Probabilidad y Estadística: Inferencia Estadística y Muestreo, Resúmenes de Probabilidad

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTEPEC

INGENIERÍA CIVIL

MATERIA:

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

FACILITADOR:

ING. LIBREROS LANDA MIGUEL

SEGUNDO SEMESTRE

GRUPO “B”

Contenido INFERENCIA ESTADISTICA..................................................................................... 2 MUESTREO ESTADÍSTICO...................................................................................... 3 ESTIMADORES......................................................................................................... 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL........................................................................................... 7 ESTIMACIÓN POR INTERVALO.............................................................................. 8 ERRORES TIPO I Y II............................................................................................. 10 CONTRASTE DE HIPÓTESIS UNILATERAL Y BILATERALES............................ 12 INFERENCIA ESTADISTICA La inferencia estadística es primordialmente de naturaleza inductiva y llega a generalizar respecto de las características de una población valiéndose de observaciones empíricas de la muestra.

denomina espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su probabilidad de extracción. El muestreo : es una herramienta de la investigación científica. Su función básica es determinar que parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población. El Muestreo es más que el procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una población; el muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población. Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra, aunque hay muchos diseños de la muestra. Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que variaran de una muestra a otra. Muestreo Estadístico: son aquellos que se basan en el principio de equiprobabilidad. Es decir, aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Técnicas de selección del muestreo a través del muestreo estadístico. Muestreo probabilístico: Forman parte de este tipo de muestreo todos aquellos métodos para los que puede calcularse la probabilidad de extracción de cualquiera de las muestras posibles. Este conjunto de técnicas de muestreo es el más aconsejable, aunque en ocasiones no es posible optar por él.

Muestreo estratificado: Consiste en la división previa de la población de estudio en grupos o clases que se suponen homogéneos respecto a característica a estudiar. A cada uno de estos estratos se le asignaría una cuota que determinaría el número de miembros del mismo que compondrán la muestra. Muestreo sistemático: Es la elección de una muestra a partir de los elementos de una lista según un orden determinado, o recorriendo la lista a partir de un número aleatorio determinado. Muestreo por conglomerados: Cuando la población se encuentra dividida, de manera natural, en grupos que se suponen que contienen toda la variabilidad de la población, es decir, la representan fielmente respecto a la característica a elegir, pueden seleccionarse sólo algunos de estos grupos o conglomerados para la realización del estudio. Muestreo errático: También se llama sin norma. La muestra se realiza de cualquier forma, valorando únicamente la comodidad o la oportunidad en términos de costes, tiempo u otro factor no estadístico. Al realizar un muestreo en una población podemos hablar de muestreos probabilísticas y no probabilísticas, entre estas técnicas o procedimientos están: Muestreo simple: Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una población dada para el propósito de inferencia estadística. Puesto que solamente una muestra es tomada, el tamaño de muestra debe ser los suficientemente grandes para extraer una conclusión. Una muestra grande muchas veces cuesta demasiado dinero y tiempo. Muestreo aleatorio simple: Es aquel en que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para integrar la muestra. Una muestra simple aleatoria es aquella en que sus elementos son seleccionados mediante el muestreo aleatorio simple.

ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en estimar los parámetros poblacionales, haciendo uso de la información que aporta una sola muestra aleatoria. La estimación puntual de un parámetro poblacional, es un valor único del estimador, calculado a partir de la muestra. En general se tiene: No se espera que un estimador estime sin error al parámetro poblacional, sino que no se aleje mucho del valor real. La precisión de un estimador se incrementa con muestras grandes, pero no hay razón por la cual esperar que la estimación puntual de una muestra dada, debe ser exactamente igual que el parámetro poblacional que se supone estima. Propiedades de los estimadores: Insesgado: se dice que un estimador es un estimador insesgado del parámetro , si:

Eficiente: si 1 y 2 son dos estimadores insesgados del mismo parámetro poblacional , se seleccionaría el estimador cuya distribución muestral tuviera la varianza más pequeña. De aquí que, si , se afirma que 1 es un estimador más eficiente de que 2. Consistente: cuando el tamaño de la muestra crece arbitrariamente, el valor que toma el estimador debe aproximarse al valor del parámetro desconocido. Si se verifican las condiciones: Entonces es consistente. Suficiente: el estimador debería aprovechar toda la información existente en la muestra aleatoria, que sirva para estimar al parámetro. ESTIMACIÓN POR INTERVALO Es improbable que incluso el estimador más eficaz, estime con exactitud al parámetro poblacional. Es cierto que la precisión aumenta con muestras grandes, pero no hay razón por la cual se debe esperar que una estimación puntual de una muestra dada sea exactamente igual al parámetro poblacional.

ERRORES TIPO I Y II Error de tipo I Si usted rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera, comete un error de tipo I. La probabilidad de cometer un error de tipo I es α, que es el nivel de significancia que usted establece para su prueba de hipótesis. Un α de 0.05 indica que usted está dispuesto a aceptar una probabilidad de 5% de estar equivocado al rechazar la hipótesis nula. Para reducir este riesgo, debe utilizar un valor menor para α. Sin embargo, usar un valor menor para alfa significa que usted tendrá menos probabilidad de detectar una diferencia si está realmente existe. Error de tipo II Cuando la hipótesis nula es falsa y usted no la rechaza, comete un error de tipo II. La probabilidad de cometer un error de tipo II es β, que depende de la potencia de la prueba. Puede reducir el riesgo de cometer un error de tipo II al asegurarse de que la prueba tenga suficiente potencia. Para ello, asegúrese de que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande como para detectar una diferencia práctica cuando está realmente exista. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa es igual a 1–β. Esteβ. Este valor es la potencia de la prueba.

Ejemplo de error de tipo I y tipo II Para entender la interrelación entre los errores de tipo I y tipo II, y para determinar cuál error tiene consecuencias más graves para su situación, considere el siguiente ejemplo. Un investigador médico desea comparar la efectividad de dos medicamentos. Las hipótesis nula y alternativa son: Hipótesis nula (H 0 ): μ 1 = μ 2 Los dos medicamentos tienen la misma eficacia. Hipótesis alternativa (H 1 ): μ 1 ≠ μ 2 Los dos medicamentos no tienen la misma eficacia. Un error de tipo I se produce si el investigador rechaza la hipótesis nula y concluye que los dos medicamentos son diferentes cuando, en realidad, no lo son. Si los medicamentos tienen la misma eficacia, el investigador podría considerar que este error no es muy grave, porque de todos modos los pacientes se beneficiarían con el mismo nivel de eficacia independientemente del medicamento que tomen. Sin embargo, si se produce un error de tipo II, el investigador no rechaza la hipótesis nula cuando debe rechazarla. Es decir, el investigador concluye que los medicamentos son iguales cuando en realidad son diferentes. Este error puede poner en riesgo la vida de los pacientes si se pone en venta el medicamento menos efectivo en lugar del medicamento más efectivo.

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: zα/2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1.96 x 0.4,6 + 1.96 x 0.4) = (5.22,6.78) Verificación Valor obtenido de la media de la muestra: 5. Decisión Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%. La Hipótesis Alternativa establece que, caso de rechazar la Hipótesis Nula, decidimos que la proporción de la población a que pertenece la muestra no es 0. La Hipótesis Alternativa establece que, caso de rechazar la Hipótesis Nula, decidimos que la proporción de la población a que pertenece la muestra es inferior a 0.5. Ejemplo de contraste unilateral: El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica:

¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 2%? Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H 0 : μ ≥ 300 H 1 : μ < 300 Zona de aceptación α = 0.02; 1- α = 0. 98; P(1.96)= 0. 98; zα = 1.. Determinamos el intervalo de confianza:

300 −2.33 ×

√^60

Verificación μ = 290 Decisión Rechazamos la hipótesis nula H 0. Con un nivel de significación del 2%.