Guía unam 2023, para si pasar o eso no sé la verdad, Exámenes de Matemáticas

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL´

ESCUELA SUPERIOR DE F´ISICA Y

MATEMATICAS´

XXIV

GU´IA TODOS LOS NIVELES

El concurso consta de tres niveles

Secundaria, Medio Superior y Superior.

Requisitos

1. Estar inscrito en cualquier escuela p´ublica o privada del pais.

2. El nivel inscrito en su escuela debe coincidir con el nivel en el

que participar´an en el concurso, por lo que se debe presentar

un comprobante de estudios vigente (credencial o constancia) al

momento de presentarse a la fase eliminatoria.

Etapas del concurso

1. Registro: 1 de junio al 13 de agosto del 2022 en la siguiente

direcci´on https://forms.gle/L6V5MpyXf9BZJjVo

2. Eliminatoria: 20 de agosto 10:00 a.m. en todas las sedes. Aque-

llos que obtengan mejor calificaci´on pasar´an a la siguiente etapa.

3. Final: 15 de octubre 10:00 a.m. en la ESFM - IPN.

4. Premiaci´on: 25 de noviembre del 2022 a las 12:00 p.m. en el

Auditorio ”V´ıctor Flores Maldonado”de la ESFM-IPN. Todos los

concursantes recibir´an diploma de participaci´on. Los ganadores

obtendr´an diploma y un presente de nuestros patrocinadores. Los

premios se entregar´an ´unicamente durante la Ceremonia de pre-

miaci´on.

La inscripci´on es gratuita, s´olo se realizar´a de manera electr´oni-

ca y no habr´a pr´orroga al periodo definido.

Concurso Pierre Fermat

Gu´ıa

1. Nivel secundaria

1. ¿Cu´al es el resultado de (361)^3 ?.
2. La suma de dos n´umeros impares positivos consecutivos es igual a una sexta parte de su producto incrementado en una unidad. ¿Cu´ales son tales n´umeros?
3. Determinar todos los valores de ϕ para los cuales cos(ϕ) = 1.000001 o cos(ϕ) = 0.
4. Encontrar la sexag´esima cuarta parte del n´umero 2^2022.
5. De acuerdo al siguiente tri´angulo

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 .. .

Determine en qu´e n´umero de fila aparece el octavo n´umero primo perteneciente a dicho tri´angulo.

6. ¿Cu´al es el ´ultimo d´ıgito del resultado de 7^2022?
7. Sea A, B y C los siguientes conjunto:

A = { 1 , 2 , { 3 }, 4 }, B = { 2 , { 3 }, a, b} y C = { 1 , { 3 }, b}.

¿Cu´al es el conjunto (A ∪ C) ∩ B?

8. En un sal´on de clases con 48 alumnos se tiene que el 25 % de los estudiantes obtuvo en un examen una calificaci´on inferior o igual 7, 15 fueron calificados con 8 y dos terceras partes de los alumnos restantes sacaron 9. ¿Cu´antos tienen una nota de 10?
9. Un cuadrado es cortado en 9 cuadrados con exactamente la misma ´area. Luego se remueve el cuadrado central y en los restantes se repite el proceso de dividir y sustraer el central. Si esta acci´on se realiza un total de 3 veces, ¿Cu´al es la proporci´on del ´area de la figura obtenida respecto al ´area total del cuadrado original?
10. Encuentre todos los n´umeros reales a, b tales que satisfagan que los puntos (2, −2) y (3, 4) pertenezcan a la curva y = ax^2 + bx + 3
11. Considere el arreglo de la Figura 1. ¿Es posible trazar una sola linea continua que no se corte a si misma, que inicie fuera del arreglo, que pase por todas las aristas (sin utilizar los v´ertices) y cortando s´olo una vez a cada una de estas?

Figura 1: Diagrama del ejercicio 11

12. Un carpintero desea cortar un cubo, de 30 cm por lado, en 27 cubos de igual volumen. Considerando que tras cada corte puede reacomodar las piezas obtenidas. ¿Es posible obtener los cubos peque˜nos en menos de 6 cortes?
13. Tres circunferencias son colocadas de manera tangencial, como se muestra en la Figura 2, si las medidas del tri´angulo cuyos v´ertices se encuentran en los centros de cada c´ırculo son 12, 20 y 9. ¿Cu´al es la longitud de cada uno de los radios de las circunferencia?

Figura 2: C´ırculos tangenciales del ejercicio 13

14. Calcular el valor de tan(2θ), si se sabe que cos(2θ) =

15. Dado el siguiente arreglo de n´umeros

Encontrar la regla general para obtener el siguiente rengl´on. Usar esta regla para obtener los siguientes tres renglones de la tabla.

16. Encontrar los valores de los d´ıgitos v, w, y, z en la siguiente expresi´on:

w y z

× w v

1 w w 7

2 w z w

2 7 w 0 7

17. Si M, N, P y Q son los puntos medios de los lados del cuadrado □ABCD de ´area igual a 1, ¿cu´al es el valor del ´area de la parte sombreada (ver Figura 3)

Los resultados son los siguientes:

a) 8 personas fueron contratadas para trabajar al mismo tiempo en las mensajer´ıas A, B y C, b) 19 personas fueron contratadas para trabajar al mismo tiempo en las mensa- jer´ıas A y B, c) 20 personas fueron contratadas para trabajar al mismo tiempo en las mensa- jer´ıas A y C, d ) 53 personas fueron contratadas ´unicamente para trabajar en la mensajer´ıa A, e) 48 personas fueron contratadas ´unicamente para trabajar en la mensajer´ıa B, y f ) 47 personas fueron contratadas ´unicamente para trabajar en la mensajer´ıa C.

Si 300 personas fueron las que solicitaron dichos trabajos, ¿cu´antos personas fueron contratadas para trabajar al mismo tiempo en las mensajer´ıas B y C?

21. Considere la regi´on limitada por una semicircunferencia C de radio 10 unidades y su di´ametro; adem´as, de la cuerda AB que forma un ´angulo de 30◦^ con respecto al di´ametro como se muestra en la Figura 5. Calcule el ´area de la regi´on rayada.

A

B

10 u

Figura 5: Semicircunferencia del ejercicio 21

22. Exprese el n´umero 1000000000002008000000000001 como una diferencia de cuadrados de dos n´umeros enteros positivos.
23. Un tri´angulo △ABC tiene los datos LAL: a = 5, ∠C = 94◦^ y b = 7. ¿Cu´ales son las medidas de las longitudes y ´angulos interiores restantes del tri´angulo △ABC?

24. Si en la Figura 6 todos los tri´angulos son equil´ateros y si el ´area del tri´angulo △ABC es 16, calcular el valor del ´area sombreada.

B C

A

Figura 6: Tri´angulos y c´ırculos del ejercicio 24

25. Para la gr´afica de abajo

¿Cu´al es la funci´on cuadr´atica y = ax^2 + bx + c que corresponde a dicha gr´afica?

14. En el tri´angulo ABC, el ´angulo A es dos veces mayor que el B. Por los lados conocidos b y c hallar el lado a.
15. Hallar la ecuaci´on de la elipse que es tangente a la dos rectas

3 x − 2 y − 20 = 0, x + 6y − 20 = 0,

si sus ejes coinciden con los ejes coordenados.

16. Demostrar que si dos par´abolas con los ejes perpendiculares entre s´ı se cortan en cuatro puntos, estos puntos est´an situados en una circunferencia.
17. Desde el foco derecho de la hip´erbola

x^2 5

y^2 4

se ha dirigido un rayo de luz que forma con el eje OX un ´angulo α (π < α < 32 π ). Se sabe que tan α = 2. Llegando a la hip´erbola, el rayo se ha reflejado de ella. Hallar la ecuaci´on de la recta en la que est´a situado el rayo reflejado.

18. Si f (x) = xn, calcular el valor de

f (1) + f ′(1) 1!

f ′′(1) 2!

f ′′′(1) 3!

f (n)(1) n!

19. Calcular la derivada 100 - ´esima de f (x) = x^2 e−^2 x.
20. Encontrar el m´ınimo valor de la funci´on f (x) = 2|x − 2 | + 5|x − 3 | en R.
21. Sea 0 ≤ a ≤ 1. Encontrar el valor de

S =

Z (^) a

0

p 1 − x^2 dx +

Z √ 1 −a 2

0

p 1 − y^2 − a

dy

22. Las rectas tangentes a la gr´afica de una funci´on f (x) en (1, f (1)), (2, f (2)), (3, f (3)) forman ´angulos π 6 , π 3 y π 4 respectivamente. Encontrar el valor de Z (^3)

2

f ′(x)f ′′(x) dx +

Z 3

1

f ′′(x) dx.

23. ¿ Cu´antos n´umeros telef´onicos se pueden formar de cinco cifras de manera, que en cada n´umero tomado por separado las cifras sean diferentes?
24. Un restaurante ofrece cuatro opciones de sopas y ensaladas (dos sopas y dos ensala- das), dos opciones de pan y tres opciones de plato fuerte. Determine el n´umero de comidas que se pueden formar en cada uno de los casos siguientes

a) Se debe incluir un elemento de cada opci´on. b) S´olo debe incluir una sopa y un plato fuerte.

25. ¿ Cu´antas diferentes “ combinaciones”de tres n´umeros son posibles en un candado de combinaci´on que tiene 40 n´umeros en su perilla? (Se permiten repeticiones y el orden tambi´en importa.)

3. Nivel superior

1. Sean A, B ∈ Mnxn(R). Definimos f : R → R mediante la regla f (t) = det(A + tB). Demostrar que la funci´on f es derivable en el punto 0 y calcular f ′(0).
2. ¿ Para qu´e valores de n ∈ N, el n´umero n^4 + 4n^ es primo?
3. Sea A = { (^1) n | n ∈ N}. ¿ Es posible construir una funci´on f : [0, 1] → [0, 1] continua unicamente en A?´
4. En el conjunto de los n´umeros reales def´ınanse las siguientes operaciones: r 1 ⊕ r 2 = r 1 + r 2 para cada par de elementos r 1 , r 2 ∈ R. q ⊙ r = qr para todo q ∈ Q y para todo r ∈ R.

i) Demostrar que la terna (R, ⊕, ⊙) es un Q - espacio vectorial. ii) Demostrar que el conjunto { 1 , r} ⊆ R es libre en R si y s´olo si r ∈ I. iii) Deducir que dimQ(R) es infinita. iv) ¿ Cu´al de las dos proposiciones siguientes es verdadera:? a) dimQ(R) = ℵ 0 b) dimQ(R) = c Justificar plenamente su respuesta.

5. Encontrar todas las funciones continuas f : R → R tales que:

f (x + y)f (x–y) = (f (x) · f (y))^2.

6. Encontra el valor de la serie (^) ∞ X

n=

3 n−^1 sin^3 ( x 3 n^

7. Si a, b ∈ Z son tales que (a, b) = 1, entonces demostrar que (a + b, a^2 − ab + b^2 ) es 1 o 3.
8. Determinar el lugar geom´etrico de los puntos (x, y) tales que

sen(x + y) = senx + seny.

9. Considere una transformaci´on de Moebius T (z) = (az+b)/(cz+d) donde a, b, c, d ∈ C y ad − bc ̸= 0. Considere el conjunto cT = { z ∈ C : T (z) = z + 1 = 0}. Muestre que cT representa una circunferencia si

–(cT (z)–a)(cz + d) = ad − |c|^2

para toda z ∈ cT.

10. Demostrar que (^) Z ∞

−∞

dx x^2 + 1

π

11. Pruebe que 7 divide a 1^47 + 2^47 + 3^47 + 4^47 + 5^47 + 6^47.
12. Sean f ∈ C[0, 1] y g ∈ C(R) una funci´on peri´odica, con periodo 1. Muestre que

l´ım n→∞

Z 1

0

f (x)g(x) dx =

Z 1

0

f (x) dx

 Z 1

0

g(x) dx

donde

A =

Nota: At^ es la transpuesta de A.

22. Si a es un n´umero real, analizar la convergencia o divergencia de la sucesi´on de matrices (^)  an^ nan−^1 0 an

n

23. Resolver la ecuaci´on

det

1 x x^2 x^3 1 − 1 1 − 1 1 0 0 0 1 1 1 1

24. Para sacar dinero de un cajero autom´atico tengo que marcar un n´umero de identifica- ci´on personal. He olvidado mi PIN, pero s´e que es equiprobable que sea cualesquiera de los siguientes n´umeros 1, 2 ,... , n. Planeo marcar estos n´umeros en orden ascen- dente hasta obtener el correcto. Esto puede hacerse a raz´on de r n´umeros por minuto. Tan pronto como marque el primer n´umero incorecto, se alertar´a a la policia. La pro- babilidad de que lleguen en un tiempo de t minutos es 1 − e−λt, con λ > 0. Si sigo mi plan, muestre que la probabilidad de que llegue la polic´ıa antes de que reciba mi dinero es (^) n X

k=

1 − e−λ(k−1)/r n

25. Si B es una v.a. con una dsitribuci´on normal, con media cero y varianza cero. En- cuentre la probabilidad de que la ecuaci´on cuadr´atica

x^2 + 2Bx + 1 = 0,

tenga ra´ıces reales.

COMIT´E ORGANIZADOR

Presidente Miguel Tuf´ı˜no Vel´azquez

Coordinaci´on general Carlos Alejandro Moreno Mu˜noz Erick Lee Guzm´an

Elaboraci´on de problemas y apoyo t´ecnico Pablo Lam Estrada Andr´es Sabino D´ıaz Castro Abelardo Santaella Qu´ıntas Salvador Quint´ın Flores Grac´ıa Francisco Ram´ırez Reyes Jos´e Oscar Gonz´alez Cervantes Gamaliel Yafte T´ellez S´anchez Oliver Fernando Cuate Gonz´alez

Patrocinadores Universidad An´ahuac Reason Play, S.A. KEPLER Institute LIBER IK