REPÚBLICA BOLIVARINA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE MERCADOTECNIA
TEORIA DE LA PROBABILIDAD
(GUIA III y IV)
Profesor: Ana María Bordoñes
Asignatura: Estadística Aplicada I
Sección: CD4B
Caracas, 18 de octubre de 2020
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Guia III y IV Teoría de la Probabilidad, Guías, Proyectos, Investigaciones de Estadística Aplicada
Los métodos de estadística que se estarán resumiendo a continuación ofrecen una serie de herramientas que estudia el uso y los análisis provenientes de una muestra representativa de datos, además de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de la ocurrencia de una serie de sucesos que puede servir para indicar cómo se puede modificar las probabilidades.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2020/2021
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REPÚBLICA BOLIVARINA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE MERCADOTECNIA
TEORIA DE LA PROBABILIDAD
(GUIA III y IV)
Profesor: Ana María Bordoñes Asignatura: Estadística Aplicada I Sección: CD4B Caracas, 18 de octubre de 2020
Índice General INTRODUCCIÓN 03 TEOREMA DE BAYES 04 Definición, ejemplos 04 05 PROBABILIDAD CONDICIONAL 06 Definición, ejemplos 06 07 VARIABLE 08 Clasificación de variable 08 Cualitativa ordinal 08 Cualitativa nominal 09 Cuantitativa discreta 09 Cuantitativa continua 09 VARIANZA 10 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 11 12 VALOR MEDIO 12 13 14 15 CONCLUSIÒN 16 BIBLIOGRAFIA 17
TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes teólogo y matemático británico (1702-1761), estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de los efectos observados. El teorema que lleva su nombre se refiere a determinar la probabilidad que posee un suceso comparada con la probabilidad de otro suceso similar, de otro modo, el teorema de Bayes permite conocer la probabilidad condicional de un evento o suceso determinado como A dado B, en el que se estudia la distribución de probabilidad del suceso B dado A. Con el teorema de Bayes, se puede conocer la probabilidad de que un suceso A pase, teniendo presente lo ocurrido durante el evento B, igualmente existe la probabilidad de que suceda lo contrario donde ocurra B dado A. Donde: A y B son eventos, y además: P(B) ≠ 0. P(A|B): es la probabilidad de que ocurra A, dado que ha ocurrido B. P(B|A): es la probabilidad de que ocurra B, dado que ha ocurrido A. P(A): es la probabilidad de que ocurra A. P(B): es la probabilidad de que ocurra B. P(A/B) = P(A) x P(B/A) P(B)
Ejemplo: En una academia de música, la probabilidad de que a un alumno seleccionado al azar le guste el género rock es del 60 %, mientras que la probabilidad de que a un alumno le guste el género pop es del 36 %. Además, se sabe que la probabilidad de que a un alumno le guste el pop dado que le gusta el rock es del 40 %. Calcular la probabilidad de que a un alumno le guste el rock, dado que le gusta la pop. Solución: Primero se define los 2 eventos con los que se trabajara: R: que a un alumno le guste el género rock. P: que a un alumno le guste el género pop Se tiene los siguientes datos: P(R) = 0,6. P(P) = 0,36. P(P|R) = 0,4. Se pide calcular P(R|P). Aplicar el teorema de Bayes: P (R|P) = P (R) x P ( P|R) P(P) P (R|P) = 0,6 x 0,4 = 0,24 = 24 = 2= 0,6667 x 100 = 66,67% 0,36 0,36 36 3
interpretación que el observador les dé a los sucesos. La probabilidad condicional se calcula partiendo de dos sucesos o eventos (A y B) en un espacio probabilístico, indicando la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B. Se escribe P (A/B), leyéndose como “probabilidad de A dado B”. Ejemplo. Al 25% de los clientes que va a la heladería le gusta el helado de fresa y el de chocolate, mientras que al 60% le gusta solo el de chocolate. ¿Cuál es la probabilidad de que a un cliente que le gusta el helado de chocolate, le guste el helado de fresa? Se trabajará con 2 eventos: que a un cliente le guste la fresa, y que a un cliente le guste el chocolate. Evento A: que a un cliente le gusten la fresa. P(A) =? Evento B: que a un cliente le guste el chocolate. P(B) = 60 %. Evento A y B: que a un cliente le guste la fresa y el chocolate. P(A∩B) = 25 %. Calcular la probabilidad de que a un cliente le guste el helado de fresa, dado que le gusta el chocolate. P (A / B) = 25% = 25 = 5 = 0,4167 x 100 = 41,67% 60% 60 12 La probabilidad de que a un amigo le guste la fresa dado que le gusta el chocolate es del 41,67 %.
P (A / B) = P (A∩B)
P (B)
VARIABLES
El término variables se define, como las cualidades, propiedades o características de los sujetos de una población que pueden ser enumeradas o contadas (sexo, raza) o medidas cuantitativamente (peso, estatura) y cuyo valor varía de una a otra 1-3. Primero las variables se enuncian en forma conceptual, haciendo referencia a la definición de dimensiones, a partir de las cuales surgen las variables en estudio, en un nivel de generalidad. Luego, dichas variables deben ser trasladadas a un plano operativo, que permite la observación, recto y medición Clasificación de las variables Las variables se clasifican en cualitativas y cuantitativas. Variables cualitativas: Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser ordinales y nominales. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir: Variable cualitativa ordinal: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque
La Varianza (o Variancia) es una medida estadística de la dispersión (variabilidad) que se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones de las muestras respecto a la media. La Varianza se representa mediante el símbolo griego sigma al cuadrado (σ^2 ) y se formula de la siguiente manera: o también, de forma reducida: donde ( ) es la media aritmética de los valores analizados. La desviación típica (o desviación estándar) es la raíz cuadrada de la varianza, es decir σ. Ejemplo: Calcular la varianza de las siguientes puntuaciones de un jugador de baloncesto en los últimos partidos: Puntuaciones: 18, 20, 20, 22, 20, 20 Calculamos la media aritmética ( ): Número de valores: 6 Media Aritmética = (18 + 20 + 20 + 22 + 20 + 20) / 6 = 120 / 6 = 20 Calculamos la Varianza: Varianza σ2= = [(18-20) 2 + (20-20) 2 + (20-20) 2 + (22-20) 2 + (20-20) 2 + (20-20) 2 ] / 6 = 16 / 6 = 8 / = 2,
DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza,1654‐1705) y es la principal distribución de probabilidad discreta para variables dicotómicas, es decir, que sólo pueden tomar dos posibles resultados. Dicho proceso, consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que ocurra (éxito) y q=1‐p de que no ocurra (fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos posibles valores, el 1 si ocurre y el 0 sino sucede. La distribución binomial es un experimento que cumple cuatro condiciones El experimento consta de una frecuencia de n ensayos idénticos En cada ensayo a dos resultados posibles. A uno de ellos se llama éxito y el otro, fracaso La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, nunca cambia y se denota por p. Por ello, la probabilidad de fracaso será 1-p Los ensayos son independientes, de modo que el resultado de cualquiera de ellos no influye en el resultado de cualquier otro ensayo. Ejemplos:
El teorema del valor medio, también denominado teorema de Bonnet-Lagrange, teorema de los incrementos finitos, teoría del punto medio, o simplemente teorema del valor medio. Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) fue un físico, matemático y astrónomo italiano, que vivió entre Prusia y Francia. Además del teorema aquí recogido es célebre por la formulación en física del lagrangiano, una función escalar que permite obtener la evolución en el dominio del tiempo y otras propiedades importantes de un sistema dinámico. Esta, establece que si una función es continua en un intervalo [a,b], y derivable en su interior (a, b), entonces existe al menos un valor cϵ(a, b) tal que: El teorema de valor medio nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F'(x) = mf es decir, F'(x) = (F(b)-F(a))/(b-a). Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre cómo encontrarlo Hipótesis de partida son que la función f(x) es continua en [a, b] y, derivable en (a,b) Debemos llegar a la conclusión de que existe al menos un valor c, tal que f'(c)= f(b)−f(a) b−a f'(c)= f(b)−f(a) b−a
Para la demostración de este teorema se recurrirá a dos funciones auxiliares: De un lado, la función s(x), recta que secante que une a y b. De ella sabemos que tiene pendiente m=f(b,−,f,(a) / b−a, y que pasa por el punto (a, f(a)). Es decir, que cuando x=a, s(x)=f(a). Si se escribe la recta en su forma s(x)-f(a)=m(x-a) satisfacemos las condiciones anteriores. Podemos decir entonces que la función auxiliar buscada es: De otro lado, la función l(x)=f(x)-s(x), es decir, la función que, para cada valor de x devuelve la distancia que hay entre la función f(x) y la recta secante s(x) en el tramo considerado Interpretación geométrica, existe por lo menos, un punto c interior del intervalo (a-b) de manera que la tangente en el punto de curva (c, f(c) ) es paralela a la cuerda que une los puntos (a, f(a) ) y (b, f (b) ) s(x)=f(b)−f(a) (x−a)+f(a) b-a
CONCLUSIÓN.
Para concluir las medidas de dispersión ya sea con datos agrupados o no agrupados, permiten identificar qué tan próximos o distantes están los datos con respecto a un valor de referencia, el cual en términos estadísticos es la media aritmética; un análisis de los datos que se apoya en los valores de la mediana, la desviación estándar, la varianza, el coeficiente de variación, y el rango permite proponer hipótesis acerca del comportamiento de un grupo de valores de forma mucho más acertada en comparación a mirar solo un dato. Ejemplos a través de actividades que se han realizado se han podido diferenciar y entender la importancia de las medidas de dispersión y de las medidas de tendencia central en el diario vivir, actividades cotidianas como el volar en avión, pasar por un túnel, organizar una cena, o simplemente interactuar con un juego, se
encuentran enmarcadas en conceptos matemáticos de amplio conocimiento BIBLIOGRAFIA Soto. G. Teorema de Bayes. Libro Online file:///C:/Users/irene/OneDrive/Documentos/Univerity/10213-Texto %20del%20art%C3%ADculo-26992-1-10-20150210.pdf Martinez M. Marì M. Distribucion Binomial Universidad Politecnica de Valencia Libro online https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/7936/Distribucion %20binomial.pdf Rincón L. Una Introducción a la probabilidad y Estadística. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 México DF Libro digital. http://lya.fciencias.unam.mx/lars/libros/pe-agosto-2006.pdf Mordecki E. Probabilidad 8 de junio de 2007 http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf