiera de los dos puntos D ' o E 1 hacia arriba o hacia abajo. Todas las cuatro posibilidades de construcción dan el mismo círculo de Mohr y por tanto el mismo valor de esfuerzos principales, fig. 1.
.
1.4. Esfuerzo cortante máximo en problemas bidimensionales
PUNTOS IMPORTANTES
Los esfuerzos principales representan el esfuerzo normal máximo y mínimo en el punto. Cuando se representa el estado de esfuerzo mediante los esfuerzos principales, sobre el elemento no actúa esfuerzo cortante.
1.6. Construcción del círculo de Mohr para la transformación de esfuerzos
1.7. Esfuerzos principales para un estado general de esfuerzos
Los esfuerzos normales máximo y mínimo, llamados esfuerzos principales, pueden encontrarse con la ecuación de transformación para el esfuerzo norma.
. Derivamos con respecto a θ, igualamos a cero y obtenemos una ecuación
de la que podemos encontrar los valores de θ para los que es un máximo o mínimo. La ecuación para la derivada es:
de donde obtenemos:
El subíndice p indica que el ángulo define la orientación de los planos principales; es decir, los planos sobre los que actúan los esfuerzos principales.
Dos valores del ángulo en el intervalo de 0 a 360° se pueden obtener de la ecuación (1-7). Esos valores difieren en 180°, con un valor entre 0 y 180° y el otro entre 180° y 360°; por lo tanto, el ángulo se conocen como los ángulos principales. Para uno de estos ángulos, el esfuerzo normal es un esfuerzo principal máximo; para el otro, es un esfuerzo principal mínimo. Como los ángulos principales difieren en 90°, vemos que los esfuerzos principales ocurren sobre planos mutuamente perpendiculares.
Los esfuerzos principales pueden calcularse sustituyendo cada uno de los valores
de en la primera ecuación de transformación de esfuerzos (ecuación 1.3) y
despejando. Al determinar los esfuerzos principales de esta manera, no solo obtenemos los valores de los esfuerzos principales, sino también vemos que esfuerzo principal se vincula con qué ángulo principal.
También podemos obtener formulas generales para los esfuerzos principales. Con este fin observamos al triangulo rectángulo en la figura 1.20, el cual se construye a partir de la ecuación (1-7). Observe que la hipotenusa del triángulo, obtenida con el teorema de Pitágoras, es
La cantidad R siempre es un número positivo y al igual que los otros dos lados del triángulo, tiene unidades de esfuerzo. Del triángulo obtenemos dos relaciones adicionales:
1.8. Circulo de Mohr para un estado general de esfuerzos
El uso de las ecuaciones para el cálculo de transformación de esfuerzos principales, cortante máximo y esfuerzo promedio, a menudo presentan dificultades por las numerosas combinaciones posibles de los signos de los términos , las dos raíces de la raíz cuadrada y el hecho de que la función tangente inversa produce ángulos en cualquiera de los cuatro cuadrantes también presenta dificultades.
Afortunadamente, existe un auxiliar gráfico llamado círculo de Mohr, para resolver estos problemas. El uso del círculo de Mohr permite entender mejor el caso general de esfuerzo en un punto.
Se puede demostrar que las dos ecuaciones, de los esfuerzos normal y cortante en un punto situado en cualquier dirección pueden combinarse y ordenarse en la forma de la ecuación de un círculo. Presentado por primera vez por Otto Mohr en 1895, el círculo permite un cálculo rápido y exacto de:
1. Los esfuerzos principales máximo y mínimo. 2. El esfuerzo cortante máximo. 3. Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. 4. El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo que actúa en el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. 5. La condición de esfuerzo a cualquier orientación angular del elemento sometido a esfuerzo.
Se puede utilizar el procedimiento descrito a continuación para dibujar el círculo de Mohr. En las figuras 1.26 a 1.28 se ilustra un ejemplo a medida que se van describiendo los pasos. Los pasos 1-7 se muestran en la figura 1.26 con el elemento sometido a esfuerzo inicial requerido para el paso 1 incluido. Para este
ejemplo utilizamos el elemento sometido a esfuerzo inicial generalizado con
de tensión (positivo) , de compresión (negativo) y , actuando en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La apariencia del círculo será diferente en los problemas que implican esfuerzos que actúan en direcciones diferentes. En este ejemplo no se utilizan datos numéricos y los resultados se dan en forma de símbolos para demostrar la naturaleza de las cantidades que integran el círculo de Mohr completo.
Más adelante se presentan varios problemas con valores numéricos reales.
Convenciones de signos:
- Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha.
- Los esfuerzos normales negativos (de compresión) actúan hacia la izquierda.
- Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en sentido de las manecillas del reloj se marcan hacia arriba en el eje τ.
- Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en sentido contrario al de las manecillas del reloj se marcan hacia abajo.
1.9. Aplicación del círculo de Mohr al análisis tridimensional de esfuerzos
La técnica del círculo de Mohr es extensible a un análisis tridimensional de esfuerzos, ofreciendo la posibilidad de analizar estados de esfuerzo más generales. En el caso de un sistema con esfuerzos normales en sus tres ejes como el de la figura, se pueden analizar como si fuera una transformación de esfuerzo.
En términos generales lo que se hace es superponer el círculo de Mohr para cada uno de los giros que corresponde; en este caso, a los ejes a, b y c. Así, por ejemplo, el círculo que se encuentra delimitado por los puntos A y B de la siguiente figura, corresponde al círculo de Mohr cuando el elemento gira respecto al eje c; los círculos delimitados por los puntos CB y CA representan entonces el círculo de Mohr para los giros de los ejes a y b.
Se puede demostrar que cualquier transformación de ejes producirá un esquema como el mostrado en la figura, y el valor de los esfuerzos quedará representado por un punto perteneciente al área de color de la figura. De este análisis generalizado, podremos entonces observar que el esfuerzo cortante máximo será el radio del círculo más grande del gráfico trazado; además, al notar que el diámetro del círculo está determinado por el esfuerzo normal mínimo y máximo, podremos entonces calcular el esfuerzo cortante máximo como:
lo que nos permitirá una evaluación de todas las condiciones de esfuerzo a las que está sometido el elemento, bajo un estado general de esfuerzos en sus tres ejes.
Ejemplo:
Supón el estado de esfuerzo plano de la figura. Se mostrará el procedimiento para calcular los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. Para ello primero trazaremos el círculo de Mohr normal a través de las coordenadas X(6, - 4) y Y (3,4):
