UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS DIVISION MATEMATICA
PRIMER PARCIAL VIRTUAL ANALISIS MATEMATICO III 6-10-21 2
APELLIDO Y NOMBRE .........................................LEGAJO.............
Ejercicio 1
El einstenio 253 decae con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga. Determine la vida
media 𝒕𝒎 si este material pierde un cuarto de su masa en 8.31 días.
Llame 𝑟(𝑡) a la cantidad del material presente en el tiempo 𝑡
Ejercicio 2
Considere un tanque usado en ciertos experimentos de hidrodinámica. Después de realizar el
experimento, el tanque contiene 300 litros de una solución donde se han disuelto de 300 gramos
de colorante, es decir una solución con una concentración de 1 g/litro. A fin de preparar el
siguiente experimento, el tanque debe lavarse con agua limpia que fluye a razón de 3 litros/min.
Y la solución bien revuelta sale a la misma razón.
a) Muestre los datos en un esquema. Escriba el problema de valor inicial que modela del
fenómeno. Análisis cualitativo del modelo
b) Halle el tiempo que transcurre antes de que la concentración de colorante en el tanque
alcance el 1% de si valor original.
Ejercicio 3
La Ecuación diferencial que puede modelar el volumen de una gota de agua es
𝑑𝑣
𝑑𝑡 =√9𝜋
3 𝒗𝟐
𝟑
a) ¿Por qué no satisface, en todo el plano, las hipótesis del teorema de unicidad?
b) Escriba, de ser posible, un problema de valor inicial para el cual se pueda asegurar solución
única. Justifique la respuesta
c) Resuelva analíticamente el PVI con esa condición inicial elegida
Ejercicio 4
Suponga que se desea modelar una población con una ecuación diferencial autónoma de la
forma 𝑑𝑃
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑃), donde 𝑃(𝑡) es la población en el tiempo 𝑡.
Se han efectuado experimentos que dan la siguiente información:
𝑓(𝑃) verifica las hipótesis del teorema de existencia y unicidad
Los únicos puntos de equilibrio en la población son 𝑷 = 𝟎 𝒚 𝑷 = 𝟔𝟎
Si la población inicial es 100, la población crece
Si la población inicial es 30, la población decrece
a) Esboce la línea de fase para valores de 𝑃 ≥ 0 teniendo en cuenta la información experimental
anterior y haga un bosquejo de la función 𝑓(𝑃), dé además una fórmula para la función 𝑓(𝑃)
b) Haga un bosquejo del comportamiento, a largo plazo, para algunas soluciones 𝑃(𝑡) con
valores de 𝑃0 < 40, tenga en cuenta el estudio realizado en el inciso (a).
