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Examen Final Pregrado 2022-
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Indicaciones:
La duración es de 1h 40 min. La evaluación consta de 4 preguntas No se permite el uso de calculadora científica ni apuntes. Durante el desarrollo del examen, está prohibido hacer uso de aparatos electrónicos. Cualquier respuesta sin justificación o usando métodos o definiciones que no son parte del curso y/o no son los métodos pedidos en el problema específico, no se tomará en consideración y el puntaje en dicha pregunta será cero.
Examen Final 2022-
Problema 1 (5 puntos)
La base rectangular de un paralelepípedo tiene sus 4 vértices sobre la elipse x^2 + 4y^2 = 4. Uno de estos vértices es P (x, y) y está en el primer cuadrante. Si la altura de este sólido es igual a la absica de P , determine su máximo volumen. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange (No se corregirá si usa otro método).
Problema 2 (5 puntos)
Utilizando Integrales Dobles, halle el área limitada entre las curvas: y = 2 − x^2 , y = x por encima del eje x. Dibujar la región, indicando las intersecciones y hallar su área. (Si no usa integrales dobles, no se calificará la pregunta). Nota: El problema es en 2D.
Problema 3 (5 puntos)
Se tiene una semiesfera z =
p 16 − x^2 − y^2 y un cilindro x^2 + y^2 = 1. Halle el volumen debajo de la semiesfera pero exterior al cilindro.
a) Grafica la región donde se realizará la integral e indica los límites de integración. b) Plantea la doble integral y resuelve usando coordenadas polares
Problema 4 (5 puntos)
Se tiene la siguiente serie X∞
n=
(−1)n(x − 1)n n 2 n
a) Determinar el radio y el intervalo de convergencia. b) Demostrar la convergencia en los extremos.
Serie p La serie p X∞
n=
np converge si p > 1 y diverge para p ≤ 1.
Criterio de la comparación Sean
P
an,
P
bn y
P
cn series con términos no negativos. Suponga que para algún entero N bn ≤ an ≤ cn, para todo n > N
a) Si
P
cn converge, entonces
P
an también converge b) si
P
bn diverge, entonces
P
an también diverge.
Serie alternante Si la serie alternante (^) ∞ X
n=
(−1)n−^1 bn = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 +...
cumple con I. bn > 0 para todo n II. bn+1 ≤ bn para todo n III. l´ımn→∞ bn = 0 entonces la serie es convergente.
Criterio de la razón
I. Si l´ımn→∞ | an+ an
| = L < 1 , entonces la serie
P
an es absolutamente convergente y por lo tanto converge. II. Si l´ımn→∞ | an+ an
| = L > 1 , entonces la serie
P
an es divergente.
III. Si l´ımn→∞ | an+ an
| = 1, entonces la prueba no es concluyente; es decir, no se puede obtener conclu-
sión alguna sobre la convergencia o divergencia de la serie.
Prueba de la raíz
I. Si l´ımn→∞ n
p |an| = L < 1 , entonces la serie
P
an es absolutamente convergente y por lo tanto converge. II. Si l´ımn→∞ n
p |an| = L > 1 , entonces la serie
P
an es divergente. III. Si l´ımn→∞ n
p |an| = 1, entonces la prueba no es concluyente; es decir, no se puede obtener conclu- sión alguna sobre la convergencia o divergencia de la serie.
Radio de Convergencia
Para una serie de potencias general centrada en a de la forma
X^ ∞
n=
cn(x − a)n^ = c 0 + c 1 (x − a) + c 2 (x − a)^2 +...
donde x es una variable y cn son los coeficientes de la serie, se cumple que solo hay 3 posibilidades
- La serie converge solo cuando x = a entonces R = 0
- La serie converge para todo x, entonces R = ∞
- Hay un número positivo R tal que la serie converge si |x − a| < R y diverge si |x − a| > R
donde R es llamado radio de convergencia.
