Análisis de radicados y operaciones con radicales, Resúmenes de Matemáticas

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FÓRMULASFÓRMULAS

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

PRESENTACIÓNPRESENTACIÓN

Al igual que René Descartes, gran matemático y filósofo del siglo XVII, quien hubiera pre-

ferido una ciencia única o “matemática universal”, que explique el orden y la medida de la

naturaleza, sin importar si la unidad de medida son números, o ecuaciones o gráficos, el

presente “Formulario Matemático” pretende realizar una exposición de todos los métodos

matemáticos en un solo documento.

Como es habitual, Editorial Lexus pone a disposición del estudiante avanzados recursos que

contribuirán a minimizar diferencias teóricas y prácticas entre el nivel secundario y la uni-

versidad. Se ha pretendido crear un manual educativo para que el alumno en la etapa pre-

universitaria, a través de la práctica directa de sus ejercicios, pueda auto-evaluarse y pronos-

ticar sus capacidades con vistas a iniciar sus estudios superiores. Y, al mismo tiempo, servir

como obra de consulta general.

La preparación de esta formidable obra ha sido posible debido a la participación de un selec-

to equipo de estudiantes universitarios y calificados docentes especialistas. Este libro resu-

me más de 4 mil maravillosos años de investigación matemática. Desde las antiguas aritmé-

tica y álgebra, escudriñadas por babilonios y egipcios hasta las modernas técnicas y aplica-

ciones, que permiten actividades cotidianas de complicado análisis, como el pronóstico del

tiempo, el movimiento bancario o la telefonía móvil, imposibles sin el concurso de todas las

disciplinas matemáticas.

Este manual incluye secciones de Física y Química pues, como señalaba Von Neumann, las

matemáticas poseen una doble naturaleza: las matemáticas como cuerpo científico propio,

independientes de otros campos, y las matemáticas relacionadas con las ciencias naturales.

De hecho, muchos de los mejores resultados alcanzados en las matemáticas modernas han

sido motivados por las ciencias naturales y, similarmente, hay una tremenda matematización

de las partes teóricas de dichas ciencias

1

El método práctico utilizado en toda la extensión de esta obra, conduce al lector de una

manera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo,

con numerosos ejercicios resueltos y propuestos. La resolución de problemas y el repaso

teórico no dudamos que le darán al estudiante una base muy sólida para que destaque en

las aulas universitarias de pre-grado o post-grado.

Los Editores

(^1) Referencias históricas consultadas en: José M. Méndez Pérez. “Las Matemáticas: su Historia, Evolución y Aplicaciones”. Archivo online: http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/HasierakoIkasgaiak/Mendez2003-04-extendida.doc.

SUMARIO SUMARIO

DEFINICIÓN

Es aquella parte de la matemática pura elemental que se ocupa de la composición y descomposición de la cantidad expresada en números.

Lógica Matemática

DEFINICIÓN

La lógica es la ciencia que estudia los procedimien- tos para distinguir si un razonamiento es correcto o incorrecto; en este sentido, la LÓGICA MATEMÁ- TICA analiza los tipos de razonamiento utilizando modelos matemáticos con ayuda de las PROPOSI- CIONES LÓGICAS.

PROPOSICIONES LÓGICAS

Una proposición lógica es el conjunto de palabras que, encerrando un pensamiento, tiene sentido al AFIRMAR que es VERDADERO o al AFIRMAR que es falso. Las proposiciones se calsifican en:

1. Simples o Atómicas
2. Compuestas o Moleculares

CONECTIVOS LÓGICOS Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para relacionar o juntar proposiciones simples (atómicas) y formar proposiciones compuestas (moleculares).

F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O

ARITMÉTICA ARITMÉTICA

CONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE

~ Negación no, n es cierto que, no es el caso que, etc.

∧ ó • Conjunción y, pero, sin embargo, además, aunque, etc. ∨ Disyunción o, y/o inclusiva

CONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE

∆ Disyunción^ o … o… exclusiva

⇒ Condiciona entonces, si … entonces …, dado que … … siempre que …, en vista que …, implica …, etc.

⇔ Bicondicional … si y sólo si …

PROPOSICIONES SIMPLES

Las proposiciones simples o atómicas se representan por las letras p, q, r, s, t, etc. y pueden ser verdaderas o falsas.

Ejemplos:

p: Juan Estudia q: Andrés es un niño r: Stéfano no juega fútbol s: Alejandra está gordita t: Christian es rubio u: Alescia habla mucho

PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS

Son las siguientes, formadas a partir de proposi- ciones simples:

Negación: ~ p Se lee: “no p”, “no es cierto que p”, etc.

Conjunción: p ∧ q Se lee: “p y q”, “p pero q”, “p sin embargo q”, etc.

Disyunción: p ∨ q Se lee: “p o q” , “p y/o q”

Disyunción Exclusiva: p ∆ q Se lee: “o p o q”

Condicional: p ⇒ q Se lee: “si p, entonces q”, “p implica q”, etc.

Bicondicional p ⇔ q Se lee: “p si, y sólo si q”

TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES

COMPUESTAS BÁSICAS

NEGACIÒN CONJUNCIÒN

p ~ q p q p ∧ q V F V V V F V VF F FV F FF F

DISYUNCIÓN DISYUNCIÓN INCLUSIVA EXCLUSIVA p q p ∨ q p q p ∆ q VV V V V F VF V VF V FV V FV V FF F FF F

CONDICIONAL BICONDICIONAL p q p ⇒ q p q p ⇔ q VV V V V V VF F VF F FV V FV F FF V FF V

TIPOS DE PROPOSICIONES

TAUTOLOGÍA

Es una proposición cuyos VALORES DE VERDAD del OPERADOR PRINCIPAL son TODOS VERDA- DEROS, cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. Ejemplo: p q p ∧ q ⇒ (p ∨ q) VV V V V VF F V V FV F V V FF F V F

10. DEL CONDICIONAL:

a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q

b) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q

“En una proposición, la condicional equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente, y la negación de una condicional equivale a una conjunción del antecedente con la negación del consecuente”.

11. DEL BICONDICIONAL:

a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) ≡ ~ (p ∆ q)

12. DE LA ABSORCIÓN:

a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

b) p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q c) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

d) p ∨ (~ p ∧ q) ≡ p ∨ q

13. DE TRANSPOSICIÓN:

a) (p ⇒ q) ≡ (~ q ⇒ ~ p)

b) (p ⇔ q) ≡ (~ p ⇔ ~ q)

14. DE EXPORTACIÓN:

a) ( p ∧ q) ⇒ s ≡ p ⇒ (q ⇒ s)

b) (p 1 ∧ p 2 ∧ …∧ pn) ⇒ s ≡ (p 1 ∧ p 2 ∧ …∧ pn-1 ) ⇒ (Pn ⇒ s)

15. MODUS PONENS:

[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

“En una premisa condicional; si se afirma el antecedente, entonces se concluye en la afirma- ción del consecuente”.

16. MODUS TOLLENS:

[(p ⇒ q) ∧ ~ p] ⇒ ~ p

“En una proposición, si se niega el consecuente de una premisa condicional entonces se concluye en la negación del antecedente”.

17. DEL SILOGISMO DISYUNTIVO:

[(p ∨ q) ∧ ~ p] ⇒ q

“En una proposición, cuando se niega el antecedente de la premisa de una disyunción, se concluye en la afirmación del consecuente”.

18. DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE:

[(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q

“En una proposición, cuando se afirma que uno de los miembros de una bicondicional es ver- dadera, entonces el otro miembro también es ver- dadero”.

19. DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO:

[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)

“En una proposición, el condicional es transitivo”.

20. DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA:

[(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (p ⇔ s)

“En una proposición, el bicondicional es tran- sitivo”.

21. DE LA SIMPLIFICACIÓN:

(p ∧ q) ⇒ p

“En una proposición, si el antecedente y conse- cuente de una conjunción son verdades, entonces cualquiera de los dos términos es verdad”.

22. DE ADICIÓN:

p ⇒ (p ∨ q )

“En una proposición, una disyunción está impli- cada por cualquiera de sus dos miembros.

P R I N C I P A L E SP R I N C I PA L E S S Í M B O L O SS Í M B O L O S

TEORÍA DE CONJUNTOS

CONCEPTOS BÁSICOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de un todo único de objetos definidos, dis- tinguiles por nuestra percepción o nuestro pen- samiento y a los cuales se les llama elementos. Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles son los elementos que forma el conjunto.

FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO

a) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explí- citamente los elementos del conjunto. También se llama forma constructiva. Ejemplos:

i ) A = {a, b, c, d} ii )
= {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … } b) Por comprensión.- Cuando los elementos del conjunto pueden expresarse por una propiedad común a todos ellos. También se le llama forma simbólica. Ejemplos: i ) M = {x/x = vocal } Se lee: “M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”. ii ) B = {x e
/ -2 < x < 3} Se lee: “B es el conjunto de las x que pertenecen a los números enteros, donde x es mayor que -2 pero menor que 3”.

F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O

Símbolo Lectura

∈ … pertenece…

∉ … no pertenece…

φ Conjunto vacío

≡ … equivalente…

≠ … diferente…

⊂ … está incluido

⊆ … está incluido estrictamente

⊄ … no está incluido…

∪ … unión…

∩ … intersección…

/ … tal que …

∼ … es coordinable…

… no es coordinable…

 Conjunto Universal

∆ … diferencia simétrica…

∀ Para todo

Símbolo Lectura

∃ existe…

∃! existe un … sólo un …

∃/ no existe

η cardinal de…

⇒ implica; entonces…

⇔ … si y sólo si…

conjunto de partes de…

P potencial del …

∧ … y …

∨ … o …

 o … o …

A’ Complemento de A con Respecto

al conjunto Universal 

< … es menor que …

> … es mayor que …

≤ … es menor o igual que … ≥ … es mayor o igual que …