guia practica estadistica 2, Ejercicios de Estadística

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Departamento de Métodos Cuantitativos (DEMEC)

Año 202 4

ESTADÍSTICA

EMPRESARIAL II

GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS

Contenido

• Hoja de Fórmulas......................................................................................................................
• PRACTICO 1. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
• PRACTICO 2. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA POBLACIÓN
  • Integración TP 2: Intervalos de Confianza
• PRACTICO 3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN
• EJERCICIOS INTEGRADORES
  • Integradores Primer Parcial
• PRACTICO 4. INFERENCIA PARA DOS POBLACIONES
• PRACTICO 5. PRUEBAS CHI-CUADRADO
• PRACTICO 6. ANALISIS DE REGRESION Y DE CORRELACION LINEAL SIMPLE
• EJERCITACIÓN TEÓRICA DE TODA LA MATERIA:
  • Intervalos de confianza:
  • Test de hipótesis
  • Comparación de dos poblaciones.........................................................................................
  • Contrastes chi cuadrado......................................................................................................
  • Regresión y correlación lineal
• EJERCICIOS INTEGRADORES
  • Integradores segundo parcial:.............................................................................................
  • Integraciones para Final
• ANEXO: CONSIDERACIONES TEÓRICAS Y EJERCICIOS RESUELTOS

PRACTICO 1. DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

Ejercitación:

Problema 1: Sabiendo que los montos abonados mensualmente en concepto de comisiones por ventas en la firma “Norte S. A.” se distribuyen normalmente con un promedio igual a US$ 4.700 y un desvío estándar igual a US$ 640, contestar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone como máximo US$ 5.400 en concepto de comisiones por ventas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone como mínimo US$ 4.900 en concepto de comisiones por ventas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone entre US$ 4.000 y US$ 5.000 en concepto de comisiones por ventas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se abone a lo sumo US$ 8.000 en concepto de comisiones por ventas? e) ¿En qué porcentaje de los meses el monto abonado en concepto de comisiones por ventas supera los US$ 1.000? f) ¿En qué porcentaje de los meses el monto abonado en concepto de comisiones por ventas queda comprendido entre US$ 4.200 y US$ 7.500? g) ¿Cuál es el monto no superado en el 24 % de los meses? h) ¿Cuál es el monto sólo superado en el 15 % de los meses? i) ¿Qué monto se debe reservar para pagar las comisiones por ventas del mes próximo, si se desea que la probabilidad de que dicha reserva resulte suficiente sea igual a 0,88? RESPUESTAS: a) 0,86214 b) 0,37828 c) 0,54 d) 1 e) 100 % f) 78,23 % g) US$ 4.248 h) US$ 5.363 i) US$ 5. Problema 2: Cierta empresa de radiotaxis ha calculado un gasto de mantenimiento promedio por cada unidad de 125 0 $ por mes, con un desvío estándar de 65 0 $. En una muestra de 50 vehículos de la empresa, a) Indique el promedio, variancia y distribución de la variable “gasto promedio de mantenimiento mensual por unidad” para la muestra de 50 taxis. b) Calcule la probabilidad de que en un mes la empresa gaste en promedio en mantenimiento más de 13 0 0 $ por unidad. c) Calcule la probabilidad de que la empresa gaste a lo sumo 110 0 $ promedio mensuales en mantenimiento por unidad. d) Calcule cuánto se gastará en promedio como mínimo en el 40% de los meses. e) Complete las siguientes frases:

1. En el 40% de los meses el gasto promedio de mantenimiento es de a la sumo …….. $.

2. En promedio en el 80% de los meses se gasta en mantenimiento de la flotilla como mínimo ……. $ por unidad
3. En el …..% de los meses se gasta en el mantenimiento de la flotilla más de 1400 $ promedio por unidad. RESPUESTAS: a) $ 125 0 , $^2 8450 , normal b) 0. c) 0.0514 d) $ 1273. 3 e1) $ 1226 .7; e2) $ 1172.6; e3) 5.14% Problema 3: Una multinacional llevó a cabo un relevamiento de los sueldos anuales de sus gerentes generales en los 14 países donde opera. Los resultados (en miles de US$) fueron: 125 79 82 62 109 158 102 55 120 105 91 88 104 100 a) Calcule el promedio y el desvío estándar de los sueldos anuales de todos los gerentes (¿son poblacionales o muestrales?)  b) Extraiga una muestra aleatoria de 5 sueldos y calcule su promedio y su desvío estándar (¿son poblacionales o muestrales?). Si tomara otra muestra de 5 sueldos, también al azar, ¿se mantendrían el promedio y el desvío? ¿Cómo se comporta entonces x? c) Indique qué error se está cometiendo si se estima la media poblacional basándose en alguna de las medias calculada en el ítem anterior.

RESPUESTAS: a) μ = US$ 98571;  = US$ 25278 b) x es una variable aleatoria

c) error muestral Problema 4: El peso de paquetes de café envasados automáticamente tiene distribución normal con un promedio de 500 gramos y un desvío típico de 12 gramos. a) Se selecciona un paquete al azar. Calcular la probabilidad de que dicho paquete pese entre 494 gramos y 506 gramos. b) Se extrae una muestra al azar de 9 paquetes. Calcular la probabilidad de que el peso promedio de dicha muestra quede comprendido entre 494 gramos y 506 gramos. c) Se extrae una muestra al azar de 25 paquetes. Calcular la probabilidad de que el peso promedio de dicha muestra quede comprendido entre 494 gramos y 506 gramos. d) Se extrae una muestra al azar de 100 paquetes. Calcular la probabilidad de que el peso promedio de dicha muestra quede comprendido entre 494 gramos y 506 gramos. e) Represente gráficamente la distribución de probabilidades de la media muestral en cada uno de los puntos anteriores. ¿Cambia la forma, el centro o la dispersión de la variable? RESPUESTAS: a) 0,38292 b) 0,86638 c) 0,98758 d) ≈ 1

PRACTICO 2. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA POBLACIÓN

Ejercitación:

Problema 1: En una ciudad del interior del país en la que habitan 100.000 familias se tomó una muestra al azar de 285 familias con la finalidad de analizar el ingreso mensual familiar y se obtuvo una media de U$S 2131. Suponga que el desvío estándar de los ingresos asciende a U$S 1772. a) Indique cuál es la unidad de observación, la variable aleatoria en estudio, la población de referencia y la muestra. ¿ U$S 2131 es el valor de un estimador o de un parámetro? ¿Y U$S 1772? Justifique su respuesta. b) Estimar el ingreso promedio mensual familiar con una confianza del 90 %. ¿Los resultados se aplican a las familias encuestadas, a todas las familias de la ciudad o a todas las familias del interior? c) Repetir la estimación, pero utilizando una confianza del 99%. d) Calcule la amplitud de ambos intervalos. ¿Es razonable que el segundo intervalo tenga una amplitud mayor que el primero? e) ¿Cuántas familias más se debería incluir en la muestra para reducir el error de muestreo de la estimación del punto b) en un 20 %? RESPUESTAS: a) la unidad de observación es cada familia, la variable aleatoria en estudio es el ingreso mensual, la población de referencia está constituida por las familias de la ciudad del interior del país y la muestra está formada por 285 familias. U$S 2131 es el valor de un estimador ya que se calculó sobre la muestra y U$S 1772 es el valor de un parámetro, ya que, al ser un dato histórico, se asume que se calculó sobre una gran cantidad de datos. b) Se estima que el ingreso promedio mensual familiar está comprendido entre U$S 1958 y U$S 2303. c) [U$S 1860; U$S 2401] d) U$S 345y U$S 541 e) Se deberían incluir 161 familias más en la muestra. Problema 2: El dueño de un comercio minorista desea estimar el tiempo promedio que demanda la atención de cada cliente, y sabe por estudios anteriores que dicho tiempo se distribuye normalmente con desvío estándar igual a 4,215 minutos. A tal efecto, registró la cantidad de minutos que le insumió la atención de seis clientes elegidos al azar y obtuvo los siguientes datos: 15 – 12 – 8 – 23 – 15 – 11 a) Efectuar la estimación requerida con un nivel de riesgo igual al 2 %. b) ¿Cuántos clientes más se debería observar para reducir el error de muestreo anterior en 1 minuto?

c) Basándose en la muestra original el comerciante estimó que el tiempo promedio de atención por cliente oscila entre 12,142 minutos y 15,858 minutos. ¿Cuál es el nivel de confianza de esta estimación? RESPUESTAS: a) [10; 18 min] b) 5 clientes más c) NC = 72 % Problema 3: Como parte de su control de calidad, la Química Erovne mide la temperatura, en °C, durante el ciclo de fabricación de un producto. Se sabe por registros históricos que la temperatura en dicho paso se distribuye normalmente con una variancia de 9°C^2. a) Si se desea estimar la temperatura media de un ciclo de fabricación con una confianza del 95% y un máximo error muestral de 2.5°C, ¿cuántas mediciones deberán efectuarse? b) Efectuadas las mediciones indicadas en a) se obtuvo una temperatura promedio de 92 °C. Efectúe la estimación solicitada. RESPUESTAS: a) 6 mediciones b) [89.6°C; 94.4°C] Problema 4: Las anchoas en filetes se envasan a mano en cierta empresa, a fin de garantizar una presentación óptima del producto. Interesa obtener una estimación de la velocidad de llenado de las latas por los operarios, para lo cual se registró, sobre una muestra de 25 operarios, la cantidad de latas completadas por cada operario por hora. Los resultados fueron: Velocidad (latas/hora) Cantidad de operarios 10 - 20 3 20 - 30 11 30 - 40 9 40 - 50 2 Dado que esta estimación se efectúa periódicamente en la empresa, se conoce el desvío estándar de la velocidad de llenado, que es de 8 latas/hora. a) Estime puntualmente la velocidad promedio de llenado manual de latas. b) Estime la velocidad promedio de llenado manual de latas con una confianza del 90%. c) Idem anterior, pero con una confianza del 99%. ¿Cómo afecta el aumento del nivel de confianza al error de estimación del intervalo de confianza? RESPUESTAS: a) 29 latas/h b) [26.37; 31.63 latas/h] c) [24.88; 33. latas/h] Problema 5 : A fin de mejorar la programación de turnos con pacientes, cierto centro médico desea estimar el tiempo que pasan los médicos de cabecera con cada paciente en el consultorio. Con tal fin se toma una muestra aleatoria de 20 citas, con las siguientes duraciones de consulta (en min): 15 5 18 32 28 10 14 19 25 7 12 8 16 12 9 13 20 5 17 20

Problema 8: Una universidad privada con 11000 alumnos, desarrolla políticas activas para desalentar el consumo de tabaco. Al inicio del ciclo lectivo se implementó una encuesta a fin de determinar la incidencia actual del tabaquismo entre su alumnado. Para ello fueron seleccionados 500 alumnos al azar, de los cuales 140 se declararon fumadores. a) Indique cuál es la unidad de observación, la variable aleatoria en estudio, la población de referencia y la muestra. b) Estime con una confianza del 90% la proporción de fumadores entre los alumnos de la universidad. Concluya. c) ¿Los resultados del punto anterior se aplican a los 500 alumnos seleccionados, a todos los alumnos de dicha universidad o a todos los alumnos universitarios? d) Si se desea que el error de muestreo de la estimación no supere el 2 % y que el nivel de confianza de la misma se mantenga igual al 90%, ¿cuántos alumnos más deberían consultarse? e) Con la misma muestra otro investigador estimó que el porcentaje de fumadores de la universidad estaba comprendido entre 26 % y 30 %. ¿Cuál fue el NC de esta estimación? f) En otra universidad se desea realizar una investigación similar y obtener una estimación del porcentaje de alumnos fumadores con las mismas características planteadas d), pero no se cuenta con ningún dato previo acerca del valor de dicho porcentaje. ¿Cuántos estudiantes se debería consultar? RESPUESTAS: a) la unidad de observación es cada estudiante, la variable aleatoria en estudio es condición del alumno (fumador/no fumador), la población de referencia son los 11000 alumnos de la universidad y la muestra son los 500 alumnos encuestados. b) [0,247; 0,313] c) a todos los alumnos de esa universidad d) 864 alumnos más e) NC = 68 % f) n = 1692 alumnos Problema 9 : El comercio electrónico o e-commerce consiste en la distribución, compra, venta, marketing y suministro de información de productos o servicios a través de Internet. En nuestro país se encuentra en fuerte expansión, relacionado con la fuerte penetración de Internet. Una consultora llevó a cabo una encuesta entre 352 usuarios de Internet mayores de 30 años residentes en la ciudad de Buenos Aires y comprobó que sólo 39 de ellos efectuaron alguna compra por ese medio en el último año. a) Estime puntualmente la proporción de todos los usuarios de Internet mayores de 30 años residentes en la ciudad de Buenos Aires que efectúan compras por ese medio. b) Explíquele a alguien que no sabe estadística por qué no podemos sencillamente decir que el porcentaje de usuarios de Internet mayores de 30 años residentes en la ciudad de Buenos Aires que efectúan compras online es del 11,08%. c) Estime la proporción de todos los usuarios de Internet mayores de 30 años residentes en la ciudad de Buenos Aires que efectúan compras online, con una confianza del 95%.

d) ¿Cuántos usuarios deberían ser encuestados si se quiere tener un error muestral máximo del 1%? RESPUESTAS: a) 0.1108 c) [0.078; 0.144] d) 3785 usuarios Problema 10: Para una investigación de mercado, se desea estimar el porcentaje de actuales compradores de cierto yogurt que comprarían una presentación del mismo producto, pero de mayor contenido. a) Si se desea estimar el porcentaje de futuros compradores en ± 10% con un riesgo del 5%, ¿cuántos consumidores deberán ser encuestados? b) Efectuada la encuesta, 56 clientes respondieron que comprarían la nueva presentación. ¿Cuál sería el intervalo de confianza resultante? RESPUESTAS: a) 97 consumidores b) [0.479; 0.676] Problema 1 1 : Una consultora lleva a cabo un sondeo a fin de estimar la intención de voto de cierto partido político a dos semanas de las elecciones. El último sondeo arrojó un 29% de intención de voto, pero los analistas quieren confirmar si este porcentaje se mantiene. a) ¿Cuántos votantes deberán ser encuestados si se desea estimar el porcentaje de votantes de dicho partido en  2% con un riesgo del 1%? b) Suponga que la consultora tiene presupuesto para 800 encuestas. ¿Cuál será el error muestral resultante si se mantiene el nivel de confianza? RESPUESTAS: a) 3416 votantes b) EM = 4.13% para una confianza del 99% Problema 12: Para controlar la precisión de una máquina que corta piezas pequeñas de acero se toma una muestra de 35 piezas y al analizar la longitud de estas se encuentra una variancia de 64 milímetros^2. Estimar con una confianza del 99 % el desvío estándar de las longitudes de toda la producción, suponiendo que la longitud de las piezas se distribuye normalmente. RESPUESTA: Se estima que el desvío estándar de toda la producción está comprendido entre 6,08 mm y 11,48 mm. Problema 1 3 : Se desea invertir en una empresa y se sabe que las utilidades mensuales provenientes de dicha concesión se distribuyen en forma aproximadamente normal. Sin embargo, interesa la variabilidad de las utilidades, que es una medida del riesgo que se asume en el negocio. Se decide efectuar una estimación del desvío estándar máximo de las utilidades y para ello se extrae una muestra de 12 meses tomados al azar, obteniéndose un desvío estándar de U$S 14000. Efectúe la estimación solicitada con una confianza del 95%. RESPUESTA: U$S 21709

Integración TP 2: Intervalos de Confianza Una empresa se encuentra analizando el nivel de ventas mensuales que se sabe poseen distribución normal con un desvío de $12.000, y por otro lado estudia la cantidad de personas que consumen su producto de manera habitual. A tal fin sobre la base de una muestra de 12 meses obtuvo un promedio de ventas mensual de $100.000. Por otra parte, sobre una muestra de 200 consumidores, 120 de ellos declararon consumir los productos de la empresa de manera habitual.

1. Estimar con una confianza del 90%, la venta promedio mensual de la empresa
2. ¿Cuántos meses más se deberían relevar si se pretende reducir el error de muestreo anterior en un 60%?
3. Si un analista estimó que las ventas mensuales de esta empresa se encontraban entre (90.000;110.000), en base a los datos de la muestra original, ¿qué nivel de confianza utilizó?
4. Estimar el porcentaje de todas las personas que consumen el producto de manera habitual con una confianza del 95%
5. ¿Cuántas personas se debería entrevistar si se pretende que el error de muestro anterior se reduzca a la mitad?
6. Otra empresa desea estimar el porcentaje de consumidores habituales de su producto con un error de muestreo del 2% y un nivel de confianza del 95%, pero no cuenta con información de dicho porcentaje a nivel muestral, ¿cuántas muestras le aconsejaría tomar?
7. En otra empresa del mismo ramo, sobre la base de una muestra de 10 meses se detectó que el desvío estándar en las ventas mensuales fue de 15.000 pesos y un promedio de $95. a. Estimar con una confianza del 90% el desvío de las ventas mensuales para esta empresa. b. Estimar el promedio de todas las ventas mensuales promedio de esta otra empresa con una confianza del 90% c. ¿Cuántas meses se deberían relevar si se pretende que el error anterior disminuya a 6000 pesos? RESPUESTAS:

1. [94.304;105.698] 2) 64 meses más 3) 1 - =0,9961 4) [51,23%;66,78%] 5) 803 personas
2. 2.401 personas
3. a) [10.940;24.678,40] b) [86.304,80; 103.695,24] c) 19 meses

PRACTICO 3. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN

Ejercitación:

Problema 1: El dueño de una casa de comidas rápidas con entrega domiciliaria, decide controlar el rendimiento de sus empleados y se comunica telefónicamente con 14 clientes para verificar el tiempo de entrega de los pedidos y encuentra un promedio de 32 minutos. Si el tiempo de entrega en promedio de todos los pedidos es de media hora como máximo, el dueño dará un estímulo a sus empleados. Sabiendo que el tiempo de entrega se distribuye normalmente con desvío estándar igual a 8 minutos, y utilizando  = 10 %, a) ¿Aconsejaría al dueño de la casa de comidas que dé el estímulo a sus empleados? b) ¿Cómo explicaría el significado del valor de ? RESPUESTAS: a) No hay pruebas de que la afirmación del encargado sea incorrecta (32 es < a 32. min) b) La probabilidad de retirar el incentivo a los empleados cuando en realidad el tiempo promedio de entrega de todos los pedidos es como máximo media hora. Problema 2 : En una fábrica se producen pilas cuya vida útil promedio es de 78 horas con una variancia igual a 49 horas^2. Un ingeniero propone al dueño de la fábrica la adopción de un nuevo método de producción cuya implementación resultaría bastante costosa, pero si se comprobara que la duración de las pilas realmente se incrementa, el dueño estaría dispuesto a adoptarlo. La comprobación consistió en tomar una muestra de 28 pilas fabricadas con el nuevo método, y al hacerlo se observó una duración promedio de 82 horas. Se asume que el desvío no se modificará. a) ¿Con un nivel de significación del 2% aconsejaría cambiar el método de producción? b) ¿Qué tipo de error se puede estar cometiendo? ¿Con qué probabilidad máxima? c) Estime la duración promedio de las pilas fabricadas con el nuevo método con una confianza del 95%. d) Calcular la probabilidad de aconsejar el cambio si el promedio de la duración con el nuevo método fuera de 80 horas. e) ¿Cuántas muestras se deberían tomar si se pretende que la probabilidad anterior valga 0,6? RESPUESTA: a) Sí, porque el promedio de la muestra (82) es mayor a 80,72 hs. b) Se puede estar cometiendo un error de tipo I, es decir cambiar de método de producción cuando en realidad la duración de las pilas no aumentó, con un 0,02 de probabilidad. c) [79.4; 84.6 hs]; d) 1 − 𝛽 = 0 , 2931 ; e) 65 Problema 3 : Una pequeña empresa disminuye sus gastos administrativos encargando la confección de su documentación a un centro de tipeo que trabaja con un promedio de 1, errores por página con un desvío igual a 0,6. Otro centro similar le ofrece sus servicios a un costo un poco más alto, pero le asegura que la calidad de su trabajo es muy superior, es decir

42 cajas elegidas al azar. Suponga que el desvío estándar es igual a 6 jeringas y que la probabilidad de rechazar equivocadamente una partida se fija en 5%. a) Establecer la condición de rechazo y la regla de decisión. b) Se recibe una partida de la que se extraen al azar 42 cajas, siendo el contenido promedio de las mismas de 117 jeringas. ¿Qué decisión se tomará acerca de la compra de esta partida? c) Indicar cuál es el riesgo del comprador y cuál el del vendedor. d) Calcular la probabilidad de rechazar el pedido cuando la partida tenga un promedio de 118 jeringas por caja. e) ¿Qué cantidad de cajas deberán ser revisadas si se desea que la probabilidad calculada en d) valga 0,9? RESPUESTAS: a) CR: Si x < 118,5 se rechaza H 0. RD: Si se rechaza H 0 no se compra la partida. b) Se rechaza la partida. c) Riesgo del comprador: comprar una partida a pesar de que su contenido promedio es menor a 120 jeringas; la probabilidad de que esto ocurra es ß. Riesgo del proveedor: que le rechacen una partida a pesar de que su contenido promedio es de 120 jeringas o más; la máxima probabilidad de que esto ocurra es . d) 0. e) 78 cajas Problema 6 : El diámetro promedio de ciertas piezas producidas automáticamente debe ser igual a 3 mm para que el proceso de producción se considere bajo control. El ingeniero industrial a cargo de la producción desea establecer un control rutinario consistente en la extracción de una muestra de 30 piezas cada hora y si se detectara que el proceso de producción no está bajo control, detenerlo y revisar. El ingeniero establece que la probabilidad de detener innecesariamente la producción debe ser igual a 0,05. Por registros históricos se conoce que el desvío estándar de los diámetros analizados es igual a 0,84 mm. a) Indicar la hipótesis nula adecuada, la condición de rechazo y la regla de decisión. b) Si se implementa el control y la muestra de 30 piezas arroja un diámetro promedio de 2,89 mm. ¿detendría usted el proceso de producción? ¿Por qué? RESPUESTAS: a) 𝐻𝑜) 𝜇 = 3 𝐶𝑅: 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑋 ̅ 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 2. 7 𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 3. 3 , ∶ 𝑅𝐻𝑜 b) No, debido a que no se rechaza Ho, porque el promedio de la muestra está comprendido entre 2,7 mm y 3,3 mm. Problema 7: La fórmula del látex utilizado para guantes de uso en cirugía es exclusividad de cada fabricante. Uno de los fabricantes estudia la posibilidad de cambiar la fórmula actual por otra más costosa, siempre que pueda asegurar que el promedio de duración sea superior al de la fórmula actual, que es de 110 días. Se fija en un 5% la probabilidad de cambiar equivocadamente la fórmula actual por la nueva fórmula. Por otro lado, el desvío estándar del tiempo de duración es de 25 días y se piensa que no se modificará con la nueva fórmula.

La decisión se tomará extrayendo una muestra de 21 guantes y controlando la duración promedio de los mismos. a) Indique la hipótesis apropiada a esta situación, la condición de rechazo y la regla de decisión. b) Calcule la probabilidad de efectuar el cambio si el promedio de duración con la nueva fórmula es de 122 días. c) ¿Cuántas muestras más deberían tomarse si se pretende que la probabilidad anterior valga 0,9? d) Si en la muestra (de 21 guantes) se obtuvo una duración promedio de 130 días, ¿qué decisión se debería tomar? e) Estime con una confianza del 90% el promedio máximo de duración de los nuevos guantes. RESPUESTAS: a) 𝐻𝑜) 𝜇 ≤ 110 ; CR: Si x > 119 días se rechaza Ho. RD: Si se rechaza Ho se cambia a la fórmula más costosa. b) 0. c) 17 guantes más d) Se debería cambiar a la fórmula más costosa (Ya que el promedio muestral de 130 supera a 119) e) 137 días Problema 8 : Una fábrica dedicada a la producción en serie de cierto tipo de pieza tiene un tiempo de manufactura que se distribuye normalmente con un promedio de 6,2 minutos y un desvío estándar de 0,7 minutos. Se considera la posibilidad de incorporar una nueva máquina recientemente lanzada al mercado ya que se piensa que se pueden disminuir los tiempos de producción. Teniendo en cuenta el costo de la nueva máquina, solo se la adquirirá si se tiene una razonable seguridad de que con ella se logrará una disminución del tiempo medio actual. Luego de realizar 21 ensayos se obtuvo un promedio de 5 minutos. Si se fija en 5% el nivel de significación: a) ¿Qué decisión aconsejaría? b) Calcule la probabilidad de comprar la nueva máquina cuando el tiempo medio de producción fuera de 5.89 minutos. RESPUESTAS: a) Aconsejaría la compra debido a que el estimador (5 minutos) es menor al crítico de 5.95 minutos b) 0. Problema 9: La evaluación sensorial constituye una de las herramientas fundamentales del proceso de aseguramiento de la calidad de los alimentos. Se lleva a cabo un trabajo que tiene como finalidad medir la aceptabilidad de una nueva formulación de pasta de aceituna, utilizando consumidores habituales de este producto. Para ello, se efectúa una prueba de sabor con la nueva formulación, en la que una muestra de consumidores valora el agrado general en una escala estructurada de 0 a 10 0 (desagrado-agrado). Se decide que sólo si se

b) [11,37; 12,13 mg] c) 18 cigarrillos más Problema 1 2 : El dengue se transmite por un mosquito presente en aguas estancadas. Se lleva a cabo un estudio sanitario en varias localidades del GBA y se declarará emergencia sanitaria si en más del 40% de los depósitos de agua en lugares públicos están presentes larvas de dicho mosquito. Se toman 300 muestras de agua al azar de dichas localidades, observándose que 165 están libres del mosquito. Se establece en un 10% el riesgo de declarar erróneamente la emergencia sanitaria. a) ¿Considera que existen suficientes evidencias como para declarar la emergencia sanitaria? b) Estime el porcentaje de cuerpos de agua contaminados en dichas localidades con una confianza del 90%. RESPUESTAS: a) Sí, porque el porcentaje de muestras contaminadas (45%) es superior al 43.6%. b) [40.3; 49.7%] Problema 13: Una empresa que se dedica a la fabricación de insecticidas en aerosol, recibe reclamos en el 10% de sus unidades debido a fallas en el sistema de spray. Se está considerando cambiar el sistema de aerosol actual por otro más costoso, pero más efectivo. A fin de tomar una decisión, se fabrican 500 unidades con el nuevo sistema, encontrándose fallas en 38 de ellas. a) Con un riesgo del 5% de tomar una decisión incorrecta, ¿aconsejaría cambiar al sistema más costoso? b) Calcule la probabilidad de aconsejar el cambio al sistema más costoso si con él se lograse un 7% de unidades defectuosas. ¿Cómo se denomina esta probabilidad? ¿Es una decisión correcta? c) ¿Cuántas unidades más deberían haber sido fabricadas y probadas si se desea que la probabilidad calculada en el punto anterior valga 0,9? d) Interprete  y  en términos del problema. RESPUESTAS: a) Sí, porque 

p es inferior a 0.078.

b) 1- = 0. c) 248 unidades más d)  es la máxima probabilidad de decidir cambiar al sistema más costoso cuando éste en realidad no es más efectivo.  es la probabilidad de decidir no cambiar al sistema más costoso cuando éste en realidad es más efectivo que el sistema actual. Problema 14: Una población infantil se dice que es susceptible de recibir una campaña de educación e higiene si su porcentaje de niños con dientes cariados es superior al 15%. En una población de 12637 niños, un analista evalúa si debe efectuarse la campaña, siendo que, de 387 niños elegidos al azar, 65 tenían algún diente cariado.

a) Utilice = 0.1 y determine qué debería concluir el analista. ¿Qué error puede estar cometiendo con la decisión tomada? b) El analista se pregunta si, en caso de que el porcentaje de niños con caries en la población fuese 20%, qué probabilidad tendría de decidir lanzar la campaña. RESPUESTAS: a) No se aconseja iniciar la campaña ya que no existen evidencias de que el porcentaje de niños con caries sea superior al 15% (0.168 no es mayor que 0.173). Dado que no se rechazó Ho, el analista puede estar cometiendo un error de tipo II. b) 1 - β = 0, Problema 15 : En un control efectuado en una fábrica de mermeladas, se extrae una muestra al azar de 120 envases de un lote y se observa que 14 presentan un incorrecto pegado de las etiquetas. Las especificaciones de calidad admiten como máximo un 9% de envases incorrectamente etiquetados por lote, de lo contrario deberá efectuarse un ajuste en el proceso productivo. Si se fija en un 10% el nivel de significación. a) Con la información de la muestra ¿qué podría concluir? ¿Qué error podría estar cometiendo? b) ¿Cuál es la probabilidad de no efectuar el ajuste en el proceso productivo si el porcentaje de envases incorrectamente etiquetados es del 13%? ¿Cuáles son las consecuencias de cometer este error? c) ¿Cuántos envases deberían revisarse si se desea que la probabilidad calculada en el punto anterior valga la mitad? RESPUESTAS: a) Se concluye que no existen evidencias para asegurar que el porcentaje de envases incorrectamente sellados está por encima del máximo admitido (0.117 < 0.124). Se podría estar cometiendo un error tipo II. Se concluye que no existen evidencias para asegurar que el porcentaje de envases incorrectamente sellados está por encima del máximo admitido (Zcalculado=1.0207 < Zcrítico=1.2816). Se podría estar cometiendo un error tipo II. b) 0.416; producir productos fuera de la especificación c) 257 envases Problema 16 : Una nueva serie de TV en horario central debe demostrar que capta más del 20% de la audiencia después de su período inicial de 4 semanas para decir que tuvo éxito. Después de un mes del lanzamiento de una nueva serie, de una muestra aleatoria de 400 hogares, contactados telefónicamente, se encontró que 104 estaban viéndola. a) Utilizando un nivel de significación del 10 % y con la información de la muestra, ¿puede Ud. concluir que la serie tuvo éxito? b) ¿Cuál es la probabilidad, con una muestra de 400 hogares, de concluir que la serie no tuvo éxito si en realidad el 24 % de los hogares viese la serie? c) Si se desea que la probabilidad de decir que la serie tuvo éxito cuando el 24 % de las familias ven la serie valga 95%, ¿cuántas familias más deberían incluirse en la muestra?