¡Descarga Experimentos aleatorios. Probabilidad: regla de Laplace y más Ejercicios en PDF de Probabilidad solo en Docsity!
229
Tema 12. Probabilidad
Problemas Resueltos
Experimentos aleatorios. Probabilidad: regla de Laplace
1. En una bolsa hay diez bolas iguales numeradas del 0 al 9 cada una. Si se extraen dos bolas de forma consecutiva y se anotan sus números: a) Escribe todos los sucesos elementales que forman el suceso “la primera bola extraída ha sido un 5”. b) ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse colocando las bolas por orden de extracción? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea mayor que 59? d) ¿Y la probabilidad de que termine en 3? Solución: a) Los sucesos elementales son: 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59 → En total hay 9 sucesos elementales, toda la decena de los cincuenta menos el suceso 55 no puede darse.
b) El primer número (cifra de las decenas) puede ser cualquiera de los 10 que partida (bolas del 0 al 9); el segundo número (cifra de las unidades) será cualquiera de los nueve restantes. En total, 10 × 9 = 90. (Hay 9 números en cada una de las 10 decenas). Este número se corresponde con las variaciones de 10 elementos tomados 2 a 2: V 10,2 (^) = 10·9 = 90
c) Hay 36 números mayores que 59. Por tanto: ( )
P nm > = =.
d) Uno de cada diez números termina en 3, pues hay 10 terminaciones posibles:
P n = =
2. En un juego se sortea cada día un premio utilizando papeletas con tres cifras, numeradas del 000 al 999. a) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 5. b) Calcula la probabilidad de que el número premiado termine en 55. c) Sabiendo que ayer salió premiado un número terminado en 5, calcula la probabilidad de que el número premiado hoy termine también en 5. Solución:
a) Uno de cada 10 números termina en 5. Por tanto, P (termine en 5) = 10
b) Uno de cada 100 números termina en 55. Por tanto, P (termine en 55) = 100
c) Cada día el experimento es independiente, pues la probabilidad de una terminación no se ve condicionada por las terminaciones de otros días. En consecuencia,
P (termine hoy en 5/ayer terminó en 5) = 10
230
3. Se truca una moneda de forma que la probabilidad de salir cara es doble que la de salir cruz. a) Si se tira al aire calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales. b) Si se tira dos veces, ¿cuánto vale la probabilidad de obtener dos caras? c) Si se tira tres veces, calcula la probabilidad de obtener dos cruces y una cara. Solución: a) Sea C al suceso cara y X al suceso cruz. Se sabe que P C ( ) = 2· ( P X ).
Como
P C + P X = ⇒ P X + P X = ⇒ P X = →
P C =
a) Como los sucesos son independientes, 2 2 4 ( ) ( )· ( ) · 3 3 9
P CC = P C P C = =
b) Por lo mismo, y como el suceso “2 cruces y 1 cara” es { XXC , XCX , CXX }, se tiene: 1 1 2 2 (2 ,1 ) 3· ( )· ( )· ( ) 3· · · 3 3 3 9
P X C = P X P X P C = =
4. Pedro y Pablo idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en la suma de los dados es mayor que 7, gana Pedro; si la diferencia de ambos es menor que 2, gana Pablo; y en cualquier otro caso hay empate. ¿Es un juego equitativo? Solución: En las tablas siguientes se indican los casos de sumas y de diferencias.
La suma es mayor que 7 en 15 de los 36 casos posibles → Gana Pedro. La diferencia es menor que 2 en 16 de los 36 casos → Gana Pablo. Por tanto, no es un juego equitativo. Pablo tiene mayor probabilidad de ganar que Pedro.
5. Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire. Si salen 3 caras o 3 cruces el jugador gana 7 puntos; en caso contrario el jugador pierde 2 puntos. a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada? b) ¿Cuál es la probabilidad de perder las dos primeras tiradas y ganar la tercera? c) ¿Es un juego equitativo? Solución: El espacio muestral del experimento aleatorio es. E = { CCC , CCX , CXC , XCC , CXX , XCX , XXC , XXX }
Sumas
- 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
Diferencias
- 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0
232
Si en el primer lanzamiento sale un 3: → La suma total será par cuando la suma de las puntuaciones de los otros dos lanzamientos sea impar. Esto sucede con los siguientes resultados, indicados por orden de aparición en el segundo y tercer dado: (1, 2), (1, 4), (1, 6); (2, 1), (2, 3), (2, 5); (3, 2), (3, 4), (3, 6) (4, 1), (4, 3), (4, 5); (5, 2), (5, 4), (5, 6); (6, 1), (6, 3), (6, 5). → La suma total será impar cuando la suma de las puntuaciones de los otros dos lanzamientos sea par. Sus resultados son: (1, 1), (1, 3), (1, 5); (2, 2), (2, 4), (2, 6); (3, 1), (3, 3), (3, 5) (4, 2), (4, 4), (4, 6); (5, 1), (5, 3), (5, 5); (6, 2), (6, 4), (6, 6).
Como hay el mismo número de casos favorables para cada suceso, las sumas par e impar son equiprobables.
8. Los estudiantes de 1º y 2º de Bachillerato de un centro escolar se distribuyen por curso y sexo como se indica en la tabla, aunque hay números desconocidos: a) Completa los números que faltan. b) Se elige un estudiante al azar y se consideran los siguientes sucesos: A = “sea una chica”; B = “sea de 1º”; C = “sea una chica de 2º”; D = “sea un chico de 1º” F = “sea de 1º si se sabe que es un chico”; G = “sea un chico si se sabe que es de 1º” Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores. Solución: a) Como las sumas por filas y columnas deben “cuadrar”, se tendrá: 60 + a = 130 ⇒ a = 70; 60 + b = 110 ⇒ b = 50; c = 50 + 65 = 115; d = 70 + 65 = 135 Por tanto, la tabla completa es la siguiente.
a) Hay 135 chicas →
P A =.
Hay 130 alumnos/as de 1º →
P B =
Hay 65 chicas de 2º →
P C =. Hay 60 chicos de 1º →
P D =.
Hay 110 chicos, de los que 60 son de 1º →
P F =.
Hay 130 estudiantes de 1º, de los que 60 son chicos →
P F =.
9. En una empresa trabajan 3 mujeres por cada 2 hombres. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 26% de los hombres necesitan gafas. Con esos datos construye una tabla de contingencia que distribuya a los trabajadores según su sexo y necesidad de gafas. A partir de los datos de esa tabla, si se elige un empleado al azar halla la probabilidad de los sucesos que se indican: a) Que sea mujer. b) Que sea una mujer y necesite gafas. c) Que sea mujer si necesita gafas. d) Que sea mujer o necesite gafas. Solución: Para evitar fracciones y números decimales puede suponerse que en la empresa hay 500 trabajadores. De ellos, 300 serán mujeres; 200 serán hombres. Necesitan gafas el 20% de las mujeres → 300 · 0,20 = 60;
Curso Chicos Chicas Total 1º 60 a 130 2º b 65 c Total 110 d 245
Curso Chicos Chicas Total 1º 60 70 130 2º 50 65 115 Total 110 135 245
233
Necesitan gafas el 26% de los hombres → 200 · 0,26 = 52. Por tanto, puede construirse la siguiente tabla. Mujeres ( M ) Hombres ( H ) Total Necesitan gafas ( G ) 60 52 112 No necesitan gafas ( NG ) 240 148 388 Total 300 200 500 Se tienen las siguientes probabilidades:
a) Que sea mujer →
P M = =
b) Que sea una mujer y necesite gafas →
P M ∩ G = =.
c) Que sea mujer si necesita gafas →
P M G = ≈.
d) Que sea mujer o necesite gafas → 300 112 60 352 ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 704 500 500 500 500
P M ∪ G = P M + P G − P M ∩ G = + − = =.
10. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades P ( A )= 0 , 7 ;
P ( B )= 0 , 6 y P ( A ∪ B )= 0 , 85. Calcula: a) P ( A ∩ B ) b) P (( A ∩ B ) C ) c) La probabilidad de que se cumpla solo uno de los dos sucesos. Solución:
a) Se sabe que P ( A ∪ B ) = P A ( ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )⇒
P A ( ∩ B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( ∪ B )⇒^ P^ ( A^ ∩^ B ) =^ 0, 7^ +^ 0, 6^ −^ 0,85^ =0, 45
b) El suceso ( )
C A ∩ B es el contrario de A ∩ B ⇒ P (( A ∩ B ) C )= 1 – P ( A ∩ B )= 1 – 0,45 = 0,
c) Que se cumpla solo uno de los dos sucesos significa que se cumple A y no B o que se cumple B , pero no A. Esto es, cualquiera de los dos, pero no los dos a la vez. Su valor es:
P (^) ( ( A − B (^) )∪ ( B − A ))= P (^) ( A ∪ B (^) ) − P (^) ( A ∩ B )= 0,85 – 0,45 = 0,40.
En el diagrama adjunto se puede visualizar todo el problema.
Probabilidad: propiedades
11. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades: P A ( ) = 0, 4; P B ( ) = 0, 2y P A ( ∪ B ) = 0,5.
a) ¿Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta. b) ¿Son sucesos independientes? Razona la respuesta. Solución: Dos sucesos A y B son incompatibles cuando p ( A ∩ B )= 0.
Como P A ( ∪ B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( ∩ B )⇒ P A ( ∩ B ) = P A ( ) + P B ( ) − P A ( ∪ B )
235
a) Estudia si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcula P ( A ∩ B / C ).
Solución: El suceso A ∪ B es el contrario suceso A ∩ B.
Es una de las leyes de Morgan: ( )
C (^) C C A ∩ B = A ∪ B ; o bien A ∩ B = A ∪ B → el contrario
de la intersección es la unión de los contrarios. Por tanto:
P ( A ∪ B ) = P ( A ∩ B )⇒ P ( A ∩ B ) = 1 − P ( A ∩ B )= 1 − 0,97 =0, 03
a) Dos sucesos son independientes cuando P ( A ∩ B ) = P A P B ( )· ( ).
Como P A P B ( )· ( ) = 0, 09·0, 07 = 0, 0063 ≠ 0, 03, los sucesos A y B no son independientes.
b) Dos sucesos son incompatible cuando su intersección es el vacío.
Como ( )
P T S
P T S
P S
P A B C
P A B C
P C P C
15. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, de los que se conocen las probabilidades P ( A ) = 0,65 y P ( B ) = 0,30. Determina las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A ∪ B y A ∩ B en cada uno de los siguientes supuestos: a) Si A y B fuesen incompatibles. b) Si A y B fuesen independientes. c) Si P ( A / B ) = 0,40. Solución:
a) Si A y B fuesen incompatibles ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) = 0, 65 + 0,30 = 0,95.
Y si son incompatibles, como A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∩ B ) = 0.
b) Si A y B fuesen independientes ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A P B )· ( )= 0, 65·0,30 = 0,195.
Como P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )⇒ P ( A ∪ B ) = 0, 65 + 0,30 − 0,195 = 0, 755.
c) Si P ( A / B ) = 0,40, como ( )
P A B
P A B P A B P B P A B
P B
Por tanto:
P ( A ∩ B ) = 0,30·0, 40 =0,
P ( A ∪ B ) = 0, 65 + 0,30 − 0,12 =0,
16. Los resultados académicos de cierto grupo de Bachillerato muestran que la probabilidad de aprobar Matemáticas es 0,6 y la de aprobar Economía 0,7. Además, la probabilidad de aprobar las dos asignaturas es 0,45. Si en ese grupo se elige un alumno al azar, cuánto vale la probabilidad de que: a) Apruebe alguna de las dos asignaturas. b) Apruebe solamente una de las dos asignaturas. c) No apruebe ninguna de las dos asignaturas. d) ¿Es independiente aprobar Matemáticas de aprobar Economía? Solución:
236
Sea M el suceso aprobar Matemáticas y E , aprobar economía. Se conocen las siguientes probabilidades: P M ( ) = 0, 6, P E ( ) = 0, 7; P M ( ∩ E ) =0, 45
a) Como
P M ( ∪ E ) = P M ( ) + P E ( ) − P M ( ∩ E )⇒^ P M ( ∪ E ) = 0, 6 + 0, 7 − 0, 45 =0,
b) Aprobar solo una es el suceso M – E o E – M = M ∪ E − M ∩ E.
P ( ( M − E )∪ ( E − M ))= P M ( ∪ E ) − P M ( ∩ E )= 0,85 – 0,45 = 0,40.
b) No aprobar ninguna es el suceso contrario de aprobar alguna:
( (^ ) )
P M ∪ EC = 1 – P M ( ∪ E ) = 1 – 0,85 = 0,
c) Será independientes si P M ( ∩ E ) = P M ( )· ( P E ).
Como P M ( ∩ E ) = 0, 45y P M ( )· ( P E ) = 0, 6·0, 7 = 0, 42, los sucesos no son independientes.
17. Una alarma de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es 0,95 y de que se active el segundo es 0,90. Halla la probabilidad de que ante una emergencia: a) Se active solo uno de los indicadores b) Se active al menos uno de los dos indicadores. Solución: Sean A y B los indicadores. Las probabilidades de se active cada uno de ellos son:
P A ( ) = 0,95 ⇒ P A ( C ) = 0, 05; P B ( ) = 0,90 ⇒ P B ( C ) =0,
Como son independientes, P ( A ∩ B ) = 0,95·0,90 = 0,855.
Con esto:
a) P (se active sólo un indicador) = P A P B ( )· ( C ) + P A ( C )· ( P B )= = 0,95 · 0,10 + 0,05 · 0,90 = 0,
b) La probabilidad de que se active al menos uno de los indicadores es:
P ( A ∪ B ) = P A ( ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )= 0,95 + 0,90 − 0,95 · 0,90 = 0,
Observación: Que solo se active uno de los dos indicadores es el suceso ( A − B ) ∪ ( B − A ).
Su probabilidad es:
P ( A − B ) ∪ ( B − A ) = P ( A ∪ B ) − P ( A ∩ B )= 0,995 – 0,95 · 0,90 = 0,
Una interpretación “visible” de los resultados se da en el diagrama de Venn adjunto.
18. Marta y Caty son jugadoras de baloncesto. Marta encesta 2 de cada 5 tiros; Caty, 3 de cada 7. Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Ambas han encestado. b) Ninguna ha encestado. c) Solo Marta ha encestado. d) Al menos una ha encestado.
238
P B ( ∪ C ) = 1 − P ( A )= 1 − 0, 27 = 0, 73.
20. En un proceso de fabricación se sabe que la probabilidad de que un producto sea defectuoso es 0,1. Si se selecciona una muestra aleatoria de 3 productos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo el segundo sea defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, uno de los tres sea defectuoso? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente uno defectuoso? Solución: Sean B y D los sucesos el producto es bueno y defectuoso, respectivamente.
Se sabe que P D ( ) = 0,1 ⇒ P B ( )= 0,9.
Puede admitirse que en cada elección los sucesos ser defectuosos o bueno son independientes. (Esto no es así en la realidad, salvo que el producto elegido, defectuoso o no, sea devuelto al grupo. Esto es, cuando las elecciones se hagan con devolución. No obstante, como se supone que el número de productos es muy grande las probabilidades varían muy poco).
a) “Solo el segundo sea defectuoso” es el suceso BDB.
P BDB ( ) = 0,9·0,1·0,9 =0, 081
b) “Al menos uno de los tres sea defectuoso” es el suceso contrario de “los tres son buenos”.
P ( al menos uno defetuoso ) = 1 − P BBB ( )= 1 − 0,9·0,9·0,9 =0, 271
c) “Exactamente uno defectuoso” es el suceso { DBB , BDB , BBD }.
P DBB BDB BBD ( , , )= 3·0,1·0,9·0,9 =0, 243
Probabilidad condicionada y total: Bayes
21. Hace dos días me presentaron un matrimonio, y me dijeron que tenían dos hijos. Ayer me enteré de que uno de los hijos se llamaba Ramiro, y hoy he sabido que éste es el mayor de los dos hermanos. ¿Cómo ha ido variando con el proceso de la información, la probabilidad de que los dos hijos sean varones? Determina estas probabilidades. Solución: Si V designa varón y M mujer, el espacio muestral de tener dos hijos, indicando el orden mayor/menor, es: { VV , VM , MV , MM }. Cada suceso elemental es equiprobable. → Hacer dos días no tenía ninguna información sobre el sexo de los hijos.
Por tanto: ( )
P VV =
→ Ayer me enteré que hay un hijo varón (Ramiro) ⇒ se descarta el suceso MM.
Por tanto: ( )
P VV =
→ Hoy he sabido que Ramiro es el mayor ⇒ se descarta también el suceso MV.
Por tanto: ( )
P VV =
22. Sean A y B dos sucesos independientes de un mismo experimento aleatorio, tales que P A ( ) = 0, 4y P B ( ) = 0,5. Calcula las siguientes probabilidades:
239
a) P ( A ∩ B ). b) P ( A ∪ B ). c) P A ( / B ). d) P B ( / A ).
Solución: a) Como los sucesos son independientes, P A ( ∩ B ) = P A P B ( )· ( ) = 0, 4·0,5 = 0, 2.
b) Como P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )⇒ P ( A ∪ B ) = 0, 4 + 0,5 − 0, 2 =0, 7
c) Como los sucesos son independientes se cumple que P A ( / B ) = P A ( ) = 0, 4.
d) Por lo mismo: P B ( / A ) = P B ( ) = 0,5.
Observación: Si se aplica la fórmula de la probabilidad condicional se tiene:
P A B
P A B
P B
P A B = = ;
P A B
P B A
P A
P B A = =
23. Sean A y B dos sucesos incompatibles de un mismo experimento aleatorio, tales que P A ( ) = 0, 4y P B ( ) = 0,5. Calcula las siguientes probabilidades:
a) P ( A ∩ B ). b) P ( A ∪ B ). c) P A ( / B ). d) P B ( / A ).
Solución: a) Como los sucesos son incompatibles, P A ( ∩ B ) = 0.
b) En este caso: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) = 0, 4 + 0,5 =0,
c) y d) Aplicando la fórmula de la probabilidad condicional se tiene:
P A B
P A B
P B
= = = y P B ( / A )= 0
24. Según la revista Allmovil , el 63% de los usuarios de móvil en España tiene un “Smartphone”. Entre los propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión habitual a internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de teléfono móvil solo el 8% lo emplea para la conexión habitual a internet. Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través del teléfono móvil. Solución: Se tienen las siguientes probabilidades: P (tener Smartphone) = P ( S ) = 0,63 ⇒ P (tener otro móvil) = P ( O ) = 1 – 0,63 = 0, P (Internet/ S ) = P ( I / S ) = 0,77 P(Internet/ O ) = P ( I / O ) = 0, Puede hacerse un diagrama de árbol como el siguiente.
La probabilidad de conectarse habitualmente a internet a través de teléfono móvil será: P I ( ) = P S ( )· ( P I / S ) + P O ( )· ( P I / O ) = 0,63 · 0,77 + 0,37 · 0,08 = 0,
241
b) La probabilidad de que la segunda bola extraída sea del mismo color que la primera es:
P BB ( ) + P NN ( ) = P C ( 1)· ( P B / C 1) + P C ( 2)· ( P N / C 2) =
27. Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B. La urna A contiene 3 bolas rojas y 1 negras; la urna B contiene 3 rojas y 2 negras. Se lanza el dado: si el número obtenido es par se extrae una bola de la urna A ; en caso contrario se extrae una bola de la urna B. a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja? b) Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la urna A? Solución: El diagrama de árbol que explica el experimento es el siguiente.
a) La probabilidad de extraer bola roja es: P R ( ) = P P ( )· ( P R / A ) + P I ( )· ( P R / B )=
=
b) Por Bayes: 1 3 ( ) · 5 ( / ) 2 4 ( ) 27 9 40
P A R
P A R
P R
28. Se tiene una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Se saca una bola al azar que se introduce en otra urna que contiene 3 bolas blancas y 5 negras. De esta urna se extrae una segunda bola. Calcula: a) La probabilidad de que segunda sea blanca si la primera fue blanca. b) La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra. c) La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color. d) La probabilidad de que las dos bolas sean blancas. e) La probabilidad de que la segunda bola sea blanca. f) La probabilidad de que primera hubiese sido blanca si la segunda fue blanca. Solución: Para contestar a todas las peguntas conviene confeccionar un diagrama de árbol.
Si la primera bola es blanca, se forma la urna 2, U 2, con 4 bolas blancas y 5 negras. Si la primera bola es negra, se forma la urna 2, U 3, con 3 bolas blancas y 6 negras.
242
a) ( )
P B B =.
b) ( )
P B N = = =.
c) ( ) ( )
P B N + P N B = + = =.
d) ( )
P B B = = =.
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P B = P B P B B + P N P B N = + =.
f) ( )
P B B P B P B B
P B B
P B P B
Combinatoria
29. En una empresa trabajan 7 mujeres y 12 hombres. Si se seleccionan 3 personas al azar, halla la probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre. Solución: Las 2 mujeres se pueden seleccionar de C 7,2 maneras distintas; el hombre puede ser
cualquiera de los 12 que hay.
El número de grupos de favorables a 2 mujeres y un hombre es:
=^ =
El número total de grupos de 3 personas seleccionadas entres 19 (7 mujeres + 12 hombres) es
19,
C
Por tanto:
2 mujeres y 1 hombre 0, 26 969
P = ≈
30. En una bolsa hay 7 bolas blancas y 9 negras. Si se extraen a la vez 3 bolas al azar, calcula la probabilidad de que: a) Las 3 bolas sean negras b) Una sea negra y las otras 2 blancas. c) Dos sean negra y 1 blanca
Solución:
d) Al menos 1 sea blanca.
Es independiente que las bolas se extraigan a la vez que una detrás de otra. Lo significativo es que no hay reposición. Puede resolverse mediante recursos de combinatoria. El total de opciones de extraer 3 bolas de una bolsa en la que hay 16 bolas (7 blancas y 9
negras) es (^) 18,
C = =.
a) Las 3 bolas serán negras cuando sean de las 7 que hay.
244
b) Si un opositor ha estudiado 10 temas de los 25, ¿cuál es la probabilidad de que de los dos temas escogidos al menos uno sea de los que ha estudiado? Solución:
Las distintas formas de elegir 2 temas entre 25 son (^) 25,
C
Hay 20 temas que no son de legislación; 2 de ellos se pueden elegir de C 20,2 maneras
distintas. Si un estudiante solo sabe 10 temas, entonces no sabe 15 de los 25. No sabrá ninguno de los 2 elegidos cuando ambos sean de los 15 que no se sabe. Por tanto habrá C 15,2 pares e temas que no sabrá.
Y sabrá al menos 1 de los 2 temas que salgan en C 25,2 (^) − C 15,2 casos diferentes.
Con esto, las probabilidades pedidas valen:
a) P (ninguno de los temas es de legislación) = 20, 25,
C
C
b) P (al menos salga uno de los 10 temas estudiados) = 25,2^ 15, 25,
C C
C
33. En un grupo de 12 cartas de la baraja española hay 5 oros, 4 espadas y 3 copas. Si se barajan las 12 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres de copas queden juntas? Solución: Sea C el suceso carta de copas; las nueve cartas restantes se numeran del 1 al 9. Algunas posiciones favorables son: → Las tres copas en primer lugar y las otras nueve detrás: CCC 123456789, que se puede presentar de P 3 · P 9
→ La primera carta no es de copas, las tres copas y las ocho restantes detrás:
maneras distintas (Conviene distinguir las copas)
1 CCC 23456789, que se presenta también de P 3 · P 9 …
maneras distintas
→ La última de estas disposiciones es: 123456789 CCC , que igualmente se presenta de P 3 · P 9 maneras distintas
En total hay: P 3 · P 9 Los casos posibles son P
· 10 maneras favorables de que las tres copas queden juntas. 12 Luego,
P (tres copas juntas) = 3 9 12
P P
P
Otros problemas
34. (Propuesto en Selectividad, 2013. Castilla y León) El 70% de las compras de un supermercado las realizan mujeres. El 80% de las compras realizadas por éstas supera los 20 €, mientras que sólo el 30% de las realizadas por hombres supera esa cantidad.
245
a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra la hiciera una mujer? Solución: Se definen los sucesos: M , ser mujer; H , ser hombre; S , hacer una compra superior a 20 €. Se dan las siguientes probabilidades: P ( M ) = 0,70; P ( H ) = 0,30; P ( S / M ) = 0,80; P ( S / H ) = 0,30;
a) Por la probabilidad total: P S ( ) = P M ( )· ( P S / M ) + P H ( )· ( P S / H ) = 0, 7·0,8 + 0,3·0,3 =0, 65
b) Por Bayes:
P M S
P M S
P S
35. (Propuesto en Selectividad, 2013. Andalucía) Se cree que hay una vuelta hacia estilos de baile más populares, por lo que se realiza una encuesta a estudiantes de bachillerato, resultando que al 40% les gusta la salsa, al 30% les gusta el merengue y al 10% les gusta tanto la salsa como el merengue. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa? b) ¿Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa? c) ¿Son independientes los sucesos “gustar la salsa” y “gustar el merengue”? ¿Son compatibles? Solución: Sean los sucesos: S = “gustar la salsa”; M = “gustar el merengue” Se dan las siguientes probabilidades: P ( S ) = 0,40; P ( M ) = 0,30; P ( S ∩ M ) = 0, En el diagrama adjunto se indican esos datos.
a) Por la probabilidad condicionada:
P M S
P M S
P S
b) Al 60% no les gusta la salsa. Hay un 20% que les gusta el merengue pero no la salsa. Por tanto:
( )
( ) ( )
P M S
P M S
P S
c) Serían independientes si P S ( ∩ M ) = P S ( )· ( P M ).
Como P ( S ) · P ( M ) = 0,40 · 0,30 = 012 y P ( S ∩ M ) = 0,10, los sucesos no son independientes. Es evidente que son compatibles, pues P ( S ∩ M ) = 0,10.
36. (Propuesto en Selectividad, 2013. Comunidad Valenciana)
247
a) La probabilidad de que ambas sean de color rojo es:
P RR ( ) = P R ( en A P RR )· ( en B 1 ) + P V ( en A P RR )· ( en B 2 )=
b) Ambas son de distinto color cuando no son ni las dos rojas ni las dos verdes. Con el mismo razonamiento de antes, la probabilidad de que las dos sean verdes es:
P VV ( ) = P R ( en A P VV )· ( en B 1 ) + P V ( en A P VV )· ( en B 2 )=
Por tanto:
P RV VR = − P RR − P VV = − − =
38. a) De una baraja española (40 cartas; 4 “palos”: oros, copas, espadas y bastos) se extrae una carta y se vuelve a introducir repitiendo esta operación tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar tres oros? b) De la misma baraja se extraen tres cartas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean copas? ¿Y de que ninguna sea de copas? Solución: a) Como hay reemplazamiento:
P (Sacar tres oros) =
b) Sin reemplazamiento (las tres cartas a la vez):
P (Sacar tres copas) =
39. Se lanzan n dados al aire, calcula (en función de n ) la probabilidad p de obtener una suma de puntos igual a n + 1. Determina los valores de n para los cuales p > 0,01. Solución: La respuesta dependerá del número n de dados.
→ Si n = 1, ( n + 1 = 2): P (suma 2) = 6
→ Si n = 2, ( n + 1 = 3): P (suma 3) = (^2) 6
. Los casos favorables son (1, 2) y (2, 1).
248
→ Si n = 3, ( n + 1 = 4): P (suma 4) = (^3) 6
. Casos favorables: (1, 1, 2), (1, 2, 1) y (2, 1, 1).
→ Si n = 4, ( n + 1 = 4): P (suma 5) = (^4) 6
En general, para n dados, P (suma n + 1) = (^) n
n 6
. Esto es 6 n
n p =.
Si se desea que 0, 01 6 n
n p = > ⇒
n
n
< ⇒ 6 n^ < 100 n ⇒ n = 1, 2, 3.
40. (Propuesto en Selectividad, 2012. Madrid)
Se consideran dos sucesos A y B tales que: 3
P ( A )= ;
P ( B / A )= ;
P ( A ∪ B )=
Calcúlese razonadamente:
a) P ( A ∩ B ). b) P ( B ). c) P ( B A ). d) P ( AB ).
Solución: Hay que aplicar las igualdades:
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) − P ( A ∩ B ); ( )
P A B
P A B
P B
a) Como P A ( ∩ B ) = P A P B ( )· ( / A )⇒
P A ∩ B = =
b) Sustituyendo en P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P B ( ) − P ( A ∩ B )⇒
= + P B − ⇒ P B = − + ⇒ P B =
c) Teniendo en cuenta que B ∩ A = A − B = A − ( A ∩ B ) y que ( )
P B A
P B A
P A
P A A B
P B A
P A
− ∩^ −
d) Como A ∩ B = A ∪ B ⇒ ( ) ( ) ( )
P A ∩ B = P A ∪ B = − P A ∪ B = − = ; por otra parte
( ) (^ )^
P B = − P B = − =.
Por tanto, de ( )
P A B
P A B
P B
P A B = =
Observación: En cuestiones como estas es fácil perderse. El lector haría bien en construir un diagrama de Venn para ver mejor las cosas.
