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FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICASSOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
ANEXO IANEXO I
I.1I.1 CARACCARACTERISTITERISTICAS DE VINCUCAS DE VINCULOSLOS
(APOYOS)(APOYOS)
Tipo deTipo de vinculovinculo
DiagramaDiagrama GGrraaddooss ddee lliibbeerrttaadd RReeaacccciioonneess ddee aappooyyoo
11 ºº
TT
IIPP
OO
Apoyo móvilApoyo móvil (^) Tiene 2 grados deTiene 2 grados de libertad.libertad. Movimiento deMovimiento de rotacionrotacion Movimiento deMovimiento de traslaciontraslacion
VVZZ
Se presentaSe presenta 1 reaccion de1 reaccion de apoyoapoyo
22 ºº
TT
IIPP
OO
Apoyo fijoApoyo fijo (^) Tiene 1 grado deTiene 1 grado de libertad.libertad.
(^) Movimiento deMovimiento de rotación de larotación de la barrabarra
HH ZZ
VV ZZ
Se presentaSe presenta 2 reacciones2 reacciones de apoyode apoyo
EmpotramientoEmpotramiento móvilmóvil
TieneTiene 1 g1 gradorado dede libertadlibertad Movimiento deMovimiento de traslación deltraslación del apoyoapoyo
MM ZZ
VV ZZ
Se presenta 2Se presenta 2 reacciones dereacciones de apoyoapoyo
EmpotramientoEmpotramiento guiadoguiado
Tiene 1 grado deTiene 1 grado de libertadlibertad Movimiento deMovimiento de traslación deltraslación del apoyoapoyo
MM ZZ HH (^) ZZ
Se presenta 2Se presenta 2 reacciones dereacciones de
apoyoapoyo
33 ºº
TT
IIPP
OO
EmpotramientoEmpotramiento
Tiene 0 grado deTiene 0 grado de libertadlibertad
MM ZZ HH ZZ
VV ZZ
Se presenta 3Se presenta 3 reacciones dereacciones de apoyoapoyo
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I.2I.2 CARACCARACTERISTICTERISTICAS DE NUDAS DE NUDOSOS
Tipo deTipo de
vinculovinculo
Nombre yNombre y representaciónrepresentación
GGrraaddooss ddee lliibbeerrttaadd RReeaacccciioonneess
22 ºº
TT
IIPP
OO
Nudo articuladoNudo articulado El grado de libertad estaEl grado de libertad esta dado por:dado por: GL = (nGL = (n––1)1) n = Numero de barrasn = Numero de barras articuladas.articuladas.
Las reaccLas reaccionioneses estestánán daddadosos por:por:
Reacciones = 2Reacciones = 2 (n(n––1)1)
n = Numero de barrasn = Numero de barras
articuladas.articuladas.
Nudo rígidoNudo rígido El grado de libertad estaEl grado de libertad esta dado por:dado por: GL = 0GL = 0 Restringido todos losRestringido todos los movimientos.movimientos.
Las reaccLas reaccionioneses estestánán daddadosos por:por:
Reacciones = 3Reacciones = 3 (k(k––1)1)
k = Numero de barrask = Numero de barras
rígidas.rígidas.
NNududo co coommbibinnadadoo EEl gl graradodo dde le libibeertrtasas eses:: GL = nGL = n–– 11 n = Numero de barrasn = Numero de barras articuladas.articuladas. Barras rígidas se consideraBarras rígidas se considera como una unión.como una unión.
Las reacciones están dadosLas reacciones están dados
por:por:
Reacciones=3(kReacciones=3(k––1)+2(n1)+2(n––1)1) k = Numero de barrask = Numero de barras rígidas.rígidas. n = Numero de barrasn = Numero de barras articuladas.articuladas.
I.3 CARGA PUNTUAL EQUIVALENTE A CARGA DISTRIBUIDAI.3 CARGA PUNTUAL EQUIVALENTE A CARGA DISTRIBUIDA
CCaarrggaa ddiissttrriibbuuiiddaa CCaarrggaa ggeennéérriiccaa RReessuullttaannttee BBrraazzoo Carga rectangularCarga rectangular
qqxx qq RR^ ^ qqxx
xx
bb
Carga triangularCarga triangular
(^) LL
xx
qq xx qq
xx
LL
xx
qq
RR
qq xx
RR xx
33 xx
bb (^)
Carga parabólica (2º)Carga parabólica (2º) 22 xx
LL
xx
qq qq
xx
LL
xx
qq
RR
qq xx
RR
22
xx
xx
bb
Carga parabólica (nº)Carga parabólica (nº) nn xx
LL
xx
qq qq
n=0 Carga rectangularn=0 Carga rectangular n=1 Cargan=1 Carga triangtriangularular n>1 Carga parabólican>1 Carga parabólica
xx
LL
xx
qq
nn 11
RR
qq xx
nn 11
RR
nn
xx
xx
nn 22
bb
xx
qqxx qq
qq
bb
11
22
33 44 55 nn
11
22
(^33 ) 55 kk
11
22
nn (^11) 22 kk
xx LL
qq RR bb
xx LL
RR qqxx
LL
RR bb
qq
RR
LL
xx
qqxx
bb
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I.5 TIPOS DE CARGA DISTRIBIDA RECTANGULAR EN BARRAI.5 TIPOS DE CARGA DISTRIBIDA RECTANGULAR EN BARRA DE EJE INCLINADODE EJE INCLINADO TTiippoo ddee ccaarrgga da diissttrriibbuuiiddaa RReessuullttaannttee BBrraazzoo ddee llaa rreessuullttaannttee
RR
Resultante de laResultante de la
carga distribuidacarga distribuida
es:es:
RR qqxxCosCos
Brazo de la ResultanteBrazo de la Resultante
es:es:
xxCosCos
bb
Resultante de laResultante de la
carga distribuidacarga distribuida
es:es:
RR (^) qqxx
Brazo de la resultanteBrazo de la resultante
es:es:
xx
bb
Resultante de laResultante de la
carga distribuidacarga distribuida
es:es:
RR qqxx
El brazo de laEl brazo de la
resultante es:resultante es:
xxCosCos
bb
CaCargrgaa didiststriribubuididaa CaCargrgaa DiDiststriribubuididaa eqequiuivavalelentntee
θθ
θθ
xxSS
eenn
θθ
xx
xCosθxCosθ
xxSS
eenn
θθ
θθ
bb
xx
xCosθxCosθ
xxSS
eenn
θθ
θθ
RR
bb
xx
xCosθxCosθ
θθ
RR
bb
θθ
qq
qq
qq
qq
CosCos
qq
qq''
qq
θθ
qq qq
I.6 EQUIVALENCIA DE CARGAS DISTRIBUIDAS RECTANGULARESI.6 EQUIVALENCIA DE CARGAS DISTRIBUIDAS RECTANGULARES
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICASSOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
I.7 ECUACIONES DE FUERZAS NORMALESI.7 ECUACIONES DE FUERZAS NORMALES Y CORTANTES EN BARRASY CORTANTES EN BARRAS INCLINADASINCLINADAS
asumidosasumidosSignosSignos Barra inclinada yBarra inclinada ydireccionadadireccionada Ecuación de la fuerzaEcuación de la fuerzaNormal NxNormal Nx Ecuación de la fuerzaEcuación de la fuerzaCortante QxCortante Qx La ecuación de laLa ecuación de la Normal es:Normal es: NN (^) xx NNHH NN VV Donde:Donde: NN (^) HH ^ FHFHcoscos NN (^) VV (^) FVFVsinsin Remplazando:Remplazando: NN (^) xx FHFHcoscos FVFVsinsin
La ecuación de laLa ecuación de la Cortante es:Cortante es: QQxx QQHH QQ VV Donde:Donde: QQ (^) HH ^ FHFHsinsin QQVV (^) FVFVcoscos Remplazando:Remplazando: QQ (^) xx FHFHsinsin FVFVcoscos
La ecuación de laLa ecuación de la Normal es:Normal es: NN (^) xx NNHH NN VV Donde:Donde: NN (^) HH (^) FHFHcoscos
(^) sinsin NN VV FVFV Remplazando:Remplazando: NN (^) xx FHFHcoscos FVFVsinsin
La ecuación de laLa ecuación de la Cortante es:Cortante es: QQxx QQHH QQ VV Donde:Donde: QQ (^) HH (^) FHFHsinsin
(^) coscos QQVV FVFV Remplazando:Remplazando: QQ (^) xx FHFHsinsin FVFVcoscos
La ecuación de la Normal es:La ecuación de la Normal es: NN (^) xx NNHH NN VV Donde:Donde: NN (^) HH (^) FHFHcoscos NN (^) VV (^) FVFVsinsin Remplazando:Remplazando: NN (^) xx^ FHFHcoscos FVFVsinsin
La ecuación de laLa ecuación de la Cortante es:Cortante es: QQxx QQHH QQ VV Donde:Donde: QQ (^) HH (^) FHFHsinsin QQVV (^) FVFVcoscos Remplazando:Remplazando: QQ (^) xx^ FHFHsinsin FVFVcoscos^
La ecuación de laLa ecuación de la Normal es:Normal es: NN (^) xx NNHH NN VV
Donde:Donde: NN^ HH (^) FHFHcoscos NN (^) VV (^) FVFVsinsin Remplazando:Remplazando: NN (^) xx FHFHcoscos FVFVsinsin
La ecuación de la Cortante es:La ecuación de la Cortante es: QQ (^) xx QQHH QQ VV
Donde:Donde: QQ^ HH (^) FHFHsinsin QQVV (^) FVFVcoscos Remplazando:Remplazando: QQ (^) xx FHFHsinsin FVFVcoscos
El signo a asumir para lasEl signo a asumir para las sumatorias de fuerzas son los mismos que se utiliza ensumatorias de fuerzas son los mismos que se utiliza en la deducción de lasla deducción de las
ecuaciones, para el cuadro enecuaciones, para el cuadro en todos los casos es:todos los casos es: FHFH yy FVFV , esto puede variar de acuerdo a, esto puede variar de acuerdo a nuestnuestra convera convenciónciónn de signde signosos asumasumidos.idos.
Fuente: ESTRUCTURAS ISOSTATICAS, Ing. IvanFuente: ESTRUCTURAS ISOSTATICAS, Ing. Ivan Choqueticlla TapiaChoqueticlla Tapia
FHFH
FHFH
FHFH
FHFH
FVFV
FVFV
FVFV
FVFV
NNHH
NNHH
NNHH
NNHH
QQHH NNVV
NNVV
NNVV
NNVV
QQVV
QQVV
QQVV
QQVV
QQHH
QQHH
QQHH
θθ θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
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ANEXO IIANEXO II
- Grado1. Grado hiperehiperestatistaticoco 1.11.1 MétodoMétodo GeneraGeneral:l:
GHGH II EE
EE 33 NN
Donde:Donde: I=I= IncógIncógnitas o reaccinitas o reacciones.ones. E=E= NumNumero de ecuaciero de ecuaciones.ones. N=N= Numero deNumero de barras de labarras de la estructura.estructura. 1.21.2 Método de LMétodo de Los Anillos Anillos:os:
GHGH 33 AA GLGL
Donde: A=Donde: A= Numero de anNumero de anillos que seillos que se forman.forman. GL=GL= Grado de lGrado de libertad deibertad de cada vinculo.cada vinculo.
1.31.3 MétodoMétodo de las bade las barras:rras:
GHGH bbrr 22 nn
DondDonde:e: b=b= NumNumero de barero de barras de la eras de la estrucstructura.tura. r=r= NumNumero de reaccionero de reacciones de apoyo.es de apoyo. n=n= Numero deNumero de nudos, innudos, incluyendo locluyendo loss apoyos.apoyos. EsteEste métodométodo se lo use lo utiliza solamtiliza solamente enente en
entramados.entramados. 1.41.4 Estructuras conEstructuras con apoyosapoyos elásticos:elásticos:
GHGH (^) TOTALTOTAL GHGHPARCIALPARCIALNNººReResortessortesNNºº CablesCables
Donde: GHDonde: GHPARCIALPARCIAL:: Grado HipGrado Hiperesterestáticoático, donde no, donde no interviene cables ni resortes.interviene cables ni resortes. Nº Resortes: Cantidad de resortes en laNº Resortes: Cantidad de resortes en la estructura.estructura. Nº Cables: Cantidad de cables en laNº Cables: Cantidad de cables en la Estructura.Estructura.
- Vigas2. Vigas 2.1 Definición.-2.1 Definición.- Una viga es un miembro que seUna viga es un miembro que se sometesomete aa cargascargas transversales,transversales, eses decir,decir, perpendiculares a lo largo de su eje.perpendiculares a lo largo de su eje. 2.2 Tipos de cargas2.2 Tipos de cargas a) Carga puntual.-a) Carga puntual.- Un carga puntual es la queUn carga puntual es la que actúaactúa en un punto,en un punto, puede ser pepuede ser perpendicular o trpendicular o tenerener una inclinación con el eje principal de launa inclinación con el eje principal de la viga.viga.
b) Carga distribuida.-b) Carga distribuida.- Una carga distribuida es laUna carga distribuida es la queque actúaactúa aa lolo largolargo dede lala viga,viga, puedepuede serser distribuida uniformemente o tener una variación adistribuida uniformemente o tener una variación a lo largo de la viga.lo largo de la viga. Carga uniformementeCarga uniformemente distribuida:distribuida:
Carga con distribución variada:Carga con distribución variada:
Como podemos observar las cargasComo podemos observar las cargas distribuidasdistribuidas están representadas como figuras geométricasestán representadas como figuras geométricas entonces para hallar laentonces para hallar la resultanteresultante de una cargade una carga distribuidadistribuida basta conbasta con encontrarencontrar matemáticamentematemáticamente
su área, considerando que “q” representa la alturasu área, considerando que “q” representa la alturade lade la figurfigura qua que repe represenresentata aa la cala carga.rga. Por ePor ejempjemplolo hallarhallar la resultantela resultante de la sigde la siguiente figura:uiente figura:
θθ
PP 11 PP 22 PP 33
qq
qq
qq 11
qq 22
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICASSOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS
LaLa (^) resultanteresultante de la cargade la carga distribuidadistribuida en forma den forma dee un triangulo es el área de un triangulo,un triangulo es el área de un triangulo,
convencionalmente el área de un triangulo es:convencionalmente el área de un triangulo es:
bhbh
AA
Entonces la resultante será:Entonces la resultante será:
LqLq
RR
Esta resultante actúa en elEsta resultante actúa en el centro geométrico de lacentro geométrico de la figurfigura qua que repe represenresenta ata a lala cargacarga..
La unidad deLa unidad de “q” puede ser“q” puede ser “KN/m” o“KN/m” o “Ton/m”“Ton/m”,, entonces la unida de laentonces la unida de la resultanteresultante será “KN” oserá “KN” o “Ton” respectivamente.“Ton” respectivamente.
c)c) Carga dCarga de momento pue momento puntualntual.-.- Es una cargaEs una carga que actúa en un punto de la viga, en una ecuaciónque actúa en un punto de la viga, en una ecuación de fuerzas internas, específicamente en la ecuaciónde fuerzas internas, específicamente en la ecuación de momento, representa un salto de momento.de momento, representa un salto de momento.
2.22.2 Planteamiento dPlanteamiento de ecuacionese ecuaciones de fuerzasde fuerzas internas.internas. Se tiene cualquier estructura y unaSe tiene cualquier estructura y una disposición dedisposición de cargas en la viga:cargas en la viga:
2.12.1 EcuacEcuaciones de equiliiones de equilibrio:brio: 1º Esta ley garantiza el1º Esta ley garantiza el equilibrio de traslación:equilibrio de traslación:
FF^00
Sus componentes rectangulares son:Sus componentes rectangulares son:
FFxx^ ^00 FFyy^00
2º Esta ley garantiza el2º Esta ley garantiza el equilibrio de rotación:equilibrio de rotación:
MM ^00 La formulación de estas ecuaciones en formaLa formulación de estas ecuaciones en forma correcta nos lleva a determinar las rcorrecta nos lleva a determinar las reacciones deeacciones de apoyo de la viga.apoyo de la viga. 2.2 Relac2.2 Relación delión del MomenMomento flectoto flector con lar con la Cortante:Cortante: Signos:Signos:
dxdx
QQ (^) xx dMdMxx
Signos:Signos:
dxdx
dMdM QQ (^) xx xx
2.3 Momento máximo:2.3 Momento máximo: El momento máximo se da:El momento máximo se da:
xx ^ xx ^00 QQxx^00 dxdx
dMdM QQ
En el punto donde la CortanteEn el punto donde la Cortante QQ (^) xx es igual aes igual a cero se produce el máximo momento delcero se produce el máximo momento del tramo, pero no siempre de latramo, pero no siempre de la viga completa.viga completa.
2.42.4 EcuacEcuación deión de la Norla Normal y Comal y Cortantrtante en vigase en vigas inclinadas:inclinadas:
sinsin coscos
coscos sinsin QQ FHFH FVFV
NN FHFH FVFV
xx
xx
Los signos se asumirán de acuerdo aLos signos se asumirán de acuerdo a cadacada caso.caso. Para determinar losPara determinar los signossignos en forma rápidaen forma rápida lesles presento un cuadro que representa todas laspresento un cuadro que representa todas las
+Q+Q +M+M
+M+M
+Q+Q
qq
LL
RR
LL
LL
RR
MM
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EsfuerzoEsfuerzoSSSS PP 11 LILISSSS xxxx 11
DondDonde:e: P1= FueP1= Fuerza punrza puntualtual en el pen el punto 1unto 1.. LI=Valor de la línea de influencia en elLI=Valor de la línea de influencia en el pupuntntoo x1x1.. 4.2 Línea de influencia para una carga4.2 Línea de influencia para una carga distribuida:distribuida:
EsfuerzoEsfuerzo SSSS AreaAreaLL..II .. xxxxxxxx^2211 qq
Donde:Donde: Área L.I.= ÁreaÁrea L.I.= Área de la líde la línea de influnea de influenciaencia comprendida entre los puntos x1 y x2.comprendida entre los puntos x1 y x2. q= Valor de laq= Valor de la carga distribuidacarga distribuida 5.5. CeCerchrchasas 5.1 Método de los nudos5.1 Método de los nudos El concepto básico de este método consiste enEl concepto básico de este método consiste en estudiarestudiar cadacada nudonudo deldel entramadoentramado yy aplicaraplicar ecuaciones de equilibrio.ecuaciones de equilibrio. Por cada nudo se forma dos ecuaciones, por loPor cada nudo se forma dos ecuaciones, por lo tanto, se tiene que tener también solamente dostanto, se tiene que tener también solamente dos barras como incógnitas.barras como incógnitas.
La fuerza que sale del nudo esLa fuerza que sale del nudo es TracciónTracción::
La fuerza que entra al nudo esLa fuerza que entra al nudo es CompresiónCompresión::
Las ecuaciones a aplicar son:Las ecuaciones a aplicar son:
Se forma dos ecuaciones y se tiene dos incógnitas,Se forma dos ecuaciones y se tiene dos incógnitas, es posibles posible solucie solucionar el sisteonar el sistemama y determiy determinar lasnar las fuerzas normales.fuerzas normales. 5.25.2 MétMétodoodo de lade las secs secciocionesnes o coo cortertess EsteEste métodométodo eses convenienteconveniente usarlousarlo cuadocuado queremos determinar la fuerza normal de unaqueremos determinar la fuerza normal de una barra en particular y de forma rápida. Consiste enbarra en particular y de forma rápida. Consiste en realizar cortes y aplicando ecuaciones derealizar cortes y aplicando ecuaciones de momentomomento en un punto se puede obtener el valor de la fuerzaen un punto se puede obtener el valor de la fuerza normal deseada.normal deseada. Es iEs impmporortatantnte tee tenener enr en cucuenentata cócómomo se vse va aa a realizarrealizar elel corte,corte, puespues dede estoesto dependendependen laslas ecuaciones a formular.ecuaciones a formular.
5.15.1 CoefCoeficienticientes de Tensión:es de Tensión:
jj jyjy yy
jj jxjx xx tt LL PP
tt LL PP
Donde: tDonde: tjj: Tensión en la barra “j”.: Tensión en la barra “j”. LLjxjx: Longitud proyectada al eje x de la: Longitud proyectada al eje x de la barra “j”.barra “j”. LLjyjy: Longitud proyectada al eje y de la: Longitud proyectada al eje y de la barra “j”.barra “j”. PPxx: Carga aplicada respecto al eje x.: Carga aplicada respecto al eje x. PPyy: Carga aplicada respecto al eje y.: Carga aplicada respecto al eje y. 5.25.2 Fuerza NorFuerza Normal dadamal dada el coeficienteel coeficiente dede tensión:tensión:
NN (^) jj ttjjLL jj
DoDondnde:e: NNjj: Fuerza Normal en la barra: Fuerza Normal en la barra “j”.“j”. ttjj: Coeficiente de tensión en la: Coeficiente de tensión en la barra “j”.barra “j”.
- Cables6. Cables^ LLjj: Longitud de la barra “j”.: Longitud de la barra “j”.
TT HH^22 VV^22
HH
VV tgtg 11
Donde: T: Tensión del cable.Donde: T: Tensión del cable. H: Componente horizontal.H: Componente horizontal. V: Componente verticalV: Componente vertical αα θ: Angulo de inclinaciθ: Angulo de inclinación del cable.ón del cable.
yy
xx
TT 11
TT 22
FFxx^00
FFyy ^00
ββ
TT 11 CosCos TT 22 CosCos 00
TT^11 SenSen TT^22 SenSen 00
