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GEOMETRÍA

Volumen 43  r^3

Área de la Superficie 4  r^2

r

Volumen^ r h^2

Área de la superficie lateral 2  rh

r

h

Volumen 13  r h^2

Área de la superficie lateral  r r^2  h^2  r l

h

r

l

Volumen  13  h a ^2  ab  b^2 

Área de la superficie lateral

     

 

a b h b a a b l

2 2

h

a

b

l

Raíz compleja^  r^^ cos^  isen^  n rn^ cos^ ^  n^2 k^ ^ isen ^ ^ n^2 k^ 

1 1   ^   nk : número entero positivo 0 , 1 , 2 ,, n  1

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO

Considerando P 1 (^)  x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 y P 2 (^)  x 2 (^) , y 2 (^) , z 2 :

Vector que une P 1 y P 2 P P 1 2 (^)  (^)  x 2 (^)  x 1 (^)  , y (^) 2  y 1 (^)  , z 2 (^)  z 1 (^)   l m n , , Distancia entre dos puntos^ d^ ^ ^ x^^2 ^ x^^1 ^ ^ ^ y^ ^ y^ ^ ^ ^ z^ ^ z^  ^ l^ ^ m^  n

2 2 1

2 2 1

(^2 2 2 )

Recta que pasa por dos puntos

Forma paramétrica x  x 1 (^)  lt y  y 1 (^)  mt z  z 1  nt Forma simétrica t x^ x^1^^ t y^ y^1^^ t z^ z^1 l m n

 ^  ^  

Cosenos Directores

cos^ x^2^^ x^1^^ = l^ cos y^2^^ y^1^^ = m^ cos z^2^^ z^1^ = n d d d d d d

 ^  ^  

donde^ ^ ,^ ^ , ángulos que forman la línea que une los puntos P 1 y P 2 con la parte positiva de los ejes x y z , , , respectivamente

cos 2   cos 2   cos^2  1 l^2  m^2^  n^2  1

Ecuación del Plano

Que pasa por un punto P 1 (^)  x 1 (^) , y 1 (^) , z 1 y tiene vector normal n  n n 1 , 2 (^) , n 3 n 1 (^)  x  x 1 (^)   n 2 (^)  y  y 1 (^)   n 3 (^)  z  z 1  0 Forma general Ax  By  Cz  D  0 Distancia del punto P 0 (^)  x 0 (^) , y 0 (^) , z 0 al plano Ax  By  Cz  D  0 0 0 0 2 2 2 d Ax^ By^ Cz^ D A B C

 ^ ^ 

Ángulo entre dos rectas en el plano 2 1 1 2

tan 1

m m m m

Coordenadas:

Cilíndricas r , , z 

x r y r z z

cos sen

 o  

r x y tan z z

y x



2 2 ^1 ^ r

z

y

x

y

z

P{ (x,y,z)(r,z)

x

O

Esféricas r ,  , 

x r y r z r

sen cos sen sen cos

o  

2 2 2 1

1

tan con 0

cos

y x z x y z

r x y z

 x



  

       ^    (^)  

z

y

x

y

P{ (^) (r,



(x,y,z) 

O

 z

r

x

REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN

d dx

( ) c  0^ d  

dx uvw^ u v

dw dx u w

dv dx v w

du    dx

d  

dx cx^  c d

dx

u

v

æ

èç

ö

ø÷^

v du

dx

æ

èç

ö

ø÷^

− u dv

dx

æ

èç

ö

ø÷

v^2

d  

dx

cx n^  ncxn ^1^ d  

dx

u nu du dx

n (^)  n  1

d (^)  u v  du dv dx dx dx

dF dx

dF du

du dx

 (Regla de la cadena)

d  

dx cu^ c

du  dx

𝑑𝑥 =^

𝑑𝑥 𝑑𝑢

1

1

1 2 2

si 0 csc 2 si csc 0 2

csc 1 1 1 1

u

u

d (^) u du du dx (^) u u dx (^) u u dx











  

   

 ^ 

Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d (^) sinh u cosh udu dx dx

^ d^ cosh u sinh udu dx dx

d (^) tanh u sech (^2) udu dx dx

^ d^ coth u csch^2 udu dx dx

d (^) sech u sech u tanh udu dx dx

 ^ d^ csch u csch u coth udu dx dx

d dx

u u

du dx

sen h-1^  

1 1

• 2

si cosh 0, 1 si cosh 0, 1

cos h 1 1

u u u u

d (^) u du dx (^) u dx

 

     

 ^ ^ 

 ^ 

tanh 1 12 ^1 1  1

d (^) u du u dx u dx

coth 1 1 2 ^ 1 o 1  1

d (^) u du u u dx u dx

1 1

• 2

si sech 0, 0 1 si sec h 0, 0 1

sec h 1 1

u u u u

d (^) u du dx (^) u u dx

 

       

 ^ ^ 

 ^ 

• 2 2

si 0 si 0 csc h 1 1 1 1

u u

d (^) u du du dx (^) u u dx (^) u u dx

   

 ^  ^ 

  ^ 

TABLAS DE INTEGRALES

 u dv  uv   v du csc u cot u du   csc u  C  u dun^  (^) n  u n  C n  

(^1)  tan udu  lnsec u  C

du  (^) u ^ ln u^  C cot u du  ln sen u  C

 e duu^^ ^ e^ u  C  sec u^ du lnsec u tan u  C

a du

a a C

u

u   (^) ln  csc^ u du^ ^ ln csc^ u^ ^ cot u^  C sen^ u du^  ^ cos u^  C du a u

u (^2 2) a C

1 

  sen 

 cos u^ du ^ sen u  C    

 C

a

u a u a

du (^) 1 2 2 tan

 sec u^ du ^ tan u  C

(^2) du u u a a

u (^2 2) a C

  sec 

csc^2 u du^  ^ cot u^  C du a u a

u a (^2 2) u a C

 ^2

 ln  

 sec u^ tan udu ^ sec u  C du u a a

u a (^2 2) u a C

 ^2

 ln  

a u du

u a u

a (^2 2 2 2) u a u C (^22 )  ^ ^2 ^ ^2 ln ^ ^  du u a u a

a u a (^2 2) u C

 ln 

u^2 a^2 u du^2 u ^ a^2 u^2  a^2 u^2 a^ u a u C

(^22 )    8  2   8 ln    du u a u

a u (^2 2 2) a u C

2 2   ^2

 

a bu u du^

a bu u

b du u a bu

 2 2 

udu a bu

a b a bu b

a bu C 

 2 2 ^ ^ 

ln   u a bu du (^)  ^  

b n

n   u n a bu na u n a bu du

 ^ ^   

(^32 )

du u a bu a a bu a

a bu u

C

 2 1 ^1 2 ln ^     

u du a bu

u a bu b n

na b n

u du a bu

n n n 

 (^)   (^)   (^) 

1

 (^)    

 

 (^)       a  bu a a bu C

a bu a a bu b

u du (^1 22) ln 2 3

2  

   

du u a bu

a bu a n u

b n a n

du n (^)   ^ n (^) u n a bu

 ^

 (^1)  (^)    

 ^  ^ bu  a ^ a  bu   C b

u a budu 2

3 15 2 3 2

(^2) csc 3 u du   12 csc u cot u  12 ln csc u  cot u  C

udu  

a bu b

bu a a bu   ^ ^ 

2 2 sen^ n^ u du^ n sen^ n^ u^ cos^ u^ n sen n n   ^1 ^1 ^ ^1  ^2 u du

sen 2 udu  12 u  14 sen 2 u  C cos n u du (^) n cos n (^) u sen u n cos n   (^) n u du

 1 1 ^2

cos^2 u du^ ^12 u^ ^14 sen^2 u^  C  

 u udu n

n (^) udu tan n (^1) tan n 2 1

tan^1

 tan^ u^ du ^ tan u  u  C

2 cot n^ u du  (^) n cot n^ u cot n u du

 1 ^   1

1 2

 cot u^ du ^ cot u  u  C

2 sec n^ u du (^) n tanu sec n^ u sec n

n  (^)   (^) n u du

 1 ^   1

2 2

^ sen^3 u du^  ^13 ^2 ^ sen^2 u ^ cos u^  C ^ cos^3 u du^ ^13 ^2 ^ cos^2 u ^ sen u^  C csc n^ u du cot csc n^ csc n n

u u n n

 u du 

 1 ^   1

2 2

 tan^ u^ du ^ tan u lncos u  C

2 21

3

cot^3^ u du^  ^12 cot^2 u^ ^ ln sen u^  C ^ 

sen sen  

sen sen au bu du

a b u a b

a b u  (^) a b C

 ^

 (^2 2)   sec 3 u du  12 sec u tanu  12 ln sec u  tanu  C ^ 

cos cos  

sen sen au budu

a b u a b

a b u a b

 C

  2 2    

sen cos (^)   au bu du cos^ a^ b u cos a b

a b u   (^) a b C

 ^

 (^2 2)    u^ n^^ cos^ u du^ ^ u^ n^ sen^ u^ ^ n u ^ n ^1 sen u du

 u^ sen^ u du^ ^ sen^ u^ ^ u^ cos u^  C

 u cos u du  cos u  u sen u  C

sen^ n^ u^ cos mu du

  (^)  

   

sen cos sen cos

n (^) u m u n m n m

n n m u^ udu

  sen cos (^) sen cos n m u u n m n m

m n m

u udu

1 1 (^12)

 u^ n^^ sen^ u du^ ^ u^ n^ cos^ u^ ^ n u ^ n ^1 cos u du u u du

u u

u u cos ^  cos C

 

  1 

2 1 2 1 2 4

1 4

   u ^ udu  u   u u C 2

tan 2

tan 1 2 1 1

 sen^ ^1 udu^^ ^ u^ sen^1 u^ ^1 ^ u^2^  C u u du n u^ u^

u du u

n n n n sen ^ ^ sen  ,

  (^)   

^

 1 1 1   

1 2

 cos^ ^1 udu^^ ^ u^ cos^1 u^ ^1 ^ u^2^  C u u du n u^ u^

u du u

n n n

n cos ^ ^ cos  ,

  (^)   

^

 1 1 1   

1 2

 tan^1 u^^ du ^ u tan^1 u ^21 ln^1  u^2  C     

  ^  , 1 1

tan 1

tan 1 2

1 1 1 1 n u

u u u du n

u udu n n^ n

 u^ sen^ ^1 u du^^ ^ u^ ^ sen u^ ^ u^ ^ u^  C

2 1

ue du ^ 

a  au^^ ^12 au^ ^1 e^ au  C ln^ u du^ ^ u^ ln u^ ^ u^  C

u e du (^) a u e

n a u^ e^ du  n^ au^  1 n^ au^   n^ ^1 au

u u du u    n

n n u C n ln  ln 

  

 

1 1 2 1 1

e bu du e ^ 

a b a^ bu^ b^ bu^ C

au

au  sen^ ^2  2 sen^ ^ cos 

 u ln u du  ln ln u  C

e au bu du (^) a e b ^ a bu b bu  C

au  cos  (^2)  2 cos  sen 

senh^ u du^ ^ cosh u^  C  sech u^ du ^ ln^ tan 21 u  C cosh^ u du^ ^ senh u^  C  sech^2 udu^ ^ tanh u  C  tanh u^ du ^ lncosh u  C  csch udu^ ^ coth u  C

2

coth u du  ln senh u  C  sech u tanh udu  sech u  C

 ^  sech u du tan ^1 senh u C  csch u^ coth udu ^ csch u  C

2 2

2 au u du u^ a^ au u a^^1 a^ u a  ^ ^ ^ ^ ^ cos^   C

du a u u

a u 2 2 a^ C

1 

^

 cos

u 2 au u^2 du^2 u^^ au 6^ 3 a^ 2 au u a 2^ a^ a u C

(^2231)  ^ ^ ^ ^ ^ ^ cos^  

u du au u

a u u a

a u 2 2 2 a^ C

2 1 

^

 cos

2 2

a u u 2 1 u du^ a u^ u^ a^

a u a C

^

 cos du u a u u

a u u a u

C

2

2



 

2 2 2 2 2

2 a u u 1 u du^

a u u u

a u a C

^

 cos       

    ^  

 (^) C a

u a au u a a u au u

u du 2 2 1 2

2 cos 2

2 3 2

3 2

VECTORES

Producto punto

A B   A B cos  0    donde  es el ángulo formado por A y B A B   A B 1 1 (^)  A B 2 2 (^)  A B 3 3 donde A  A 1 (^) , A 2 , An y B  B 1 (^) , B 2 , Bn

Producto cruz      

1 2 3 1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

i j k

A A A

B B B

A B A B A B A B A B A B

  

 

A B

i j k

donde A 1 (^) i A 2 (^) j A 3 k

   A    y B B 1 (^) i B 2 (^) j B 3 k

      Magnitud del producto cruz A  B  A B sen 

Sean U  U (^)  x y z , , , una función escalar, y A  A  x y z , , , una función vectorial,ambas con derivadas parciales Operador nabla x y z

     i  j  k

Gradiente de U grad U U U U U U x y z x y z

 ^ ^ ^  ^ ^     (^)    (^)      

i j k i j k

Laplaciano de U   2 2 2 2 2 2 2

U U U^ U^ U

x y z

Divergencia de A 1 2 3

1 2 3

div A A A x y z A A A x y z

 ^ ^ ^   ^ ^ 

  ^ 

A A i j k i j k

Rotacional de A 1 2 3

1 2 3

3 2 1 3 2 1

i j k

i j k

rot A A A x y z

x y z A A A

A A A A A A y z z x x y

     

  

  

    ^   ^  ^       



 ^  ^  ^  ^  ^              

A A i j k i j k

Ecuación paramétrica x x y y z z x y z y z y z z x z x x y x y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Curvatura y Torsión

 

     

3

r t r t t r t

 

         

2

r t r t r t t r t r t

^ s ^  r s ^  32

[ 1 ( '( )) ]

f x^2

f x 

Componentes Tangencial de la Aceleración T

a a T v a v

  ^ 

Componentes Normal de la Aceleración N

v a a a N v

Propiedades de la Divergencia

 (^)  F  G (^)   F   G  (^)   F (^)   F     (^)  F  (^)  F  G (^)   G   F (^)   F   G 

TRANSFORMADA DE LAPLACE

0

L{ f t ( )} e s tf t ( ) dt

   (^) 

No f ( t ) F ( s )

1 C ( constante ) s

C

2 tn n^!  1 s

n , n = 0 y n N

(^3) tn (^ n ^  11 ) s

n , n > - 1

s  a

s a

a  6 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 2 2 s a

s  (^7) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 2 2 s k

k  8 cos(𝑘𝑡) 2 2 s k

s  9 𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡) F^ (^ s  a )

10 f^ (^ t  a ) U ( t  a ) e  asF ( s )

11 t nf ( t ) (  1 ) nF (^ n )( s )

t

f ( t ) 



s

F ( p ) dp

13 f (^ n )( t ) sn^ F ( s ) sn ^1 f ( 0 ) sn ^2 f '( 0 )... f ( n ^1 )( 0 )

(^14) 

t f d 0

s

F ( s )

15   

t f g f gt d 0

() (  )  F ( s ) G ( s )

16 f ( t ) de periodofunción periódica T    

T st e sT^ f te dt 0

FÓRMULAS MISCELÁNEAS

Área en coordenadas polares 



 r^ dr

2

Ecuaciones paramétricas de la cicloide para t  R

   

sen 1 cos

x a t t y a t

Trabajo

b W  (^)  aF dr   (^) b 

a b

Comp a

b

Longitud de arco de y  f ^ x 

en a b  (^) a y dx

b ,  (^)  1  ( (^) )^2

     R

m  x , y dA

x ^ ,^ ^ y ^ ,  R R

M  (^)   y  x y dA M   x  x y dA

Centro de gravedad de una región plana

( ) 12 ^ ( )^2 ( ) ( )

b^ b a a b b a a

xf x dx^ f^ x^ dx x y f x dx f x dx

    Longitud de arco en forma paramétrica ^    

  

  

^    dt^ dt

dy dt

L dx^22

Momento de inercia de R respecto al origen o ^2 2 ^ ^ ,  R

I  (^)   x  y  x y dA

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x S^ F x ^ f x  d^ x

b a

 2 ( ) 1  ( )^2

^  Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y

 (^) 

b

V a 2  tF ( t ) dt

Cálculo del volumen   

b ( )^ b 2 V  (^)  a (^) A x dx V  a   f x dx

Ecuación del resorte helicoidal ( )^ cos ,sen , 2 r t t t^ t 

Derivada direccional D fu ˆ^  x y z ,^ ,^^    f^^  x y z ,^ ,^  u ˆ u ˆ^ : Vector unitario Ecuación satisfecha por la carga de

un circuito LRC^ Lq^  ^ Rq^  ^ C q^  E t  

Fuerza ejercida por un fluído ( )

b F  (^)  a  y L y dy  Fuerza que actúa sobre un líquido

encerrado en un tubo F^ ^ ^ A x g^2 0^  A xg^2