Funciones Trigonométricas y Hiperbólicas: Definición, Propiedades y Inversas, Diapositivas de Análisis Matemático

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Funciones Reales de variable real

Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ANÁLISIS I

Ing. Química – Ing. en Alimentos – Lic. en Análisis Qcos. y Bromatológicos

Funciones trigonométricas

Para caracterizar a estas funciones primero se recuerda lo definido sobre razones trigonométricas de un

ángulo α, a partir de una circunferencia con centro O y de radio 𝑟.

Se considera un punto 𝑃 = 𝑥, 𝑦 de la circunferencia. Se traza por P la

perpendicular al eje x que corta al mismo en Q. De esta manera queda

definido el triángulo rectángulo 𝑂𝑄𝑃.

Realizando los cocientes entre las medidas de sus lados, se define las razones:

0

0

0

cos 𝛼 =

0

0

0

Directas

0

sec 𝛼 =

0

0

0

Recíprocas

2

2

Algunas Relaciones entre ellas:

𝑠𝑒𝑛 2 𝛼 = 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∙ cos 𝛼

cos 2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠

2

2

2

2

2

2

Función coseno

Intersección con el eje de abscisas - ceros: 𝑥 = 2𝑘 + 1

¿Es biyectiva?

Será biyectiva si se restringe el dominio y

codominio, por ejemplo:

No es inyectiva tampoco es

sobreyectiva , por lo tanto no es

biyectiva.

Función tangente

Intersección con el eje de abscisas - ceros: 𝑥 = 𝑘𝜋

Será biyectiva si se restringe el dominio, por ejemplo:

No es inyectiva , por lo tanto no es biyectiva.

Es periódica: (período 2 𝜋)

Es periódica: (período 𝜋)

cos 𝑥 + 2 𝜋 = cos 𝑥

Inversas de las Funciones trigonométricas

Bajo ciertas restricciones las funciones trigonométricas son biyectivas, y por tanto, admiten inversa, tales funciones

reciben el nombre de arcos.

− 1

− 1

𝜋

2

𝜋

2

𝜋

2

𝜋

2

Inversa de la función seno

Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas se pueden definir geométricamente a partir de las coordenadas de puntos sobre una hipérbola

equilátera, de manera análoga a la construcción de las trigonométricas a partir de una circunferencia.

En este espacio no abordaremos este aspecto, ya que las funciones hiperbólicas pueden ser expresadas a partir de operar

con funciones exponenciales.

Función seno hiperbólico

𝑥

−𝑥

Intersección con el eje de abscisas - ceros:

Es biyectiva

Función coseno hiperbólico

𝑥

−𝑥

No tiene intersección con el eje de abscisas - ceros

Será biyectiva si se restringe

dominio y codominio.

𝑥

−𝑥

Función tangente hiperbólica

cosh 𝑥

𝑥

−𝑥

𝑥

−𝑥

Intersección con el eje de abscisas - ceros:

Será biyectiva si se restringe codominio.

cosh 𝑥

𝑥

−𝑥

𝑥

−𝑥

Inversas de las Funciones hiperbólicas

De manera análoga a las trigonométricas, bajo ciertas restricciones, las funciones hiperbólicas son biyectivas, y por tanto,

admiten inversa, tales funciones reciben el nombre de argumento.

Para la función seno hiperbólico, la inversa se denota 𝐴𝑟𝑔𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 , la del 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 es 𝐴𝑟𝑔𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 y la de la 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 es