FORMULARIO DE VARIABLE COMPLEJA
z = x + iy, Re z = x, Im z = y; x
1
+ iy
1
= x
2
+ iy
2
si y
solo si x
1
=x
2
y y
1
=y
2
.
(x
1
+ iy
1
) + (x
2
+ iy
2
) = (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
).
(x
1
+ iy
1
)*(x
2
+ iy
2
)=(x
1
x
2
–y
1
y
2
) + i(y
1
x
2
+x
1
y
2
)
( )
.0,
2222
1
≠
+
−
+
+
=
−
z
yx
y
i
yx
x
z ,
1
21
2
1−
=zz
z
z
22
yxz +=
,
iyxz −=
,
2121
zzzz +=+
21
21
zzzz =
;
2
zzz =
,
2121
zzzz =
2121
zzzz +≤+
θ
cosrx =
θ
senry =
θ
cisrz =
)cis(
212121
θ
θ
+
=
rrzz
;
)cis(
21
2
1
2
1
θθ
−= r
r
z
z
θ
nrz
nn
cis=
;
n
k
rz
n
n
)º360(
cis
/1
+
=
θ
)(zfw =
;
),(),()( yxivyxuzf +=
)sen(cos yiyee
xz
+=
;
wzwz
eee =
+
;
0≠
z
e
xz
ee =
;
periodica es
z
e
;
zz
ee =
Ζ∈=⇔= nnize
z
,21
π
;
i
ee
z
iziz
2
sen
−
−
=
2
cos
iziz
ee
z
−
+
=
;
1cossen
22
=+ zz
)sen()sen( zz
−
=
−
;
)cos()cos( zz =−
wzwzwz sencoscossen)sen( ±=±
wzwzwz sensencoscos)cos(
∓
=±
2
senh
zz
ee
z
−
−
= ;
2
cosh
zz
ee
z
−
+
=
1senhcosh
22
=− zz ;
)senh()senh( zz −=−
)cosh()cosh( zz =−
wzwzwz senhcoshcoshsenh)senh( ±=±
wzwzwz senhsenhcoshcosh)cosh( ±=±
zii z senhsen
=
;
ziz coshcos =
zizz arglnln +=
abb
ea
ln
=
. Sea
C⊂Af :
con A abierto y
C∈L
Lzf
zoz
=
→
)(lim si para toda e>0 existe d > 0 tal que para
δ
<−<
0
0zz
se tiene que
ε
<− Lzf )(
. Si
)(lim zf
zoz→
existe este es único. Si
Lzf
zoz
=
→
)(lim
y
Mzg
zoz
=
→
)(lim
,
entonces:
MLzgzf
zoz
+=+
→
)()(lim
LMzgzf
zoz
=
→
)()(lim
M
L
zg
zf
zoz
=
→
)(
)(
lim
Si f y g son iguales en una vecindad de z
0
excepto en z
0
y
Lzf
zoz
=
→
)(lim
entonces
Lzg
zoz
=
→
)(lim
Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y), entonces:
21
)(lim iLLLzf
zoz
+==
→
si y solo si
1
)0,(),(
),(lim Lyxu
yxoyx
=
→
y
2
)0,(),(
),(lim Lyxv
yxoyx
=
→
.
f es continua en z
0
si )()(lim
0
zfzf
zoz
=
→
Si f y g son continuas en z
0
entonces:
f+g es continua en z
0
. fg es continua en z
0
f/g es continua en z
0
siempre que g(z
0
)
≠
0
f(z)=u(x,y) + iv(x,y) es continua en z
0
=x
0
+iy
0
si y solo si
u(x,y) y v(x,y) son continuas en (x
0
, y
0
).
z
zfzzf
zf
z
∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim)('
0
0
0
0
0
)()(
lim)(' zz
zfzf
zf
zz
−
−
=
→
a)
f es derivable en z
0
si f’(z
0
) existe.
f es derivable en A
⊂C
si f’(z
0
) existe
∀
z
0
∈
A, en este
caso se dice que f es analítica u holomorfa en A.
b.
f es analítica en z
0
si f’ existe en una vecindad de
z
0
.
Una función analítica en
C
se llama entera.
Si f’(z
0
) entonces f es continua en z
0
.
Teorema de Cauchy – Riemann.
Si f(z)=u+iv es
analítica en z
0
=x
0
+iy
0
entonces las funciones u y v
satisfacen:
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
y
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂ en (x
0
, y
0
)
x
v
i
x
u
zf ∂
∂
+
∂
∂
=)('
y
u
i
y
v
zf ∂
∂
−
∂
∂
=)('
y
u
i
x
u
zf ∂
∂
−
∂
∂
=)('
x
v
i
y
v
zf ∂
∂
+
∂
∂
=)('
f(z)=u+iv es analítica en (x
0
,y
0
) si y solo si u y v tienen
primeras derivadas parciales continuas en (x
0
,y
0
) y
satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann en
(x
0
,y
0
).
Si f y g son analíticas en A, entonces:
f+g es analítica en A y (f+g)’ = f’ + g’.
fg es analítica en A y (fg)’ = fg’ + f’g.
f/g es analítica en A y (f/g)’=(gf’-fg’)/g
2
g
≠0.
Integrales:
∫∫
=
b
a
dtttfdzzf )('))(()(
γγ
γ
[ ][ ]
dttiytxyxivyxudzzf
b
a
)(')('),(),()( ++=
∫∫
γ
∫∫
⋅+⋅−
γγ
),(),(),(),( dydxuvidydxvu
[
]
∫∫∫
+=+
γγγ
dzzgdzzfdzzgzf )()()()(
∫∫
−=
−
γγ
dzzfd zzf )()(
∫∫∫
+=
+2121
)()()(
γγγγ
dzzfdzzfdzzf
∫∫
Γ
=dzzfdzzf )()(
γ
Si
Γ
es una reparametrización de
γ.
Si
∃
F analítica tal que F’=f entonces:
)(
)(
|)())(())(()(
b
a
zFaFbFdzzf
γ
γ
γ
γγ
=−=
∫
Teorema de Cauchy – Goursat.
Si f es analítica dentro
y sobre una curva cerrada simple, entonces:
∫
=
γ
0)( dzzf
Si f es analítica en una región simplemente conexa A y
γ
es suave en A, entonces:
∫
=
γ
0)( dzzf
.
Análisis de Fourier
Si n y m
∈
Ζ
, no negativos distintos,
∫ ∫
− −
==
π
π
π
π
0)sen()sen()cos()cos( dxnxmxdxnxmx
Para cualquier par de enteros m y n
∫
−
=
π
π
0)sen()cos( dxnxmx
Para cualquier entero positivo n:
∫ ∫
− −
==
π
π
π
π
π
dxmxdxnx )(sen)(cos
22
Sea f una función integrable en [-L, L], los coeficientes
de fourier en [-L, L] son: ∫
−
=
L
L
dxxf
L
a)(
2
1
0
∫
−
=
L
L
n
dx
L
xn
xf
L
a)cos()(
1
π
∫
−
=
L
L
n
dx
L
xn
xf
L
b)sen()(
1
π
La serie de Fourier de f es:
∑
∞
=
+
+
1
0
sencos
nnn
L
xn
b
L
xn
aa
ππ
Sea f una función integrable en [-L, L]. Si f es par
⇒
∫∫
=
−
LL
L
dxxfdxxf
0
)(2)(
Si f es impar
0)( =
∫
−
L
L
dxxf
Si f es par, la serie de fourier es
∑
∞
=
+
1
0
cos
nn
L
xn
aa
π
en donde
∫
=
L
dxxf
L
a
0
0
)(
1
y
∫
=
L
n
dx
L
xn
xf
L
a
0
)cos()(
2
π
Si f es impar su serie de Fourier es
∑
∞
=
1
sen
nn
L
xn
b
π
en
donde
∫
=
L
n
dx
L
xn
xf
L
b
0
)sen()(
2
π
Si f continua en [-L, L] y f(L)=f(-L) y f’ c.p.t entonces:
∑
∞
=
+
−=
1
cossen)('
nnn
L
xn
nb
L
xn
na
L
xf
πππ
∑
∫
∞
=
−
−
−
++= 1
0)cos(cossen
1
)()(
nnn
x
Ln
L
xn
b
L
xn
a
n
L
Lxadttf
π
ππ
π
La serie de Fourier en cosenos de f en [0, L] es como la
serie de una función par. La serie de Fourier en senos es
como la serie de una función impar.
La transformada finita de Fourier en senos F
s
de f se def:
∫
=
π
0
)sen()()( dxnxxfnF
s
. Sean f y f’ cont en [0, pi], f’’
c.p.t.
⇒
{
}
)()1()0()()('' 2
π
fnnfnFnxfS n
sn −−+−=
con n=1,2,3,...
La transformada finita de Fourier en cosenos F
c
de f:
∫
=
π
0
)cos()()( dxnxxfnF
c
. Sean f y f’ cont en [0, pi],
f’’ c.p.t.
⇒
{
}
)(')1()0(')()(''
2
π
ffnFnxfC
n
Cn
−+−−=
con n=1,2,3,...
Serie de Fourier compleja de f (con periodo T):
∑
∞
−∞=n
tin
n
ec
0
ω
donde
ω
0=2
π
/T y
∫
−
−
=
2/
2/ 0
)(
1
T
T
tin
n
dtetf
T
c
ω
La integral de Fourier o representación integral:
[ ]
∫
∞
+
0
)sen()()cos()(
1
ωωωωω
π
dtBtA
t
∈
R en donde:
∫
∞
∞−
=
ξωξξω
dfA )cos()()(
y
∫
∞
∞−
=
ξωξξω
dfB )sen()()(
La integral de Fourier en cosenos:
[ ]
∫
∞
0
)cos()(
1
ωωω
π
dtA
donde
∫∞
=
0
)cos()(2)(
ξωξξω
dfA
pasa lo mismo con la
integral de Fourier en senos.
La integral de fourier compleja:
[
]
∫
∞
∞−
ωω
π
ω
deC
ti
)(
1
donde:
∫∞
∞−
=
ξξω
ωξ
defC
i
)()(
La transformada de fourier:
∫∞
∞−
== dtetfFtfF
ti
ω
ω
)()()}({
La transformada inversa de Fourier:
∫
∞
∞−
−
==
ωω
π
ω
ω
deFtfFF
ti
)(
2
1
)()}({
1
Tabla de derivadas:
1=x
dx
d
dx
du
nuu
dx
dnn 1−
=
dx
dv
u
dx
du
vuv
dx
d+=
dx
du
u
u
dx
d
2
1
=
2
)/()/(
v
dxdvudxduv
v
u
dx
d−
=
si y=f(u), u=g(x):
dx
du
du
dy
dx
dy =
dx
du
uu
dx
dcossen =
dx
du
uu
dx
dsencos −=
dx
du
uu
dx
d
2
sectg =
dx
du
uu
dx
d
2
csccot −=
dx
du
uuu
dx
dtgsecsec =
dx
du
uuu
dx
dcotcsccsc −=
2
1
/
arcsen u
dxdu
u
dx
d
−
=
2
1
/
arccos u
dxd u
u
dx
d
−
−=
2
1
/
arctg u
dxdu
u
dx
d
+
=
2
1
/
cot u
dxdu
uarc
dx
d
+
−=
1
/
sec
2
−
=uu
dxdu
uarc
dx
d
1
/
csc
2
−
−= uu
dxdu
uarc
dx
d
dx
du
uu
dx
dcoshsenh =
dx
du
uu
dx
dsenhcosh =
dx
du
uhu
dx
d
2
sectgh =
dx
du
uuc
dx
d
2
coshtgh −=
dx
du
uhuhu
dx
dtghsecsec −=
dx
du
uhuhu
dx
dcothcsccsc −=
dx
du
u
u
dx
d1
ln =
dx
du
au
u
dx
d
a
ln
1
log =
dx
du
ee
dx
d
uu
=
dx
du
aaa
dx
d
uu
ln=
dx
dv
uu
dx
du
vuu
dx
d
vvv
ln
1
+=
−
INTEGRALES:
cudu +=
∫
cwvudwdvdu +−+=−+
∫
)(
1;
1
1
−≠+
+
=
+
∫
nc
n
u
duu
n
n
∫
+= cu
u
du ln
cedue
uu
+=
∫
.;
ln cteac
a
a
dua
u
u
=+=
∫
cuuduu +−=
∫
)1(lnln
cueduue
uu
+−=
∫
)1(
cuduu +−=
∫
cossen
cuduu +=
∫
sencos
∫
+= cuudu seclntg
cuduu +=
∫
senlncot
cuuduu ++=
∫
tgseclnsec
cuuduu +−=
∫
cotcsclncsc cuduu +=
∫
tgsec
2
cuduu +−=
∫
cotcsc
2
cuuduu +=
∫
sectgsec
cuuduu +−=
∫
csccotcsc
∫
+=
+c
aa
a
u
du 1
arctg
1
22
∫
+−=+
+
−
=
−
−
cc
au
au
au
du
a
u
a1
2
1
2
1
22
tghln
∫
+=+
−
+
=
−
−
cc
ua
ua
ua
du
a
u
a1
2
1
2
1
22
tghln
∫
+=
−c
a
u
ua
du arcsen
22
cauu
au
du +±+=
±
∫
22
22
ln
)(cosh)(senh 11
−+=++=
−−
c
a
u
c
a
u
c
a
u
a
auu
du +=
−
−
∫
1
22
sec
1
+−=−
−
∫
a
u
auauduua
1222
2
1
22
sen
±±=±
∫
22
2
1
22
(auuduau
cauua +±+ )ln
222