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Tipo: Apuntes
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TRABAJO FIN DE GRADO
Imagen de Elaboración propia
CONTENIDO
La palabra “geometría” procede del griego anti- guo y significa “medida de la tierra”. Las matemáticas nacen en el mismo momento en que se crea el cosmos. El hombre ha estado desde su origen rodeado de geometría. Es obvio que actualmente los órdenes que ob- servamos rutinariamente se rigen por la geometría; las ruedas de nuestro coche trazadas por circunferencias, carreteras con sus límites marcados por dos bordillos pa- ralelos, alcorques cuadrados dónde hay un árbol, losetas rectangulares en las aceras, etc. Pero no siempre hemos vivido con las mismas satisfac- ciones tecnológicas actuales. Propongámonos volver a las raíces y preguntar- nos sobre los principios de las cosas. En la búsqueda de un preludio de la geometría que diera a luz debido a las necesidades de encontrar un orden. Tenemos pruebas catalogadas a miles de años antes de la Era de Cristo de manifestaciones artísticas, como son las pinturas ru- pestres y las esculturas de piedra tallada y esculturas de huesos, donde podemos ver que no eran regidas arbitra- riamente. Es seguro que el Australopitecos (hace 5 a 1, millones de años) clasificaba los objetos que le rodeaban según su forma. Era un método intuitivo y de abstracción que sería inconscientemente el primer acercamiento a la geometría. La arquitectura prehistórica da cuenta de las pri- meras estructuras rudimentarias creadas por el hombre para guarecerse de la intemperie. Sin embargo, en el período Paleolítico (hace 2,5 millones a 10.000 años) el hombre vivía era nómada y vivía en cuevas y no hay pruebas de construcciones creadas por el hombre en este período. INTRODUCCIÓN En el período Mesolítico (hace 10.000 a 9.000 años) el hombre ya sustituía las vasijas de barro por los pesados vasos de piedra. Hay vestigios de chozas construidas de ar- cilla y de cabañas circulares que posteriormente serían cons- truidas de planta rectangular, con divisiones interiores. El período Neolítico (hace 7.000 años) se caracteri- zó por la construcción de grandes monumentos de piedra. A veces eran piedras levantadas a modo de columnas, otras estaban alineadas según ciertos patrones, otras eran en for- ma de enormes osas horizontales apoyadas sobre otras dos verticales, etc. [1] Fuente: thinkstockphotos.es Como tipología de superficie reglada de paraboloide de revolución. Encontramos en el iglú de los esquimales su equivalente en la arquitectura. El iglú es un espacio cubierto con una cúpula de bloques de hielo. Formado con una es- tructura de huesos de ballena y pieles de foca. Los primeros esquimales conocidos los situamos hace unos 5.000 años en Alaska y probablemente ellos evolucionaron a partir de los grupos siberianos que ya existían 10.000 y 15.000 años atrás. Los nómadas eran procedentes del noreste Asiático. Los iglús tienen una larga etapa, han sido construidos du- rante decenas de miles de años por nómadas que recorrían el mundo en busca de alimentos y nuevas herramientas. Aún hoy dia se pueden ver al ser una edificación que garan- tiza la estabilidad al tener la disposición de cúpula. [2] Fuente: houdinis.es Como tipología de superficie reglada de superficie cónica de revolución. Encontramos su equivalente en la ar- quitectura en la tienda cónica. Tienen su origen en las so- ciedades primitivas que al final del Neolítico realizaron las primeras construcciones. El tipi(3) es una tienda cónica, ori- ginalmente hecha de pieles de animales como el bisonte, y palos de madera. El tipi era utilizado por los pueblos indíge- nas nómadas de Estados Unidos de las Grandes Llanuras. [3] Fuente: inoxidables.net
[6] Fuente: study.com La Cúpula de la Roca en Jerusalém, construída entre 687 y 691, está cargada de valor simbólio e histórico. La cúpula se levanta con un diámetro de casi 23 metros sobre un tambor ci- líndrico que se une a una base octogonal, que da composición a la fachada. Representa el paso de la tierra al cielo. [7] [8] Fuentes: biblewalks.com y miviaje.com Como tipología de superficie reglada de superficie ci- líndrica de revolución. El equivalente de esta tipología a la arquitectura es la torre. La torre es una construcción cilíndrica, más alta que ancha y de superficie cilíndrica o poligonal. La torre más antigua conocida es la Torre de Jericó del siglo VIII a.C. Es una estructura de 9 metros de diámetro y corresponde al período Neolítico. La referencia más antigua a la torre la encontramos en el Imperio romano. [9] Fuente: es.123rf.com Sin embargo, el surgimieno de las habitaciones en forma rectangular, estas cubiertas quedaron destindas a la arquitectura funeraria, por ejemplo en los tholos. Un tholos es vinculado a una casa circular neolítica. Los restos documentados de más edad se han encontrado en Khirokitia (Chipre), h. 5800 a. C. Estos describen paredes de tapial y cañizo con barro y presentaban cubiertas de tipo cupular. Estas viviendas se extendieron ampliamente en el Neolítico final también por Creta. En las Cícladas se ha ha- llado un tipo de construcción en tholos, pero para su utiliza- ción como granero. Posteriormente, sobre todo en Chipre y Creta, éstas cabañas circulares se emplearían como tumbas colectivas. Se han hallado unas viviendas parecidas en Los Millares, España. Actualmente, puede visitarse. En Antequera se ubica el tholos de El Romeral como ejem- plo de sepulcro de doble cámara del Calcolítico (3800 a.C). [4] Fuente: depositphotos.com El Tholos de Atenas fue construído en el Ágora de Atenas en el 465 a. C. El Tholos de Delfos, concretamente está localizado en el Santuario de Atenea Pronaia. Esta tipología circular fue construida entre el 390 y el 370 a. C. Tiene 20 columnas dóricas ordenadas en un círculo de 15 metros de diámetro exterior, con 10 columnas de orden corintio en su interior. El Tholos está localizado a unos 800 m del conjunto arqui- tectónico de Delfos. La cúpula es un elemento arquitectónico que utiliza- mospara solucionar el encuentro de una planta circular, cua- drada, poligonal o elíptica. Para ello nos servimos de arcos de perfil semicircular, parabólico u ovoidal, girados respecto a un punto central o pivote. El uso de este nuevo elemento no fue muy común en la An- tigua Grecia, y hasta el Imperio Romano no se empezaron a construir las primeras cúpulas. Los complejos de termas y los palacios romanos fueron las edificaciones que empezaron a utilizar las cúpulas como cubiertas. El imperio bizantino heredó de los romanos la técnica constructiva de las cúpulas. Desarollaron la técnica y evolu- cionaron hasta lograr imponer la estructura sobre un cubo, me- diante el uso de elementos arquitectónicos como la pechina, una bóveda cónica común en la arquitectura romana. El ejem- plo referente del período es Hagia Sophía de Constantinopla, actual Estambul, edificada en el siglo VI durante el reinado del emperador Justiniano I. Cubre un espacio rectangular de 77 por 71 metros. Con un diámetro de 32 metros y una altura de casi 57 metros. [5] Fuente: infocatolica.com
2. GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE LAS SUPERFICIES REGLADAS
En este trabajo estudiamos las superficies regladas como la traza resultante de desplazar una recta mediante un movimiento rígido en el espacio. Comenzamos introduciendo las superficies regladas como aquéllas que consisten en fijar una curva en el espacio que denominamos directriz , y en cada punto de ella, adjuntar una recta que llamamos generatriz. Seguidamente realizamos un estudio de las propiedades básicas de las superficies regladas para lo cual suponemos que las generatrices no son constantes en ningún abierto lo cual no es una condición muy restrictiva. Además resulta que exis- te una directriz única independiente de la parametrización de la superficie y perpendicular a todas las generatrices, llamada línea de estricción, y los puntos que la constituyen, puntos cen- trales. A continuación, probamos la existencia y unicidad de una función escalar que se conoce como parámetro de distribu- ción, que mide el inverso de la velocidad a la que rota el plano tangente conforme avanzamos por una generatriz. Introducimos las superficies desarrollables como su- perficies regladas que, intuitivamente, se pueden aplanar sin deformarlas ni distorsionarlas, es decir, localmente isométricas al plano. Caracterizaremos además las s uperficies desarrolla- bles como las superficies con parámetro de distribución nulo, y tales que el plano tangente es constante a lo largo de cada generatriz. Seguimos con una clasificación de las superficies re- gladas en superficies de revolución, y, en base al concepto de curvatura de Gauss, superficies con curvatura de Gauss nula, entre las que se encuentran las desarrollables. Definimos la curvatura media y clasificamos las super- ficies regladas con curvatura media nula, también llamadas su- perficies regladas minimales. Únicamente el plano y el helicoide forman parte de esta categoría. Finalmente, clasificamos las superficies doblemente re- gladas , es decir, aquéllas tales que por cada punto pasan dos rec- tas distintas. Como por ejemplo, el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico y el plano son las únicas existentes. 2.1 INTRODUCCIÓN [01] L’Oceanografic (Valencia, España) Intuitivamente las superficies se suelen presentar como subconjuntos bidimensionales del espacio euclídeo que son, lo- calmente, semejantes al plano y suficientemente suaves. A la familia de parches locales semejantes con el plano la llamamos una parametrización de la superficie, y nos permite identificar los puntos de la superficie con pares de coordenadas cartesianas, para así reducir el estudio analítico de la superficie. El par (X,U ) es una parametrización o carta , y la co- lección de tales cartas (bajo ciertas condiciones de compatibili- dad) es un atlas. La inyectividad de la diferencial asegura la existencia de un plano tangente en todo punto de la superficie. Algunos de los ejemplos más comunes son los planos, las cuádricas, los helicoides, los grafos de funciones diferencia- bles, o las preimágenes de valores regulares mediante funciones diferenciables de tres variables (superficies de nivel). Se puede demostrar que la traza de una superficie para- metrizada regular es, localmente, una superficie regular. Intuitivamente, las superficies regladas son superficies regulares en las que por cada punto pasa, al menos, una recta completamente contenida en la superficie. De este modo, tiene sentido construir la superficie fijan- do el camino que sigue tal recta y su dirección en cada momento, que puede interpretarse como el movimiento rígido de la recta generatriz. La traza de este movimiento será la superficie. Por tanto, fijamos una curva parametrizada en el espacio
[04] Paraboloide con a = b = 1 Ejemplo de paraboloide hiperbólico [03] Hiperboloide de revolución con a = b = c = 1 Ejemplo de hiperboloide de una hoja [05] Ejemplo de helicoide
2.3 PROPIEDADES DE LAS SUPERFICIES REGLA- DAS [06] James S. McDonnell Planetarium
3. LA GEOMETRÍA EN LA OBRA DE TRES GRANDES ARQUITECTOS
El objetivo principal de este trabajo es mostrar el acercamiento de la Geometría Diferencial de Superficies Regladas a la Arquitectura Moderna. El uso de formas geométricas a base de estas superficies ha sido habitual a lo largo de la historia de la Arquitectura y arquitectos destacados del s. XX como Le Corbusier, Félix Candela, Frank Gehry, Norman Foster o Santiago Calatrava las han usado ampliamente en sus proyectos. Como objeto de estudio de este trabajo de investigación ubicamos tres grandes maestros de la ingenieria y la arqui- tectura que han trabajado a lo largo de sus vidas profundi- zando en el campo de las matemáticas. Vamos a mostrar la evolución y el desarrollo de las obras de Antonio Gaudí, Félix Candela y Santiago Cala- trava. Tres influyentes arquitectos separados en el tiempo que han proyectado la mayor parte de sus obras con la aplicación de las superficies regladas. La obra de Gaudí forma un apartado fundamental de nuestro patrimonio arquitectónico nacional e internacionl. Su uso magistral de las técnicas tradicionales constructivas y las originales soluciones estructurales que consiguió forman parte de unas de las páginas más brillantes de la arquitectura del siglo XX. La genialidad de este arquitecto radica en el resultado de un análisis geométrico y constructivo, fruto de una vida de investi- gación sin precedentes en la historia de la arquitectura. Por otro lado, Félix Candela, uno de los arquitectos que mejor ejemplifica el uso del paraboloide hiperbólico en la arquitectura. La filosofía constructiva de la eficiencia en el trabajo y la economía, al igual que su motiva- ción estética, ha hecho que se le haya reconocido como “artista estructural”. Candela fue invitado a trabajar por Calatrava en el Pro- yecto de la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia, que se inauguró en 1998 y fue de las más importantes intervenciones arquitectónicas llevadas a cabo allí. Candela se encargó del proyecto “L Oceangrafic” un parque temático con acuario, que se encuentra integrado junto al resto de obras de Calatrava. Como último caso de estudio, el arquitecto e ingenie- ro Santiago Calatrava, quien se sirve de sus conocimientos, con cierto aire futurista y de innovación, en sus trabajos. Doctorado en Ciencias Técnicas con la tesis Acerca de la plegabilidad de las estructuras, ha desarrollado su carrera desarrollando proyectos de gran complejidad. Su carrera y sus proyectos alrededor de todo el mundo le han otorgado un reconocido prestigio internacional. A través de las proyectos de estos grandes maestros, crono- lógicamente, observaremos la influencia de la geometría en sus carreras. ANTONIO GAUDÍ, FÉLIX CANDELA Y SANTIAGO CALATRAVA
Antonio Gaudí, máximo representante del mo- dernismo y uno de los pioneros de las vanguardias ar- tísticas del s. XX, nació el 25 de Junio de 1852. De su padre, que fue calderero en Riudoms, heredó la tradición artesanal. Desde pequeño, Gaudí padeció un problema reumático que le impidió ir a la escuela y jugar con los niños de su edad, convirtiéndose en un gran observador de la na- turaleza, de la que le atraían las formas, los colores y la geometría. A los diecisiete, se traslada a Barcelona para entrar en la escuela de Arquitectura. Dedicó su vida plenamente a la investigación de nuevas formas y nuevas técnicas. Su originalidad y creatividad, junto con su capa- cidad innovadora, han convertido a Gaudí en una figura universal de la arquitectura. Para Gaudí una obra no estaba terminada hasta el momento en que tanto forma, como decorado no se encontraban en perfecto complemento. Partiendo de este punto, la figura de Antonio Gaudí se va a caracterizar por su binomio arquitectura/naturaleza. Sin duda alguna Antoni Gaudí encontraba su inspiración en los elementos vegetales y animales de la propia natu- raleza. Su modo de entender y comprender el arte se ca- racterizó por la fuerte creencia en las leyes de naturaleza Entre 1900 y 1910, el arquitecto experimentó su etapa de máximo esplendor profesional, abordando el proyecto actualmente inacabado de la Sagrada Familia, su obra maestra. ANTONIO GAUDÍ La casa se ideó como residencia de verano. La utiliza- ción de la línea curva tiene gran protagonismo. Vemos en la cubierta, un juego de formas geométricas con las chimeneas y las formas cilíndricas de la entrada principal en la que se sitúa el pórtico exento, de piedra, rematado por la torre cilíndrica, que tiene apariencia de minarete. Sobre él se asienta un templete formado por cuatro columnas monolíticas de hierro de inspiración románica. Podemos encontrar cilindros la Torre Principal de El capricho [16] Fuente: David Cardelus. designboom.com EL CAPRICHO (COMILLAS, CANTABRIA - 1883-1885) En 1884, Eusebi Güell encarga a Gaudí el pri- mer proyecto realizado de lo que acabaría siendo una lar- ga relación profesional y de amistad. Quería hacer una ampliación en la finca familiar y le enarga el diseño del muro y de las puertas de acceso a la propiedad. Entre 1884 y 1887 trabajó rediseñando el jardín y levantando los dos pabellones de la entrada, destinados en su origen a la casa del portero y las caballerizas. Las casas de la Finca Güell, con base de piedra, muestran paredes y arcos parabólicos de ladrillo y deco- raciones con piezas de cerámica relucientes que dibujan formas geométricas. A un lado de la puerta, una torre co- ronada con fantasías vegetales luce un medallón con la inicial del nombre del propietario de los terrenos. [Art18] También encontramos cilindros en la Finca Güell. [17] Fuente: es.wikiarquitectura.com/edificio/finca-gueell/ FINCA GÜELL (BARCELONA - 1884-1887) Fuente: Elaboración propia
Un helicoide es una superficie generada por el mo- vimiento de una recta que se mueve paralela a un plano y se apoya en una recta perpendicular a éste. En La Sagrada Familia encontramos escaleras de ca- racol espectaculares hechas de piedra. Estas escaleras situa- das en las torres de la basílica son helicoidales. [18] Fuente: i.pinimg.c LA SAGRADA FAMILIA (BARCELONA - 1886-ACTUALIDAD) Es la obra más conocida de Antoni Gaudí. La Sa- grada Familia forma parte de la historia de Cataluña y de España. La monumentalidad de la obra, fruto del ingenio y la experiencia de Gaudí, quien abordó con 31 años la dirección de este proyecto, ha hecho que sea un icono mundial de la arquitectura. Así mismo, se hace evidente la grandeza de este arquitecto, quien por su genialidad, deja grabado su nombre en la historia. Antonio Gaudí morirá tempranamente dejando inacabada su obra maestra. La Sagrada Familia es un templo basilical con planta en forma de cruz latina. Posee cinco naves centra- les, el transepto de otras tres y ábside. Cuando esté acaba- do, el templo constará de dieciocho torres, alcanzando este una altura máxima de 172 metros de altura. Las cargas se desplazan en sentido vertical, por ello el uso de pilares inclinados, para contrarrestar los des- plazamientos laterales. “Hiperboloides, paraboloides hiperbólicos, helicoides y conoides enlazan columnas con las bóvedas en un juego contrapuesto de estrellas, de vacíos y de llenos, que jue- gan con la luz que se desliza en una extrordinaria com- posición jamás imaginada. Las paredes de cierre de las naves son ligeras; son unos ventanales sin contrafuertes, que convierten en estructura activa las gradas para 1. cantores de las naves laterales. Unos campanarios de en- volvente parabólica se encienden con el color del mosaico veneciano de sus pináculos.” Jordi Bonet i Armengol. Con paraboloides Gaudí creó superficies de enlace en las bóvedas y las cubiertas y las columnas de la fachada de la Pasión, así como elementos de más amplitud como las torres y las sacris- tías. Para el arquitecto representan la Santa Trinidad. [19] Fuente: http://baulitoadelrte.blogspot.com La forma catenaria es una curva ideal que representa físicamente la curva generada por una cadena, o hilo cuando se cuelga de dos puntos y sólo soporta su propio peso. Gaudí se inspira en ellas para la fachada de La Pasión. [20] Fuente: langues.education/la-sagrada-familia/ Fuente: Elaboración propia
En el Palau Güell encontramos formas conoida- les en los capiteles de las columnas interiores de los co- medores, en el soporte del sol del panel que simboliza los rayos solares y, por descontado, en las chimeneas de la azotea. [24] Fuente: pankchophoto.com/2017/08/11/palauguell/ El cono es una superficie generada por una recta que se mueve apoyándose en una curva y en una recta dadas y conservándose paralela a un plano. Podemos describirlo fácilmente mediante rectas. Si tenemos una elipse en el espacio y un punto V que no está en el plano de la elipse, la superficie formada por (todos los puntos de) las rectas que pasan por V y por un punto de la elipse es un cono con vértice V. PALAU GÜELL (BARCELONA - 1886-1890) Encontramos torres conoidales en el Palacio Episcopal de Astorga tenemos torres conoidales siempre rematadas con paneles artísticos de hierro. En este proyecto Gaudí vuelve a utilizar el cilin- dro, también haciendo mención al anterior tipo, con las torres cilíndricas de las esquinas. El diseño de Gaudí nos presenta un edificio de planta central que se encuentra superpuesto en un cua- drado y una cruz. Su apariencia de castillo medieval nos traslada una vez más a la influencia que Gaudí recibió en sus primeros proyectos de la arquitectura gótica. [25] Palacio Episcopal de Astorga PALACIO EPISCOPAL DE ASTORGA (BARCELONA - 1889-1893) Cuando Gaudí proyecta esta obra, es un arquitec- to consagrado con 52 años. Se inspira en las formas ani- males, en especial del océano. Lleva a cabo su lenguaje propio basado en la geometría a través de un trabajo con curvas que recuerdan partes del esqueleto humano. La fachada mantiene una suave ondulación verti- cal. Los balcones de hierro forjado, cargados de simbo- lismo, son elementos muy notorios. Sitúa una moldura helicoidal en el encuentro con uno de los edificios preexistentes para no entrar en conflicto. En la cubierta encontramos una simbología con un dra- gón sin cabeza. Éste no es más que la cubierta de los pisos de buhardilla sustentados sobre arcos parabólicos. [26] Casa Batlló en el centro y [27] Balcones CASA BATLLÓ (BARCELONA - 1904-1906)
Tras adquirir 15 hectáreas, el político Eusebi Güell encarga a Gaudí el diseño de una urbanización de lujo en las afueras de Barcelona. La urbanización debía tomar como modelo las ciudades-jardín inglesas, muy importantes en el momento. [28] Parc Güell Una impresionante estructura ascendente forma- da por una escalinata nos lleva a un espacio que serviría de plaza central para los distintos vecinos de la urbaniza- ción. A un lado de la escalinata Gaudí diseña una cueva de forma circular que se sostiene en el centro por una columna de forma cónica. Utiliza arcos catenarios para crear los pasadizos del Parc Güell. Pasadizos del Parc Güell. Fuente. 123rf.com PARC GÜELL (BARCELONA - 1900-1914) Observamos paraboloides hiperbólicos en la cu- bierta de la casa de la entrada del Parc Güell, donde apa- rece el paraboloide hiperbólico. [29] Cubierta del pabellón de entrada del Parc Güell. Encontramos más paraboloides hiperbólicos en en los soportales de la Cripta de la Colonia Güell [30] Cripta de la Colonia Güell. El hiperboloide hiperbólico es la superficie reglada for- mada por la rotación de una recta (generatriz) alrededor de otra (directriz) que no corta y que no es paralela a ella. Se puede encontrar el hiperboloide de revolución en la columna central que sostiene el cobertizo para ca- rruajes en el Park Güell [31] Entrada de carruajes del Parc Güell. Fuente: Elaboración propia Fuente: Elaboración propia
