Geometría Analítica: Introducción y Aplicaciones, Diapositivas de Cálculo

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GEOMETRÍA

ANALÍTICA

Ing. Ana Mariela Rincón

Definición

• (^) La geometría analítica es una rama de las matemáticas que

estudia con profundidad las figuras, para saber con detalle todos

los datos que tienen las figuras geométricas.

• (^) La geometría analítica representa las figuras geométricas

mediante una ecuación. Así, las rectas se expresan mediante la

ecuación general , las circunferencias y el resto de cónicas

como ecuaciones polinómicas de grado 2.

• (^) La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante

técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un

determinado sistema de coordenadas.

Problemas fundamentales de

la Geometría Analítica

Son dos: Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación. Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la grafica correspondiente. 1. 2.

Secciones cónicas CIRCUNFERENCIA PARABOLA ELIPSE HIPERBOLA Las Secciones Cónicas son las curvas de intersección de un plano con un cono circular recto. La curva obtenida depende de la inclinación del eje del cono con respecto al plano de corte. Existen cuatro curvas que se forman de esta manera. El matemático griego Apolunio estudió las secciones cónicas en el año 255 a.c.

**SECCIÓN CÓNICA Ecuación Canónica condici ón Ecuación General condici ón LA CIRCUNFERENCIA r 2 = (x – h) 2

• (y – k) 2 Ax 2
• By 2
• Cx + Dy + E = 0** A= B **LA PARÁBOLA (y – k) 2 = 4p (x – h) (x – h) 2 = 4p (y – k) By 2
• Cx + Dy + E = 0 Ax 2
• Cx + Dy + E = 0 LA ELIPSE (x – h) 2
• (y – k) 2 = 1 a 2 b 2** a>b^ **Ax 2
• By 2
• Cx + Dy + E = 0** A # B LA HIPÉRBOLA (x – h) 2

- (y – k) 2 **= 1 a 2 b 2 (y – k) 2

• (x – h) 2 = 1 a 2 b 2** a>b a<b a=b **Ax 2
• By 2

• Cx + Dy + E = 0** A # B A = B

LA CIRCUNFERENCIA C(h,k) r= radio -X X -Y Y DEFINICIÓN: La CIRCUNFERENCIA es el conjunto de puntos en R 2 que equidistan de un punto fijo llamado Centro C(h,k), una distancia fija llamada radio (r). P(x,y) r 2 =(x – h) 2

• (y – k ) 2 h k

Problemas fundamentales de

la Geometría Analítica

Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación. 1. r 2 =(x – h) 2

• (y – k ) 2

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Escribir la ecuación Canónica y General de la circunferencia de centro C(–3, –5) y radio 4. Graficar. Datos: h= – k= – r = 4

ECUACIÓN CANÓNICA

(x – h) 2

• (y – k) 2 = r 2 Reemplazo: (x –(-3)) 2
• (y – (-5)) 2 = (4) 2 (x +3) 2
• (y +5) 2 = 16 ECUACIÓN GENERAL Ax 2
• By 2 +Cx+Dy+E= 0 Ec. Canónica (x+3) 2
• (y +5) 2 = 16 x 2 +6x+9 + y 2 +10y +25= 16 x 2
• y 2
• 6x +10y+34–16 = 0 x 2
• y 2
• 6x +10y + 18 = 0 ordeno Resuelvo:

• • x y -x -y r= C

Problemas fundamentales de

la Geometría Analítica

Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la grafica correspondiente. 2. r 2 =(x – h) 2

• (y – k ) 2 Ax 2
• By 2
• Cx + Dy + E = 0 Punto C(h,k) Conjunto Vacio circunferencia

3. Determinar si la ecuación dada representa una circunferencia , un punto (.) ó el Conjunto Vacio (CV). 36x 2

• 36y 2
• 48x – 108y + 97 = 0 Ecuación General Ax 2
• By 2
• Cx + Dy + E = 0 , donde A=B De la ECUACIÓN GENERAL a la CANÓNICA r 2

0 Cicunferencia r 2 = 0 Punto r 2 < 0 Conjunto Vacio CASOS: 36x 2

• 36y 2
• 48x – 108y + 97 = 0 Divido en 36 x 2
• 4/3x + ____ + y 2

• 3y +____ = -97/ Ordeno y dejo un espacio para formar TCP x 2

• y 2
• 4/3x – 3y + 97/36 = 0 Formar TCP x 2
• 4/3x + (4/6) 2
• y 2

• 3y + (3/2) 2 = -97/36 + (4/6) 2

• (3/2) 2 El TCP forma un Binomio (^2) (x + 4/6)^2 + (y – 3/2)^2 = -97/36 + 16/36 + 9/ ECUACIÓN CANÓNICA (x +^ 4/6) 2
• (y – 3/2) 2 = 0 TCP TCP

3. Determinar si la ecuación dada representa una circunferencia , un punto (.) ó el Conjunto Vacio (CV). 2x 2

• 2y 2

• 12x + 2y + 1 = 0 Ecuación General Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 , donde A=B De la ECUACIÓN GENERAL a la CANÓNICA r 2

0 Cicunferencia r 2 = 0 Punto r 2 < 0 Conjunto Vacio CASOS: 2x 2

• 2y 2

• 12x + 2y + 1 = 0 Divido en 2 x 2
• 6x + ____ + y 2

• y +____ = – 1/ Ordeno y dejo un espacio para formar TCP x 2
• y 2

• 6x + y + 1/2 = 0 Formar TCP x 2
• 6x + (3) 2

• y 2
• y + (1/2) 2 = – 1/2 + (3) 2
• (1/2) 2 El TCP forma un Binomio (^2) (x – 3)^2 + (y + 1/2)^2 = – 1/2 + 9 + 1/ ECUACIÓN CANÓNICA (^) (x – 3) 2
• (y + 1/2) 2 = 35/ TCP TCP

r 2

0 Cicunferencia r 2 = 0 Punto r 2 < 0 Conjunto Vacio CASOS: ECUACIÓN CANÓNICA (x – 3) 2

• (y + 1/2) 2 = 35/ r 2 = 35/ r 2

0 circunferencia ECUACIÓN CANÓNICA (x – h)

2

• (y – k) 2 = r 2 h = 3 k = -1/ r = 1 r= x y -x -y 3 C(3,-½) (x – 3) 2
• (y + 1/2) 2 = 35/ 1 2

-½