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TODAS LAS IDENTIDADDES TRIGGGONOMETRICASS
Tipo: Diapositivas
1 / 4
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CICLO PRE-UNIVERSITARIO FORMULARIO
Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se
verifican para todo valor admisible de la variable angular. Es decir, las razones trigonométricas
están definidas.
I. Identidades fundamentales
I.1 Identidades recíprocas
sen
⋅ csc
= 1 ⇒ csc
= 1 /sen(𝑥)
cos(𝑥) ⋅ sec(𝑥) = 1 ⇒ sec(𝑥) = 1 /cos(𝑥)
tan
⋅ cot
= 1 ⇒ cot
= 1 /tan(𝑥)
I.2 Identidades por cociente
tan(𝑥) =
sen(𝑥)
cos(𝑥)
∧ cot(𝑥) =
cos(𝑥)
sen(𝑥)
I.3 Identidades Pitagóricas
sen
2
2
= 1 sec
2
− tan
2
csc
2
(𝑥) − cot
2
I. 4 Identidades auxiliares
sen
4
4
= 1 − 2 sen
2
⋅ cos
2
sen
6
6
= 1 − 3 sen
2
⋅ cos
2
tan
= sec
⋅ csc
sec
2
2
= sec
2
⋅ csc
2
1 ± sen
± cos
2
1 ± sen
1 ± cos
sen
1 ± cos
1 ∓ cos
sen
cos
1 ± sen
1 ∓ sen
cos
Si sec
= 𝑝 ⇒ sec
− tan
Si csc
= 𝑞 ⇒ csc
− cot
Si 𝑎 ⋅ sen
2
2
2
⇒ sen
∧ cos
I.6 Algunas desigualdades importantes
𝑛− 1
≤ sen
2 𝑛
(𝑥) + cos
2n
2
2
≤ 𝑎 ⋅ sen
2
2
∧ tan
𝑎 ⋅ tan
II. Identidades de los ángulos
compuestos
II.1 Para la suma de dos ángulos
sen
= sen
cos
cos
cos
= cos
cos
− sen
sen
tan
tan
1 − tan
tan
II. 2 Para la diferencia de dos ángulos
sen
= sen
cos
− sen
cos
cos
= cos
cos
tan
tan
− tan
1 + tan
tan
II.3 Identidades auxiliares
sen
sen
= sen
2
− sen
2
cos
cos
= cos
2
− sen
2
tan
± tan
sen
cos
cos
cot
± cot
sen (𝑦 ± 𝑥)
sen(𝑥) sen(𝑦)
𝑎 ⋅ sen
± 𝑏 ⋅ cos
2
2
⋅ sen
Donde tan
Con frecuencia se utiliza las siguientes
identidades
sen
± cos
= √ 2 sen
√ 3 sen
± cos
= 2 sen
sen
± √ 3 cos
= 2 sen
tan(𝑥) + tan(𝑦) + tan(𝑥) tan(𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) = tan(𝑥 + 𝑦)
tan(𝑥) − tan(𝑦) − tan(𝑥) tan(𝑦) tan(𝑥 − 𝑦) = tan(𝑥 − 𝑦)
II.4 Casos particulares para identidades de
tres ángulos
Si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
Entonces
tan
tan
tan
tan
cot
= cot
cot
cot
Si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ
Entonces
cot(𝑥) cot(𝑦) + cot(𝑦) cot(𝑧) + cot(𝑧) cot(𝑥) = 1
tan(𝑥) + tan(𝑦) + tan(𝑧) = tan(𝑥) tan(𝑦) tan(𝑧)
III. Identidades de los ángulos
múltiples
III.1 Identidades del ángulo doble
sen
= 2 sen
cos
cos( 2 𝑥) = cos
2
(𝑥) − sen
2
tan
2 tan
1 − tan
2
Otras formas del cos(2x)
cos
= 1 − 2 sen
2
cos( 2 𝑥) = 2 cos
2
Identidades para degradar
2 sen
2
= 1 − cos
2 cos
2
= 1 + cos
IV. Transformaciones trigonométricas
Caso 1
sen
= 2 sen (
) cos (
sen(𝑥) − sen(𝑦) = 2 sen (
) cos (
cos
= 2 cos (
) cos (
cos(𝑥) − cos(𝑦) = − 2 sen (
) sen (
Caso 2
2 sen
cos
= sen
2 cos(𝑥) cos(𝑦) = cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)
2 sen(𝑥) sen(𝑦) = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)
A partir de las siguientes identidades
sen
− sen
= 4 sen (
) sen (
) sen (
cos
= 4 cos (
) cos (
) cos (
Determinamos las identidades condicionales
Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°, entonces
sen(𝐴) + sen(𝐵) + sen(𝐶) = 4 cos (
𝐴
2
) cos (
𝐵
2
) cos (
𝐶
2
)
cos
( 𝐴
)
( 𝐵
)
( 𝐶
) − 1 = 4 sen (
𝐴
2
) sen (
𝐵
2
) sen (
𝐶
2
)
sen( 2 𝐴) + sen( 2 𝐵) + sen( 2 𝐶) = 4 sen(𝐴) sen(𝐵) sen(𝐶)
cos
( 2 𝐴
)
( 2 𝐵
)
( 2 𝐶
)
( 𝐴
) cos
( 𝐵
) cos
( 𝐶
)
Serie de senos para ángulos en progresión
aritmética
sen
sen (
) sen (
sen (
𝑛
𝑘= 1
Serie de cosenos para ángulos en progresión
aritmética
cos
sen (
) cos (
sen (
𝑛
𝑘= 1
Donde consideramos que
n: número de términos r: razón de la P.A.
P: primer ángulo U: último ángulo
Otras series
cos (
𝜋
2 𝑛 + 1
) + cos (
3 𝜋
2 𝑛 + 1
) + ⋯ cos (
( 2 𝑛 − 1
) 𝜋
2 𝑛 + 1
) =
1
2
cos (
2 𝜋
2 𝑛 + 1
) + cos (
4 𝜋
2 𝑛 + 1
) + ⋯ cos (
2 𝑛𝜋
2 𝑛 + 1
) = −
1
2
sen (
𝜋
2 𝑛 + 1
) sen (
2 𝜋
2 𝑛 + 1
) × … sen (
𝑛𝜋
2 𝑛 + 1
) =
√ 2 𝑛 + 1
2
𝑛
cos (
𝜋
2 𝑛 + 1
) cos (
2 𝜋
2 𝑛 + 1
) × … cos (
𝑛𝜋
2 𝑛 + 1
) =
1
2
𝑛
tan (
𝜋
2 𝑛 + 1
) tan (
2 𝜋
2 𝑛 + 1
) × … tan (
𝑛𝜋
2 𝑛 + 1
) = √
2 𝑛 + 1