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1. Identidades vectoriales
1.1. Productos vectoriales y escalares
1.1.1. Producto escalar
Si
A y
B son vectores que en una base ortonormal {
u 1 ,
u 2 ,
u 3 } se
escriben como:
A = A 1
u 1 + A 2
u 2 +A 3
u 3 y
B = B 1
u 1 + B 2
u 2 + B 3
u 3 ,
entonces su producto escalar se define:
A ·
B = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 (1)
A ·
B =
A
B
∣ cos^ θ^ (2)
siendo θ el ´angulo que forman dichos vectores.
Si
A es un vector unitario, entonces
A ·
B se corresponde con la proyec-
ci´on de
B sobre la direcci´on definida por el vector unitario
A.
A ·
B =
B ·
A (3)
A ·
B +
C
A ·
B +
A ·
C (4)
1.1.2. Producto vectorial
Si
A y
B son vectores que en una base ortonormal {
u 1 ,
u 2 ,
u 3 } se
escriben como:
A = A 1
u 1 + A 2
u 2 +A 3
u 3 y
B = B 1
u 1 + B 2
u 2 + B 3
u 3 ,
entonces su producto vectorial se define:
A ×
B =
u (^1)
u (^2)
u (^3)
A 1 A 2 A 3
B 1 B 2 B 3
= (A 2 B 3 − A 3 B 2 )
u 1 + (A 3 B 1 − A 1 B 3 )
u 2 +
+ (A 1 B 2 − A 2 B 1 )
u (^3)
A ×
B
A
B
∣ sen θ (6)
A ×
B
∣ coincide con el ´area del paralelogramo definido por ambos vec-
tores.
A ×
B = −
B ×
A (7)
A ×
B +
C
A ×
B +
A ×
C (8)
1.1.3. Identidades vectoriales
A ×
B ×
C
B
A ·
C
C
A ·
B
A ×
B
×
C =
B
A ·
C
A
B ·
C
A ×
B
C ×
D
A ·
C
B ·
D
A ·
D
B ·
C
A ×
B
×
C ×
D
C
[
A ·
B ×
D
)]
D
[
A ·
B ×
C
)]
B
[
A ·
C ×
D
)]
A
[
B ·
C ×
D
)]
2. Coordenadas Cartesianas
2.1. Transformaci´on de Coordenadas
2.1.1. Desde Coordenadas Cil´ındricas
x = ρ cos ϕ (13)
y = ρ sen ϕ (14)
z = z (15)
2.1.2. Desde Coordenadas Esf´ericas
x = r sen θ cos ϕ (16)
y = r sen θ sen ϕ (17)
z = r cos θ (18)
2.2. Transformaci´on de Vectores
2.2.1. Desde Coordenadas Cil´ındricas
Ax = Aρ cos ϕ − Aϕ sen ϕ (19)
Ay = Aρ sen ϕ + Aϕ cos ϕ (20)
Az = Az (21)
2.2.2. Desde Coordenadas Esf´ericas
Ax = Ar sen θ cos ϕ − Aϕ sen ϕ + Aθ cos θ cos ϕ (22)
Ay = Ar sen θ cos ϕ + Aϕ cos ϕ + Aθ cos θ cos ϕ (23)
Az = Ar cos θ − Aθ sen θ (24)
4. Coordenadas Esf´ericas
4.1. Transformaci´on de Coordenadas
4.1.1. Desde Coordenadas Cartesianas
r =
x 2
tg θ =
x 2
z
tg ϕ =
y
x
4.1.2. Desde Coordenadas Cil´ındricas
r =
ρ 2
tg θ =
ρ
z
ϕ = ϕ (42)
4.2. Transformaci´on de Vectores
4.2.1. Desde Coordenadas Cartesianas
Ar = Ax
x √ x 2
y √ x 2
z √ x 2
Aϕ = −Ax
y √ x 2
x √ x 2
Aθ = Ax
xz √ (x 2
yz √ (x 2
− Az
x 2
4.2.2. Desde Coordenadas Cil´ındricas
Ar = Aρ
ρ √ ρ 2
z √ ρ 2
θ
Aϕ = Aϕ (47)
Aθ = Aρ
z √ ρ^2 + z^2
− Az
ρ √ ρ^2 + z^2
X Y
Z
dy dx
dz
5. F´ormulas de an´alisis vectorial
5.1. Coordenadas Cartesianas
5.1.1. Elemento de longitud
d
r = dx
u (^) x + dy
u (^) y + dz
u (^) z (49)
dr =
dx 2
5.1.2. Elementos de superficie
d
s (^) x = dydz
u (^) x (51)
d
s (^) y = dzdx
u (^) y (52)
d
s (^) z = dxdy
u (^) z (53)
5.1.3. Elemento de volumen
dv = dxdydz (54)
5.4. Gradiente, Divergencia y Rotacional
5.4.1. Coordenadas Cartesianas
∂x
u (^) x +
∂y
u (^) y +
∂z
u (^) z (67)
A =
∂Ax
∂x
∂Ay
∂y
∂Az
∂z
∇ ×
A =
∂Az
∂y
∂Ay
∂z
u (^) x + (69)
∂Ax
∂z
∂Az
∂x
u (^) y +
∂Ay
∂x
∂Ax
∂y
u (^) z
5.4.2. Coordenadas Cil´ındricas
∂ρ
u (^) ρ +
ρ
∂ϕ
u (^) ϕ +
∂z
u (^) z (70)
A =
ρ
∂ (ρAρ)
∂ρ
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
∂Az
∂z
∇ ×
A =
ρ
∂Az
∂ϕ
∂Aϕ
∂z
u (^) ρ + (72)
∂Aρ
∂z
∂Az
∂ρ
u (^) ϕ +
[
ρ
∂ (ρAϕ)
∂ρ
ρ
∂Aρ
∂ϕ
]
u (^) z
5.4.3. Coordenadas Esf´ericas
∂r
u (^) r +
r
∂θ
u (^) θ +
r sen θ
∂ϕ
u (^) ϕ (73)
A =
r 2
r
2 Ar
∂r
r sen θ
∂ (sen θAθ )
∂θ
r sen θ
∂Aφ
∂ϕ
∇ ×
A =
r sen θ
[
∂ (sen θAϕ)
∂θ
∂Aθ
∂ϕ
]}
u (^) r + (75)
[
r sen θ
∂Ar
∂ϕ
r
∂ (rAϕ)
∂r
]
u (^) θ +
r
[
∂ (rAθ)
∂r
∂Ar
∂θ
]}
u (^) ϕ
5.4.4. Identidades
∇ ×
∇ ×
A
2 Φ (78)
∇ ×
∇ ×
A
A
A (79)
A +
B
A +
B (81)
∇ ×
A +
B
∇ ×
A +
∇ ×
B (82)
A
A ·
A (84)
A ·
B
A ·
B +
B ·
A + (85)
A ×
∇ ×
B
B ×
∇ ×
A
A ×
B
B
∇ ×
A +
A
∇ ×
B (86)
∇ ×
A
∇Φ ×
A + Φ
∇ ×
A (87)
∇ ×
A ×
B
A
B −
B
A + (88)
B ·
A −
A ·
B
5.4.5. Teoremas
v
A
dv =
s
A · d
s (89)
∫
s
∇ ×
A
d
s =
c
A · d
r (90)
∫
v
∇ ×
A
dv =
s
d
s ×
A (91)
s
d
s ×
c
Φd
r (92)
