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Orientación Universidad
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Identidades Trigonométricas: Un Formulario Completo para el Ciclo Pre-Universitario, Diapositivas de Trigonometría

TODAS LAS IDENTIDADDES TRIGGGONOMETRICASS

Tipo: Diapositivas

2023/2024

Subido el 14/07/2024

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bg1
CICLO PRE-UNIVERSITARIO FORMULARIO
CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA -1-
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se
verifican para todo valor admisible de la variable angular. Es decir, las razones trigonométricas
están definidas.
I. Identidades fundamentales
I.1 Identidades recíprocas
sen(𝑥)csc(𝑥)=1csc(𝑥)=1/sen(𝑥)
cos(𝑥)sec(𝑥)=1sec(𝑥)=1/cos(𝑥)
tan(𝑥)cot(𝑥)=1cot(𝑥)=1/tan(𝑥)
I.2 Identidades por cociente
tan(𝑥)=sen(𝑥)
cos(𝑥) cot(𝑥)=cos(𝑥)
sen(𝑥)
I.3 Identidades Pitagóricas
sen2(𝑥)+cos2(𝑥)= 1 sec2(𝑥)tan2(𝑥)=1
csc2(𝑥)cot2(𝑥)=1
I.4 Identidades auxiliares
sen4(𝑥)+cos4(𝑥)=12sen2(𝑥)cos2(𝑥)
sen6(𝑥)+cos6(𝑥)=13sen2(𝑥)cos2(𝑥)
tan(𝑥)+cot(𝑥)=sec(𝑥)csc(𝑥)
sec2(𝑥)+csc2(𝑥)=sec2(𝑥)csc2(𝑥)
(1±sen(𝑥)±cos(𝑥))2=2(1±sen(𝑥))(1±cos(𝑥))
sen(𝑥)
1±cos(𝑥)=1cos(𝑥)
sen(𝑥)cos(𝑥)
1±sen(𝑥)=1sen(𝑥)
cos(𝑥)
Si sec(𝑥)+tan(𝑥)=𝑝sec(𝑥)tan(𝑥)=1/𝑝
Si csc(𝑥)+cot(𝑥)=𝑞csc(𝑥)cot(𝑥)=1/𝑞
Si 𝑎sen(𝑥)+𝑏cos(𝑥)=𝑐 𝑎2+𝑏2=𝑐2
sen(𝑥)=𝑎
𝑐 cos(𝑥)=𝑏
𝑐
I.6 Algunas desigualdades importantes
∀𝑥𝑛+
1
2𝑛−1 sen2𝑛(𝑥)+cos2n(𝑥) 1
∀𝑥,𝑎,𝑏
𝑎2+𝑏2𝑎sen(𝑥)+𝑏cos(𝑥)𝑎2+𝑏2
∀𝑎,𝑏+tan(𝑥)>0
𝑎tan(𝑥)+𝑏cot(𝑥)2𝑎𝑏
TRIGONOMETRÍA
FORMULARIO CEPRE - UNI
pf3
pf4

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CICLO PRE-UNIVERSITARIO FORMULARIO

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se

verifican para todo valor admisible de la variable angular. Es decir, las razones trigonométricas

están definidas.

I. Identidades fundamentales

I.1 Identidades recíprocas

sen

⋅ csc

= 1 ⇒ csc

= 1 /sen(𝑥)

cos(𝑥) ⋅ sec(𝑥) = 1 ⇒ sec(𝑥) = 1 /cos(𝑥)

tan

⋅ cot

= 1 ⇒ cot

= 1 /tan(𝑥)

I.2 Identidades por cociente

tan(𝑥) =

sen(𝑥)

cos(𝑥)

∧ cot(𝑥) =

cos(𝑥)

sen(𝑥)

I.3 Identidades Pitagóricas

sen

2

  • cos

2

= 1 sec

2

− tan

2

csc

2

(𝑥) − cot

2

I. 4 Identidades auxiliares

sen

4

  • cos

4

= 1 − 2 sen

2

⋅ cos

2

sen

6

  • cos

6

= 1 − 3 sen

2

⋅ cos

2

tan

  • cot

= sec

⋅ csc

sec

2

  • csc

2

= sec

2

⋅ csc

2

1 ± sen

± cos

2

1 ± sen

1 ± cos

sen

1 ± cos

1 ∓ cos

sen

cos

1 ± sen

1 ∓ sen

cos

Si sec

  • tan

= 𝑝 ⇒ sec

− tan

Si csc

  • cot

= 𝑞 ⇒ csc

− cot

Si 𝑎 ⋅ sen

  • 𝑏 ⋅ cos

2

2

2

⇒ sen

∧ cos

I.6 Algunas desigualdades importantes

𝑛− 1

≤ sen

2 𝑛

(𝑥) + cos

2n

2

2

≤ 𝑎 ⋅ sen

  • 𝑏 ⋅ cos

2

2

∧ tan

𝑎 ⋅ tan

  • 𝑏 ⋅ cot

TRIGONOMETRÍA

FORMULARIO CEPRE - UNI

II. Identidades de los ángulos

compuestos

II.1 Para la suma de dos ángulos

sen

= sen

cos

  • sen

cos

cos

= cos

cos

− sen

sen

tan

tan

  • tan

1 − tan

tan

II. 2 Para la diferencia de dos ángulos

sen

= sen

cos

− sen

cos

cos

= cos

cos

  • sen(𝑥)sen

tan

tan

− tan

1 + tan

tan

II.3 Identidades auxiliares

sen

sen

= sen

2

− sen

2

cos

cos

= cos

2

− sen

2

tan

± tan

sen

cos

cos

cot

± cot

sen (𝑦 ± 𝑥)

sen(𝑥) sen(𝑦)

𝑎 ⋅ sen

± 𝑏 ⋅ cos

2

2

⋅ sen

Donde tan

Con frecuencia se utiliza las siguientes

identidades

sen

± cos

= √ 2 sen

√ 3 sen

± cos

= 2 sen

sen

± √ 3 cos

= 2 sen

tan(𝑥) + tan(𝑦) + tan(𝑥) tan(𝑦) tan(𝑥 + 𝑦) = tan(𝑥 + 𝑦)

tan(𝑥) − tan(𝑦) − tan(𝑥) tan(𝑦) tan(𝑥 − 𝑦) = tan(𝑥 − 𝑦)

II.4 Casos particulares para identidades de

tres ángulos

Si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =

Entonces

tan

tan

  • tan

tan

  • tan

tan

cot

  • cot
  • cot

= cot

cot

cot

Si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

Entonces

cot(𝑥) cot(𝑦) + cot(𝑦) cot(𝑧) + cot(𝑧) cot(𝑥) = 1

tan(𝑥) + tan(𝑦) + tan(𝑧) = tan(𝑥) tan(𝑦) tan(𝑧)

III. Identidades de los ángulos

múltiples

III.1 Identidades del ángulo doble

sen

= 2 sen

cos

cos( 2 𝑥) = cos

2

(𝑥) − sen

2

tan

2 tan

1 − tan

2

Otras formas del cos(2x)

cos

= 1 − 2 sen

2

cos( 2 𝑥) = 2 cos

2

Identidades para degradar

2 sen

2

= 1 − cos

2 cos

2

= 1 + cos

IV. Transformaciones trigonométricas

Caso 1

sen

  • sen

= 2 sen (

) cos (

sen(𝑥) − sen(𝑦) = 2 sen (

) cos (

cos

  • cos

= 2 cos (

) cos (

cos(𝑥) − cos(𝑦) = − 2 sen (

) sen (

Caso 2

2 sen

cos

= sen

  • sen

2 cos(𝑥) cos(𝑦) = cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)

2 sen(𝑥) sen(𝑦) = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)

A partir de las siguientes identidades

sen

  • sen
  • sen

− sen

= 4 sen (

) sen (

) sen (

cos

  • cos
  • cos
  • cos

= 4 cos (

) cos (

) cos (

Determinamos las identidades condicionales

Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°, entonces

sen(𝐴) + sen(𝐵) + sen(𝐶) = 4 cos (

𝐴

2

) cos (

𝐵

2

) cos (

𝐶

2

)

cos

( 𝐴

)

  • cos

( 𝐵

)

  • cos

( 𝐶

) − 1 = 4 sen (

𝐴

2

) sen (

𝐵

2

) sen (

𝐶

2

)

sen( 2 𝐴) + sen( 2 𝐵) + sen( 2 𝐶) = 4 sen(𝐴) sen(𝐵) sen(𝐶)

cos

( 2 𝐴

)

  • cos

( 2 𝐵

)

  • cos

( 2 𝐶

)

  • 1 = − 4 cos

( 𝐴

) cos

( 𝐵

) cos

( 𝐶

)

Serie de senos para ángulos en progresión

aritmética

sen

sen (

) sen (

sen (

𝑛

𝑘= 1

Serie de cosenos para ángulos en progresión

aritmética

cos

sen (

) cos (

sen (

𝑛

𝑘= 1

Donde consideramos que

n: número de términos r: razón de la P.A.

P: primer ángulo U: último ángulo

Otras series

cos (

𝜋

2 𝑛 + 1

) + cos (

3 𝜋

2 𝑛 + 1

) + ⋯ cos (

( 2 𝑛 − 1

) 𝜋

2 𝑛 + 1

) =

1

2

cos (

2 𝜋

2 𝑛 + 1

) + cos (

4 𝜋

2 𝑛 + 1

) + ⋯ cos (

2 𝑛𝜋

2 𝑛 + 1

) = −

1

2

sen (

𝜋

2 𝑛 + 1

) sen (

2 𝜋

2 𝑛 + 1

) × … sen (

𝑛𝜋

2 𝑛 + 1

) =

√ 2 𝑛 + 1

2

𝑛

cos (

𝜋

2 𝑛 + 1

) cos (

2 𝜋

2 𝑛 + 1

) × … cos (

𝑛𝜋

2 𝑛 + 1

) =

1

2

𝑛

tan (

𝜋

2 𝑛 + 1

) tan (

2 𝜋

2 𝑛 + 1

) × … tan (

𝑛𝜋

2 𝑛 + 1

) = √

2 𝑛 + 1