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31 de enero de 2022.
Tercer examen parcial de Mec´anica Cu´antica II
En todos los problemas justifique sus respuestas.
Entregar al ayudante a m´as tardar a las 12:00 pm.
Prender la c´amara en zoom.
Pueden consultar las notas del curso.
1. 5 puntos. La correcci´on en los niveles de energ´ıa del ´atomo de hidr´ogeno a primer orden en teor´ıa de perturba-
ciones debida debido a la estructura fina, que incluye la correcci´on relativista y la interacci´on esp´ın–´orbita, est´a
dada por
E(1)
ef =E2
n
2m c23−4n
j+ 1/2,(1)
donde Enson las energ´ıas del ´atomo de hidr´ogeno cuya expresi´on es
En=−m
2~2e2
4π ǫ021
n2, n ∈N.(2)
Exprese EnyE(1)
ef en t´erminos de la constante de estructura fina αdefinida por
α≡e2
4π ǫ0~c,(3)
y la energ´ıa en reposo de los electrones dada por m c2.
2. 5 puntos. En f´ısica nuclear a veces se toma como modelo de pozo atractivo un oscilador arm´onico truncado:
V(x) = (1
2m ω2(x2−a2),|x| ≤ a,
0,|x|> a. (4)
Utilice el m´etodo variacional para estimar la energ´ıa del estado base utilizando la siguiente funci´on de prueba,
ψ(x) = ((b2−x2)2,|x| ≤ b,
0,|x| ≥ b, (5)
considerando a b2como el para ´metro variacional.
Las siguientes integrales pueden ser de utilidad:
Zb
−b
dx (b2−x2)4=256
315 b9;Zb
−b
dx (b2−x2)2d2
dx2(b2−x2)2=−256
105 b7.(6)