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Indice.
- 1.- Introducción………………………………………… Pag.
- 2.- Historia de la duplicación del cubo………………. - 2.1.- Origen………………………………………… - por distintos autores a través de la historia… 2.2.-Desarrollo del estudio del problema - 2.2.1.- Hipócrates de Quios……………….. - 2.2.2.- Arquitas……………………………… - 2.2.3.- Menecmo……………………………. - 2.2.4.- Eudoxo………………………………. - 2.2.5.- Eratostenes…………………………. - 2.2.6.- Nicomedes………………………….. - 2.2.7.- Apolonio y Heron…………………… - 2.2.8.- Phylon……………………………….. - 2.2.9.- Diocles………………………………..
- de la duplicación del cubo……………………………. 3.-Consecuencias del problema - 3.1.-Sección de cónicas…………………………. - 3.1.1.- Las cónicas de Apolonio…………….. - irracionales………………………………… 3.2.- Inconmensurables. Números - 3.3.-Método de exhausción…………………….. - 3.3.1.- Calculo aproximado del número π…..
- 4.- Bibliografía…………………………………….……
La demostración de que estos tres problemas no pueden ser construidos exactamente utilizando únicamente regla y compás no llegó hasta 2200 años más tarde.
No obstante la mejor parte de la matemática griega y también buena parte del pensamiento matemático muy posterior vino motivada por los esfuerzos para lograr su resolución respetando las reglas de la época heroica. Nos referimos con el nombre de “Época Heroica de la Matemática”, puesto que raramente antes ni después se ha enfrentado el hombre con problemas matemáticos de una importancia tan fundamental con tan pocas herramientas.
Las reglas de la época heroica consisten en la resolución de estos problemas utilizando solamente regla sin marcas y compás, instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su obra. Son problemas sin solución exacta usando regla y compás, cosa que se ha probado mucho después, aunque tienen solución por otros métodos como el uso de las cónicas, ciertas curvas como la cisoide de Diocles o la concoide de Nicomedes.
LA CUADRATURA DEL CIRCULO
Consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo dado. Si tenemos un círculo de radio conocido R, su área es la que aparece en la figura y hay que buscar un cuadrado que tenga el área igual (como en la figura).
Este problema no tiene solución con regla y compás. Lindenman (1852-1939), un matemático alemán, demostró que era imposible construirlo exactamente con regla y compás. El
número π tuvo desconcertados a los matemáticos bastante más tiempo que el número e , tanto Lambert como Legendre habían demostrado que tanto π como π^2 eran irracionales, pero estas demostraciones no resolvían el viejo problema de la cuadratura del círculo. El asunto alcanzó al fin su solución definitiva en 1882, en un articulo de Lindenman, el articulo titulado “Über die Zahl π”.
TRISECCIÓN DEL ANGULO
Consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales utilizando solamente regla y compás ya que eran las únicas herramientas utilizadas en esta época según las reglas de Euclides. Pero esta construcción es imposible de realizar exactamente. En la antigüedad era el problema clásico más complicado, ya que a veces se consiguió duplicar un cubo o cuadrar un circulo sin muchas complicaciones pero trisectar el ángulo es mucho más difícil.
LA DUPLICACIÓN DEL CUBO
Consiste en construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo inicial. Para eso habría que construir un segmento de longitud igual a la raíz cúbica de 2. Y esto es imposible utilizando solamente regla y compás ya que se trata de un número inconmensurable después llamado irracional.
Ha sido considerado el problema más importante e influyente de la antigüedad, muchos de los intentos para su resolución han desembocado en la aparición de nuevas y útiles herramientas matemáticas.
El oráculo cobra caro; la persona que consulta debe comprar un pastel muy costoso que ofrece sobre un altar, frente al santuario; luego, sobre otro altar, sacrifica una oveja o una cabra.
Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delfos para preguntar cómo podría conjurarse la peste, que azotó Grecia en torno al año 433 a.C. y mató a un cuarto de la población, a lo que el oráculo contestó que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo para ofrecerle mayor ofrenda. Al parecer, los atenienses duplicaron diligentemente las dimensiones del altar, pero esto no sirvió de nada para detener la peste; Sus artesanos cayeron en gran perplejidad en sus esfuerzos para descubrir como el altar había aumentado ocho veces su tamaño cuando se dobla el tamaño de su arista.
La plaga seguramente era un suceso importante en la historia de Grecia y muchos de sus intelectuales se dispusieron a descubrir el misterio que rodeaba aquel bloque de piedra. Este enigma ha seguido interesando a multitud de pensadores en el curso de la historia formándose así uno de los más importantes problemas.
2.2. DESARROLLO DEL ESTUDIO DEL PROBLEMA
A TRAVES DE LA HISTORIA POR DISTINTOS
AUTORES.
2.2.1.-HIPÓCRATES DE QUIOS
Nació en la isla de Quios, en la segunda mitad del siglo V a.C. Según Aristóteles, aunque destacado como geómetra, era estúpido y falto de sentido común en otros aspectos. Fue estafado por los piratas y para recuperar su fortuna se trasladó a Atenas donde debió dedicarse a la enseñanza para sobrevivir. A Hipócrates debemos un primer tratado sobre geometría en el que se exponen teoremas a partir de unos axiomas y postulados. Aunque no nos ha llegado su obra directamente, sabemos de ella a través de los relatos de Eudemo, 335 a. C., resumidos por Simplicio en el 530 d. C También podemos encontrar parte del trabajo de Hipócrates entre los teoremas que aparecen en los "Elementos" de Euclides.
Entre los mayores logros de Hipócrates está el haber demostrado que las áreas de dos círculos se hallan entre sí en la misma razón que los cuadrados de sus diámetros. Es posible que llegara a esta conclusión considerando el círculo como el límite de un polígono regular. Presentándose aquí un primer ejemplo de lo que más tarde sería el método exhaustivo. Hipócrates también estudió con muy buenos resultados la cuadratura del circulo.
Como los segmentos son entre sí como los cuadrados construidos sobre sus bases, a partir del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo se obtiene que la suma de los dos segmentos circulares menores es igual al segmento circular mayor. Más tarde Hipócrates consiguió cuadrar otros dos casos particulares de lúnula.
La primera intuición de los matemáticos griegos era cierta, y que la cuadratura de figuras curvilíneas con regla y compás era imposible salvo algunas excepciones como la de las lúnulas cuadrables de Hipócrates.
Hipócrates realizó el primer progreso real en el problema de la duplicación del cubo cuando realizó la reducción que lleva su nombre. Esta se basa en la construcción de medias proporcionales entre dos segmentos de líneas dadas de longitud s y 2s.
El volumen de un cubo aumenta en progresión geométrica cada vez que duplicamos el tamaño de la arista. Entonces el valor de la arista para un volumen igual al doble del inicial, se debe de encontrar entre s y 2s , como se encuentra en una progresión geométrica habrá que utilizar la media proporcional también llamada media geométrica. Esto es lo que se llama reducción de Hipocrates, se trata en la simplificación del problema de la duplicación del cubo a una media proporcional.
Si denotamos las dos medias proporcionales por x e y entonces de estas proporciones tenemos:
s
y y
x x
s = = 2
2.2.2.-ARQUITAS.
Nació aproximadamente en el 428 a.C. Murió aproximadamente en el 350 a.C.
Uno de los últimos pitagóricos. No vivió en Atenas, sino en Tarento, en el sur de Italia. A pesar de ello estuvo en contacto con los filósofos de Atenas, siendo Platón uno de sus amigos.
Destacó por su dedicación a la vida pública y por su contribución a una educación liberal, estableciendo el cuadrivium de las ciencias formado por la aritmética, la música, la geometría y la astronomía. Unidas al trivium de Zenón (gramática, retórica y dialéctica), formaban las siete artes liberales.
Es muy probable que Arquitas tuviera acceso a algún tratado anterior sobre los elementos de la matemática, y de hecho, el proceso iterativo para el calculo de raíces cuadradas que se conoce a veces con el nombre de Arquitas había sido utilizado mucho antes en Mesopotamia. No obstante, sabemos que a Arquitas se le deben también algunos resultados originales importantes.
La contribución fundamental de Arquitas a las matemáticas fue su resolución del problema de la duplicación del volumen del cubo, especialmente cuando se considera su fecha, porque no es una construcción en un plano sino que es una construcción en tres dimensiones.
Determinando punto por la intersección de tres superficies de revolución: ♦ Un cono. ♦ Un cilindro. ♦ Un toro. Suponer dos segmentos AC, AB entre los cuales debemos encontrar las dos medias proporcionales y AC es el diámetro de un circulo y AB es una cuerda del círculo.
Se dibuja un semicírculo con AC como diámetro, pero en un plano perpendicular al plano formado por el circulo ABC
Siendo APC´ la correspondiente posición del semicírculo (triángulo blanco). Cuando la circunferencia ABC corte a la recta AC´ tenemos el punto M. Dibujando PM que es perpendicular al plano formado por el triángulo ABC. La línea AP se encuentra con el semicírculo BQE en Q, después aparece el punto N en la unión de AC´ con BE. Entonces, desde ambos semicírculo que son perpendiculares al plano ABC, su línea de intersección es QN.(Euclides XI.19) Entonces QN es perpendicular a BE y AM. Por lo tanto QN. QN = BN. NE = AN. NM (Euclides III.35), el ángulo
AQM es un ángulo recto. Pero el ángulo APC´ es también un ángulo recto, por lo tanto MQ es paralelo a C´P. Por triángulos semejantes:
AQ
AM AM
AP AP
C ´ A = =
Lo que es lo mismo:
AB
AM AM
AP AP
AC (^) = =
Entonces AB, AM, AP, AC están en proporción continua y AM, AP son las dos medias proporcionales buscadas.
2.2.3.-MENECMO
Menecmo, hacia 350 a.de C., se ocupa del problema clásico de la duplicación del cubo. Redujo el problema al de la construcción de las dos medias proporcionales entre 2 y 1. Si encontramos x e y tales que:
1
2 y y
x x = =
Es decir, el cubo de lado X es de volumen doble que el de lado Y. Si x , y son las dos medias proporcionales buscadas entre dos
segmentos de línea recta a, b es decir:
b
y y
x x
a (^) = =
El descubrimiento de la elipse fue el primero, parece haber sido hecho como un mero subproducto de la investigación en la que lo que se buscaba realmente eran la parábola y la hipérbola, que presentaban las propiedades necesarias para resolver el problema de la duplicación del cubo.
Menecmo fue probablemente el primero en usar las secciones cónicas y sus propiedades. Menecmo no podía prever la gran cantidad de bellas propiedades que el futuro se iba a encargar de
