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Conceptos básicos de matemáticas, como aproximaciones y expansiones, que son fundamentales para los capítulos siguientes. Se introducen algunas fórmulas y propiedades trigonométricas importantes, así como la notación de la suma sigma. También se aborda la evaluación de límites y la resolución de problemas relacionados con la cinemática en una, dos y tres dimensiones. Además, se explican las leyes de newton, el trabajo y la energía, y se analiza la rotación de cuerpos rígidos. El documento cubre temas como gravitación, movimiento planetario y presión en fluidos, proporcionando soluciones a diversos problemas planteados. En general, este material constituye una base sólida para el estudio de la física y las matemáticas avanzadas.
Tipo: Apuntes
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Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. Las Palmeras 3425, Nu˜˜ noa. Casilla 653, Correo 1, Santiago fono: 562 678 7276 fax: 562 271 2973 e-mail: secretaria@fisica.ciencias.uchile.cl
2 Expansiones y Trigonometr´ıa
Sin embargo, si α no es nulo o un entero positivo, hay una diferencia importante entre las dos expresiones: la expansi´on (1.1), con n entero no negativo siempre tiene una cantidad finita de t´erminos y se puede usar para cualquier valor de x; la serie (1.2), por otra parte, posee infinitos t´erminos (sumandos) y s´olo se puede usar (en el lenguaje t´ecnico, “converge”) si |x| < 1.
Ejemplos:
(1 − x)−^1 =
1 − x
= 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + · · · (1.3)
Si bien el lado izquierdo est´a bien definido para cualquier valor de x, el lado derecho s´olo da un resultado finito si |x| < 1. Para x = 1/2 el lado izquierdo es igual a 2, mientras que el lado derecho da la serie
que, obviamente, al sumarla, tambi´en da 2. Para x = 1/10 el lado izquierdo es igual a 10/9, mientras que el lado derecho da la serie 1 + 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 +... = 1, 1111.... que es el desarrollo decimal de 10/9.
SN = 1 + x + x^2 + x^3 + · · · + xN^.
Para ello restemos de esta serie la misma serie, pero multiplicada por x, es decir:
SN = 1 + x + x^2 + x^3 + · · · + xN x SN = x + x^2 + x^3 + · · · + xN^ + xN^ +^.
Al restar, al lado izquierdo queda (1 − x) · SN , mientras que al lado derecho queda 1 − xN^ +1, o sea, (1 − x) · SN = 1 − xN^ +^. Despejando SN se obtiene SN = 1 − xN^ + 1 − x
Si hacemos N cada vez m´as grande, es decir lo hacemos tender a infinito, en el lado derecho se tendr´a algo finito s´olo si |x| < 1. En efecto, en ese caso l´ımN →∞ xN^ +1^ = 0 y entonces l´ım N →∞ SN = 1 + x + x^2 + x^3 + · · · =
1 − x
resultado consistente con el del ejemplo 1.
1.1 Expansiones y series 3
(1 + x)^1 /^2 =
1 + x = 1 +
x −
x^2 +
x^3 − · · ·
La raz´on por la cual esta expresi´on es ´util es que con frecuencia se requerir´a evaluar la ra´ız de (1 + x) para situaciones en que x es un n´umero muy peque˜no. En ese caso los t´erminos sucesivos de la serie son cada vez m´as peque˜nos y es posible obtener un resultado satisfactorio usando s´olo los dos o tres primeros t´erminos del lado derecho. La tabla adjunta muestra un peque˜no an´alisis para x = 0,1:
lado izquierdo lado derecho # de t´erminos error 1,04880884817 1,0 1 4,9 % 1,05 2 0,11 % 1,04875 3 0,0059 % 1,0488125 4 0,00037 %
Ejercicio: Verifique que para valores de x m´as peque˜nos, la convergencia del resultado de la serie truncada hacia el resultado exacto es aun m´as r´apida.
(1 + x)α^ ' 1 + α x
(o sea, estamos despreciando todos los t´erminos de la serie excepto los dos primeros). Usando esta aproximaci´on se encuentra que (para x muy peque˜no)
(1 + x)α^ − 1 x
1 + α x − 1 x
α x x = α.
Verifique num´ericamente este resultado usando una calculadora.
Algunas aproximaciones que se obtienen a partir de la ecuaci´on (1.2) para |x| peque˜no, que se usar´an con frecuencia, y conviene tener siempre presentes, son:
(1 + x)α^ ' 1 + α x , (1.4)
1 + x ' 1 − x , (1.5)
1 1 − x ' 1 + x , (1.6)
√ 1 + x ' 1 + x 2
1.2 Elementos de trigonometr´ıa 5
Es ´util definir tambi´en la funci´on tangente:
tan α ≡
longitud del lado opuesto longitud del lado adyacente
sin α cos α
Evaluemos sin^2 α + cos^2 α. Se tiene:
cos^2 α + sin^2 α =
Pero, de acuerdo al teorema de Pit´agoras, (AC)^2 + (BC)^2 = (AB)^2 , luego
cos^2 α + sin^2 α = 1.
Dos relaciones trigonom´etricas importantes son:
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α (1.8)
y
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. (1.9)
Figura 1.
Demostremos al menos una de ellas; la primera. Para ello consideremos la figura 1.2. Par- tiendo del tri´angulo 4 (ABC), prolongamos el lado BC y graficamos las alturas CD y AE. Note que el ´angulo <) ACE resulta ser igual a α+β. El ´area de un tri´angulo es la mitad del producto de su base por la altura. De la figura 1.2, para el ´area del 4 (ABC), obtenemos
2 · Area [´ 4 (ABC)] = BC · EA = AB · CD.
6 Expansiones y Trigonometr´ıa
En la ´ultima ecuaci´on hemos escrito el producto “base por altura” del tri´angulo ∆(ABC) de dos maneras distintas: en la primera igualdad, BC es la base y EA la altura, mientras que en la segunda, AB es la base y CD la altura. Partiendo de la ´ultima igualdad, dividiendo ambos lados por AC y CB, se obtiene
BC BC
o sea,
Usando las definiciones de seno y coseno, se deduce finalmente que
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α.
Como casos particulares de las ecuaciones (1.8) y (1.9), se encuentra
cos(2α) = cos^2 α − sin^2 α (1.10)
y
sin(2α) = 2 cos α sin α. (1.11)
Existen muchas identidades trigonom´etricas de este tipo que resultan ser ´utiles para lle- var adelante diferentes tipos de c´alculos. Dejamos que el lector demuestre las siguientes identidades:
sin α ± sin β = 2 sin
α ± β 2
cos
α ∓ β 2
cos α + cos β = 2 cos
α + β 2
cos
α − β 2
cos α − cos β = −2 sin
α + β 2
sin
α − β 2
tan 2θ =
2 tan θ 1 − tan^2 θ
La definici´on del seno y coseno que hemos dado es v´alida para ´angulos α entre 0 y 90 grados. Para definir estas funciones para otros ´angulos es conveniente considerar un c´ırculo de radio R = 1 centrado en el origen (ver figura 1.3). Por convenci´on, los ´angulos se miden desde el eje ˆx en el sentido contrario a los punteros del reloj.
8 Expansiones y Trigonometr´ıa
figura 1.3). De acuerdo a la definici´on, un ´angulo de 360◦, o sea, la circunferencia completa, corresponder´a a un ´angulo igual a 2π rad. El ´angulo recto es igual a π/2. No es dif´ıcil verificar que
1 rad =
2 π
Para llegar al punto P (figura 1.3) originalmente se recorri´o un ´angulo β desde el eje ˆx positivo. Al continuar y dar una vuelta completa para volver al punto P , habremos recorrido desde el eje ˆx un ´angulo 2π + β. Sucesivas rotaciones nos llevar´an nuevamente al punto P , habi´endose recorrido ´angulos 4π + β, 6π + β, etc. Cada vez que, desde el eje ˆx positivo, recorremos un ´angulo β m´as un m´ultiplo de 2π, estaremos en el punto P. Se trata de un movimiento que se repite y se dice que es peri´odico en el ´angulo β, con per´ıodo igual a 2π. Se tiene (ver figura 1.4) que, para cualquier ´angulo β,
cos(β + n 2 π) = cos β y
sin(β + n 2 π) = sin β ,
donde n es un entero. Note que, cuando el ´angulo se expresa en radianes, se cumplen las siguientes relaciones:
sin(π − θ) = sin θ sin(π/ 2 − θ) = cos θ cos(π − θ) = − cos θ cos(π/ 2 − θ) = sin θ cos(θ + π/2) = − sin θ sin(θ + π/2) = cos θ.
Cuando el argumento (en radianes) de una funci´on trigonom´etrica es muy peque˜no, ´esta puede aproximarse con una expresi´on simple. En efecto, consideremos el tri´angulo rect´angu- lo ABC mostrado en la figura 1.5. A medida que θ decrece, el cateto opuesto a se hace cada vez m´as parecido al arco de c´ırculo s con centro en A.
Figura 1.
1.2 Elementos de trigonometr´ıa 9
Usando la definici´on de la funci´on seno se tiene
sin θ = a c
s c
Pero el cuociente s/c es precisamente el ´angulo α en radianes, luego, para ´angulos peque˜nos (y ´estos expresados en radianes)
sin α ' α. (1.16)
Sabemos que cos^2 α = 1 − sin^2 α.
Luego, para ´angulos peque˜nos
cos^2 α ' 1 − α^2 ,
o sea,
cos α '
1 − α^2 ' 1 −
α^2. (1.17)
Ejemplo:
Eval´ue, usando una calculadora, las funciones sin θ y cos θ para θ = 5◦. Compare los valores obtenidos con aqu´ellos que resultan de usar las expresiones aproximadas escritas m´as arriba. Ingresando el valor θ = 5◦^ = 5 · 2 π/360 rad en una calculadora, obtenemos:
sin 5◦^ = 0, 0871557 y
cos 5◦^ = 0, 9961947.
Si ahora hacemos uso de las expresiones aproximadas, obtenemos
sin 5◦^ '
5 · 2 π 360
y
cos 5◦^ = 1 −
5 · 2 π 360
Note que los valores aproximados difieren poco de los obtenidos con la calculadora. Para el coseno el error es inferior al 0,003 %.
Cabe destacar que las funciones sin θ y cos θ pueden ser expresadas como una suma infinita de t´erminos proporcionales a diferentes potencias del ´angulo θ (expresado en radianes):
cos θ = 1 −
θ^2 2!
θ^4 4!
θ^6 6!
y
sin θ = θ − θ^3 3!
θ^5 5!
θ^7 7!
1.3 Problemas 11
funciones trigonom´etricas inversas, s´olo dan la soluci´on que est´a en el intervalo [0, π] para el arcocoseno y el intervalo [−π/ 2 , +π/2] para la funci´on arcoseno y la funci´on arcotangente. En ocasiones la soluci´on entregada por la calculadora no es la f´ısicamente aceptable, en cuyo caso uno debe preocuparse de encontrar la soluci´on correcta (en el lenguaje t´ecnico: elegir la rama adecuada). Algo similar ocurre cuando uno extrae ra´ıces: puede ocurrir que la ra´ız de 9 de inter´es f´ısico sea −3 y no la soluci´on que entrega la calculadora (que es +3).
Para la funci´on arcocoseno la calculadora, al evaluar α = arccos(x) con |x| ≤ 1, siempre dar´a la respuesta α que se ubica en el intervalo [0, π] (si est´a usando la calculadora en radianes) o en el intervalo [0, 180 ◦] si la calculadora est´a calculando en grados.
Ejercicio: Sea |x| ≤ 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los ´angulos γ (en radianes) para los cuales cos γ = x. Suponga adem´as que hemos, de alguna manera, encontrado una soluci´on γ = α 0 (por ejemplo, el ´angulo que muestra la calculadora al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las dem´as soluciones a nuestro problema vienen dadas por γ = α 0 + j · 2 π y γ = −α 0 + j · 2 π, con j cualquier valor entero.
Para la funci´on arcoseno la calculadora, al evaluar α = arcsin(x) con |x| ≤ 1, siempre dar´a la respuesta α que se ubica en el intervalo [−π/ 2 , π/2] (si est´a usando la calculadora en radianes) o en el intervalo [− 90 ◦, +90◦] si la calculadora est´a calculando en grados.
Ejercicio: Sea |x| ≤ 1 cierto valor dado y suponga que deseamos encontrar todos los ´angulos γ (en radianes) para los cuales sin γ = x. Suponga adem´as que hemos, de alguna manera, encontrado una soluci´on γ = α 0 (por ejemplo, el ´angulo que muestra la calculadora al evaluar arccos(x) ). Demuestre que todas las dem´as soluciones a nuestro problema vienen dadas por γ = α 0 + j · 2 π y γ = (π − α 0 ) + j · 2 π, con j cualquier valor entero.
Por ser frecuentemente fuente de errores reiteramos lo dicho unos p´arrafos antes: al evaluar funciones trigonom´etricas inversas la soluci´on entregada por la calculadora no es siempre la f´ısicamente aceptable. El alumno debe asegurarse de que la respuesta mostrada por la calculadora efectivamente resuelve completamente su problema, en caso contrario, debe analizar si alguna de las otras soluciones, que se obtuvieron en los dos ejercicios anteriores, sirve.
a) S^ =^
n = 1, 2 m = 1, 2 , 3
nm
b) S^ =^
j=− 3 ,..., 8
12 Expansiones y Trigonometr´ıa
c) (^) S =
j=
j
d) S =
i, j = 1,... , 4 i > j
|i − j|
Respuestas: a) 17 , b) 12 , c) N (N + 1)/ 2 , d) 13/
Eval´ue (^) f (x) = l´ım ∆→ 0
[ (x + ∆)β^ − xβ^ ].
Respuesta: f (x) = β xβ−^1.
para |ε| 1.
Respuesta: − sin x.
a) f 0 (t) = 1/(1 − t) b) f 1 (t) = 1 + t c) f 2 (t) = 1 + t + t^2 d ) f 3 (t) = 1 + t + t^2 + t^3
Observe que, de acuerdo a la ecuaci´on (1.3), f 1 (t), f 2 (t) y f 3 (t) son sucesivamente aproximaciones cada vez mejores (para t peque˜no) de la funci´on f 0 (t).
(a) sin α =
tan α √ 1 + tan^2 α
14 Expansiones y Trigonometr´ıa
c) f 2 (t) = t − t^3 /3! d ) f 3 (t) = t − t^3 /3! + t^5 /5!
Aqu´ı nuevamente f 1 (t), f 2 (t) y f 3 (t) son sucesivamente aproximaciones cada vez mejores (para t peque˜no) de la funci´on f 0 (t).
vaire vvidrio
donde vaire y vvidrio corresponden a la velocidad de la luz en el aire y el vidrio, respectivamente. (Para el vidrio com´un se tiene vaire/vvidrio ' 1 ,5 .)
Figura 1.
a) Supongamos que un haz de luz incide sobre un vidrio de 2 cm de espesor, con un ´angulo de incidencia α = 40◦. Encuentre la distancia d por la cual el haz de luz emergente se encontrar´a paralelamente desplazado respecto al haz incidente (ver figura 1.10). b) Considere ahora un haz de luz incidiendo sobre un prisma en la forma que se muestra en la figura 1.11. Encuentre el ´angulo β para α = 20◦, 40 ◦, 50 ◦^ y 70 ◦. ¿Para qu´e ´angulo α = α 0 se obtiene β = 90◦? Para α > α 0 el haz de luz es reflejado especularmente (como si fuese un espejo) por la superficie interior del prisma, fen´omeno conocido con el nombre de reflexi´on total.
Figura 1.10 Figura 1.
1.3 Problemas 15
Para un observador en el Ecuador, el d´ıa solar es el per´ıodo que transcurre entre dos pasos consecutivos del sol por el zenit (posici´on del sol justo sobre nuestras cabezas). El d´ıa sideral consiste en el mismo fen´omeno pero que ahora ocurre con una estrella muy lejana. La diferencia entre ambas definiciones se debe a la traslaci´on de la tierra alrededor del sol. Determine el valor del ´angulo α que se muestra en la figura y calcule la diferencia entre el d´ıa sideral y el d´ıa solar en segundos.
Figura 1.12 Figura 1.
El primer c´alculo que se conoce del radio de la tierra se debe a Erat´ostenes (276 A.C.– 194 A.C.), quien a la fecha estaba a cargo del Museo de Alejandr´ıa. El m´etodo que us´o se bas´o en observar el ´angulo con que inciden los rayos solares sobre la superficie de la tierra, el mismo d´ıa y a la misma hora, en dos lugares separados entre s´ı por una gran distancia. Los lugares elegidos fueron Siena (S) (hoy Asu´an) y Alejandr´ıa (A).
