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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
- ESTANDARES
Modelar situaciones de variaciones de variación periódicas con funciones trigonométricas.
- LOGROS
2.1. Deducir las identidades trigonométricas fundamentales 2.2. Demostrar identidades trigonométricas
- ¿Para que sirven las identidades trigonométricas?. Las identidades trigonométricas sirven para desarrollar el pensamiento deductivo de los estudiantes. En efecto, en proceso de demostración se hace
necesario de partir de las identidades fundamentales y mediante una serie de procedimientos algebraicos como sustituciones, operaciones con fracciones algebraicas, multiplicaciones, factorizaciones y simplificaciones, se debe llegar a una conclusión final.
CONCEPTOS PREVIOS
Los estudiantes deben de manejar:
Explicar y comprender el concepto de igualdad Conocer las identidades básicas Procedimientos algebraicos como operaciones básicas de fracciones
algebraicas productos notables, factorización
DEFINICION DE IDENTIDAD TRIGONOMETRICAS
Es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas estas funciones.
Ejemplos:
- sec x× cos x= 1
- sen^2 x+ cos^2 x= 1
- cos x× tan x×cscx= 1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICA FUNDAMENTALES
IDENTIDADES POTAGORICAS
Para deducir estas identidades, se debe tener en cuenta el círculo
trigonométrico cuyo radio es igual a la unidad; las líneas trigonométricas y el
Teorema de Pitágoras ( )
2 2 2 c =a +b
cos x
Sen x
r= 1
x
Por Pitágoras en cada un de las figuras podemos obtener:
- cos 1
2 2 Sen x+ x=
- Sec x tag x
2 2 = 1 +
- Csc x x
2 2 = 1 +cot
IDENTIDADES DE COCIENTE
Cos x
Sen x Tag x=
Cos x
Sen x Cot x=
IDENTIDADES RECIPROCAS
Tag x
Cot x
Cos x
Sec x
Sen x
Csc x
FUNCIONES PARES E IMPARES
- Sen(^ −^ x)^ =−Senx
- Cos( −x) =−Cos x
- PASOS PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES
- Se debe partir del lado más complejo y transformarse en el lado más
sencillo.
- Sustituir las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante en
función de seno y coseno.
- Realizar las operaciones algebraicas.
- Tienen como objetivo, el otro lado de la identidad, para hacer las
sustituciones necesarias para llegar a este lado.
- Ejemplos:
Verificar las siguientes identidades
- Cot x× Secx×Senx= 1
- tan x .senx+cosx=secx
Solución
( senx) x x
senx x senx x cos cos
tan. cos +
x x
Sen cos cos
2 = +
x
Sen x Cos x
cos
2 2
=
cos x
=sec x
- tan ( −x ) =−tanx
Solución
( )
( )
( (^) x)
sen x x −
cos
tan
x
senx
cos
=− tagx
- x x
x
senx
x 2 sec 1 cos
cos
1
cos
Solución
( ) ( )
( senx)( senx)
x senx x senx
senx
x
senx
x
− +
cos 1 cos 1
1
cos
1
cos
= Sen x
x senx x x senx x 2 1
cos cos cos cos
−
Cos x
x 2
2 cos
cos x
= 2 sec x
- Sen^ x Cos x Sen x Cos x
4 4 2 2 − = −
Solución
Sen x Cos x (Sen x Cos x) (Sen x Cos x)
4 4 2 2 2 2 − = + −
Sen x Cos x
2 2 = −
8. ( Sen x Cos x) 1 2 SenxCos x
2
Solución
( Sen x Cos x) Sen x Senx Cos x Cos x
(^2 )
(Sen x Cos x) 2 SenxCosx
2 2 = + +
= 1 + 2 Senx Cosx
- Tan x+ 2 CosxCscx=Sec xCos x+Cot x
Solución
Sen x
Cos x Cos x
Sec x Tan x CosxCscx
Sen x
Cos x
Cos x
Sen x 2
Senx Cosx
Sen x Cos x
2 2
Sen xCos x
Sen x Cos x Cos x
2 2 2
=
SenxCos x
Cos x
2 1 + =
SenxCos x
Cos x
SenxCosx
2 1 = +
Sen x
Cos x
Senx Cosx Cos x
=Cos xSec x+Cot x
- Sec x Senx
Cos x Tan x =
Solución
Sen x
Cos x
Cos x
Sen x
Sen x
Cos x Tan x
Cos x^ (^ Senx)
Sen x Sen x Cos x Cos x
Cosx ( Senx)
senx sen x Cos x
= 1
2 2
Cos x ( Sen x)
sen x
Senx
Cos x Sec x Tanx −
- Cos x Senx
Sen x = +
- Senx Cosc x
Sen x Tan x
−
2 2
Cos x
Cos x
Sen x
- Tanx Secx
Cos x
Cosc x
Cos x 2 1
1
Sec x
Sec x
Cos x
Cos x
2 +^2 =
Cosc x Sec x
- Cos x Cosx
Sen x Cot x =
SOLUCION
- Cosx. Secx= 1
( ) (^1)
Cosx
D Cos xSecx Cosx
- SenxCos x= 1
Senx
D Sen xCosx Senx
- ( Cos x) ( Cos x) Sen x
2 1 + 1 − =
D ( Cosx) ( Cosx) Cos x Sen x
2 2 //. 1 + 1 − = 1 − =
- Coscx Cos x
Sen x
−
2 1
Csc x Sen x Sen x
Senx
Cos x
Sen x D = = = −
- Senx Csc x Senx
Cos x
2
Sen xCos x
Senx 1
Sen x
Sen xCos x
=Cos x
Sen x
Cos x Sec x Tan x −
Cos x
Sen x
Cosx
D Secx+ Tanx= +
Cos x
+Sen x
( )( )
Cos x ( Senx)
Senx Sen x
−
Cosx ( Sen x)
Sen x
−
−
1
1
2
Cosx ( Sen x)
Cos x
−
2
Sen x
Cos x
−
- Csc x Senx
Sen x = +
D// Sen x
Sen x
SenX Sen x
Sen x = +
= Csc x+ 1
- Senx Cscx
Sen x Tan x
−
2 2
D//
Sen x
Cos x
Sen x
Cos x
Cosx
Sec x Tan x
1
2
2
2 2 2 −
Sen x
Cos x
Sen x
2
2 −
Senx
Senx
Cos x
Sen x
Sen x
Cos x
−
= 1 1
Sen x
SenxCos x
Sen x
SenxCos x
−
( ) ( )
( (^) Senx)( (^) Senx)
SenxCos x Senx Sen xCos x Sen x
Cos x
Sen xCos x 2
