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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se verifican
para todo valor admisible de la variable angular. Es decir las razones trigonométricas estén
definidas.
I. Identidades fundamentales
I.1 Identidades reciprocas
.csc 1 csc 1/
cos .sec 1 sec 1/ cos
tan .cot 1 cot 1/ tan
sen x x x sen x
x x x x
x x x x
I.2 Identidades por cociente
cos tan cot cos
sen x x x x x sen x
I.3 Identidades Pitagóricas
2 2 2 2 sen x cos x 1 sec x tan x 1
2 2 csc x cot x 1
I.4 Identidades auxiliares
4 4 2 2
6 6 2 2
cos 1 .cos
cos 1 .cos
2
3
sen x x sen x x
sen x x sen x x
8 8
2 2 4 4
cos
1 .cos 2 .cos
sen x x
sen x x sen x x
2 2 2 2
tan cot sec csc
sec csc sec csc
x x x x
x x x x
2 1 sen x cos x 2 1 sen x 1 cos x
1 cos cos 1
1 cos 1 cos
sen x x x sen x
x sen x sen x x
1
1
sec tan sec tan
csc cot csc cot
Si x x p x x p
Si x x q x x q
2 2 2 cos
cos
Si asen x b x c a b c
a b sen x x c c
I. 5 Identidades adicionales
4 2 2 2
se n x cos x 1 se n ( )cos ( ) x x
4 2 2 2
cos x sen x 1 se n ( )cos ( ) x x
2 2 2 2
tan x sen x tan ( ). x sen ( ) x
2 2 2 2
cot x cos x cot ( ).cos ( ) x x
4 4 2 2
sec x tan x 1 2 sec ( )tan ( ) x x
6 6 2 2
sec x tan x 1 3 sec ( )tan ( ) x x
4 4 2 2
csc x cot x 1 2 csc ( )cot ( ) x x
6 6 2 2
csc x cot x 1 3 csc ( )cot ( ) x x
2 2 sen x cos x sen x cos x 2
2 2 tan x cot x tan x cot x 4
I.6 Algunas desigualdades importantes
x n
2 2 1
( ) cos ( ) 1 2
n n n
sen x x
x n m
2 2 ( ) cos( )
n m n m n m
n m sen x x n m
x a b , , :
2 2 2 2 a b asen x ( ) b cos( ) x a b
Sia,b y tanx
a tan( ) x b cot( ) x 2 ab
II. Identidades de los ángulos
compuestos
II.1 Para la suma de dos ángulos
sen x y sen x cos y sen y cos x
cos x y cos x cos y sen x sen y
tan tan tan 1 tan tan
x y x y x y
II.2 Para la diferencia de dos ángulos
sen x y sen x cos y sen y cos x
cos x y cos x cos y sen x sen y
tan tan tan 1 tan tan
x y x y x y
II.3 Identidades auxiliares
2 2
2 2 cos cos cos
sen x y sen x y sen x sen y
x y x y x sen y
tan tan cos cos
cot cot
sen x y x y x y
sen y x x y sen x sen y
2 2
. .cos.
tan( )
a sen x b x a b sen x
b Donde a
Con frecuencia se utiliza las siguientes
identidades
cos 2. 45
- cos 2. 30
3.cos 2. 60
^ ^ ^
^ ^ ^
sen x x sen x
sen x x sen x
sen x x sen x
tan x tan y tan x tan y tan x y tan x y
tan (^) x (^) tan (^) y (^) tan (^) x (^) tan (^) y (^) tan (^) x y (^) tan x y
2 cot( ) tan( ) cot( ) tan( ) csc ( )
Si x y entonces
x y
Algunas aplicaciones de esta identidad son:
Si x y 45
(1 tan( )) 1 x tan( ) y 2
Si x y 30
( 3 tan( )) x 3 tan( ) y 4
II.4 Identidades para tres ángulos
1 3
( )
cos( )cos( )cos( )
sen x y z S S x y z
2
cos( ) 1 cos( )cos( )cos( )
x y z S x y z
1 3
2
tan( ) 1
S S
x y z S
Donde:
S 1 (^) : tan( ) x tan( ) y tan( ) z
S 2 (^) :tan( )tan( ) x y tan( )tan( ) y z tan( )tan( ) z x
S 3 (^) : tan( )tan( )tan( ) x y z
A partir de la identidad (*) se presentan estos
casos particulares.
2 1 ; 2
tan tan tan tan tan tan 1
cot cot cot cot cot cot
Si x y z n n
Entonces
x y y z z x
x y z x y z
cot cot cot cot cot cot 1
tan tan tan tan tan tan
Si x y z n n
Entonces
x y y z z x
x y z x y z
Identidades adicionales
2 2 2
0
cos cos cos 2cos cos cos 1
Si x y z
x y z x y z
2 2 2
/ 2
2 1
Si x y z
sen x sen y sen z sen x sen y sen z
2 2 2 cos cos cos 2 cos cos cos 1
Si x y z
x y z x y z
Identidades adicionales
3 3 ( ) cos ( ) 3 30 ( ) cos( ) 4
sen x y Si x y sen x y
tan( ) x tan( x 60 ) tan( x 120 ) 3tan(3 ) x
csc( ) x csc( x 120 ) csc( x 240 ) 3csc(3 ) x
sec( ) x sec( x 120 ) sec( x 240 ) 3sec(3 ) x
IV. Transformaciones trigonométricas
Caso 1
2 ( )cos( ) 2 2
2 ( )cos( ) 2 2
x y x y sen x sen y sen
x y x y sen x sen y sen
cos cos 2cos( )cos( ) 2 2
cos cos 2 ( ) ( ) 2 2
x y x y x y
x y x y x y sen sen
Algunas aplicaciones
sen x ( 120 ) sen x ( ) sen x ( 120 ) 0
cos( x 120 ) cos( ) x cos( x 120 ) 0
sen x sen x sen x
cos ( 120 ) cos ( ) cos ( 120 ) 2
x x x
Caso 2
2 cos
2cos cos cos cos
2 cos cos
sen x y sen x y sen x y
x y x y x y
sen x sen y x y x y
A partir de las siguientes identidades
4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2
sen x sen y sen z sen x y z
x y y z z x sen sen sen
cos cos cos cos
4 cos( )cos( )cos( ) 2 2 2
x y z x y z
x y y z z x
Determinamos las identidades condicionales
Si A B C 180 , entonces
^ 4 cos(^ )cos(^ )cos(^ )
2 2 2
A B C sen A sen B sen C
cos cos cos 1 4 ( ) ( ) ( )
2 2 2
A B C A B C sen sen sen
sen 2 A sen 2 B sen 2 C 4 sen A sen B sen C ( ) ( ) ( )
cos 2 A cos 2 B cos 2 C 1 4 cos A cos B cos C
En general, para k
1
2 2 2
4 1
k
sen kA sen kB sen kC
sen kA sen kB sen kC
Serie de senos para ángulos en progresión
aritmética
1
^
n
k
nr P U sen sen
sen x kr r sen
Serie de cosenos para ángulos en progresión
aritmética
1
( )cos( ) 2 2 cos
( ) 2
n
k
nr P U sen
x kr r sen
Donde consideramos que
n: número de términos r: razón de la P.A.
P: primer ángulo U: último ángulo
Otras series( n )
cos( ) cos( ) ... cos( 2 1 2 1 2 1 2
n
n n n
cos( ) cos( ) ... cos( ) 2 1 2 1 2 1 2
n
n n n
n
n n sen sen sen n n n
cos( )cos( ) ... cos( )
n
n
n n n
tan( )tan( ) ... tan( ) 2 1 2 1 2 1 2 1
n n n n n
