Introducción a la teoría de grupos y otras estructuras algebraicas, Monografías, Ensayos de Matemáticas Aplicadas

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INTRODUCCI ´ON A LA TEOR´IA DE GRUPOS

Fernando Barrera Mora

Noviembre de 2003

´Indice general

0.1. Introducci´on III

0.1. Introducci´on

La teor´ıa de grupos tiene su origen en el trabajo de E. Galois [2] sobre solu- bilidad por radicales de la ecuaci´on anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0. Sin embargo, algunos de los resultados de la teor´ıa de grupos hab´ıan aparecido con anterioridad en trabajos de otros matem´aticos, entre los que se encuen- tra Cauchy [24]. Por lo anterior, es pertinente se˜nalar que el t´ermino grupo es acu˜nado y usado sistem´aticamente por Galois en su trabajo^1 : “Memoir on the Conditions for Solvability of Equations by Radicals”[6], p´agina 101. Dado que el trabajo de Galois citado versa sobre las ra´ıces de polinomios, el concepto de grupo usado por Galois se restringe a lo que hoy llamamos el grupo de permutaciones de n elementos. La formulaci´on axiom´atica de la teor´ıa de grupos como se conoce actual- mente, se inicia con el trabajo de H. Weber: “Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie”. Math. Ann. 43 (1893), 521-549, p´agina

Hoy en d´ıa, la teor´ıa de grupos es una de las ´areas de matem´aticas que m´as aplicaciones tiene. Estas van desde las ciencias exactas hasta la m´´ usica. En las ciencias exactas, las aplicaciones incluyen ´areas tales como geometr´ıa al- gebraica, teor´ıa de n´umeros y topolog´ıa algebraica; en f´ısica y qu´ımica su aplicaci´on tiene lugar en el estudio de simetr´ıas de las estructuras molecula- res, mientras que en la m´usica, una fuente que da cuenta de su aplicaci´on es [16]. En este texto introductorio a la teor´ıa de grupos presentamos una discusi´on de los conceptos y resultados b´asicos, pero fundamentales, que se discuten en un primer curso de teor´ıa de grupos de una licenciatura en matem´aticas. Como requisito para una mejor comprensi´on de los temas, esperamos que los lectores est´en familiarizados con los resultados b´asicos de ´algebra lineal, c´alculo diferencial y con la notaci´on est´andar de la teor´ıa de conjuntos. Los contenidos se pueden cubrir en un curso semestral de 60 horas. La presentaci´on de los temas est´a acompa˜nada por listas de ejercicios que tienen la finalidad de auxiliar al lector en el aprendizaje de los contenidos y procesos necesarios para lograr un entendimiento profundo de los conceptos b´asicos de la teor´ıa de grupos. Por esta raz´on, recomendamos al lector abor- dar y, de ser posible, resolver todos los ejercicios planteados en el texto. De

(^1) Los interesados en estudiar la versi´on original de los trabajos de Galois pueden con-

sultar [2].

0.1. Introducci´on IV

manera adicional, presentamos un par de problemas abiertos, Problemas 3.3. y 3.3.2 p´agina 86, que el lector interesado en la teor´ıa de automorfismos de grupos puede explorar. Estos problemas tienen como finalidad mostrar al lector que desde un curso introductorio se pueden abordar problemas que lleven a nuevos resultados. Los principales teoremas que se discuten en este texto son: el Teorema de Lagrange, el Teorema de la Correspondencia, los Teoremas de Isomorfismo, los Teoremas de Sylow, el Teorema Fundamental para grupos abelianos finitos y algunos resultados sobre grupos solubles y nilpotentes. Tambi´en se presenta la clasificaci´on de los grupos de orden ≤ 15. El estudio y clasificaci´on de los grupos de orden 16 llevar´ıa a un trabajo que sale de los objetivos del presente, sin embargo, para el lector interesado en este tema le sugerimos consultar [17], en donde se estudian algunos grupos de orden potencia de 2. Para finalizar, quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que hicieron posible la elaboraci´on de este trabajo, muy especialmente a los re- visores por sus valiosas sugerencias y recomendaciones para mejorar la pre- sentaci´on del texto. Los errores que contenga la obra son de mi absoluta responsabilidad.

Pachuca, Hidalgo, noviembre de 2003

Fernando Barrera Mora

Cap´ıtulo 1

Definiciones y resultados

generales

1.1. Algunas propiedades de los enteros

Es dif´ıcil, por no decir imposible^1 , encontrar ´areas de las matem´aticas que no hagan uso de las propiedades aritm´eticas b´asicas de los enteros, la teor´ıa de grupos no es la excepci´on. Con esto en mente, queremos iniciar la discusi´on de este trabajo presentando algunas propiedades de los enteros. Antes de iniciar, es importante aclarar aspectos relacionados con la notaci´on y la terminolog´ıa que usaremos en la discusi´on. Se usar´an los s´ımbolos usuales de la teor´ıa de conjuntos para denotar, pertenencia, subconjuntos, complementos, etc. Sin mayor explicaci´on se usar´an algunas propiedades de los n´umeros reales y complejos. Los conjuntos de los n´umeros naturales, enteros, racionales, reales y complejos ser´an denotados por N, Z, Q, R y C respectivamente. El s´ımbolo ⇒⇐ lo usaremos para expresar que se ha llegado a una contradicci´on en alg´un argumento. El s´ımbolo se usar´a para indicar el fin de una prueba.

1.1.1. Aritm´etica en Z

Es bien sabido que al considerar dos enteros a y b, el cociente de a por b no siempre deja residuo cero, lo que da lugar al concepto de divisibilidad, uno de los m´as importantes en teor´ıa de n´umeros. De manera precisa se tiene:

(^1) Este enunciado es una forma de parafrasear al Matem´atico L. Kronecker (1823-1891):

Dios creo a los n´umeros naturales, todo lo dem´as es producto del hombre.

1.1. Algunas propiedades de los enteros 2

1.1.1 Definici´on Si a y b son n´umeros enteros, se dice que b divide a a o que b es un divisor de a, denotado b|a, si existe un entero c tal que a = bc. Si no existe c tal que a = cb, se dice que b no es divisor de a y se denota por b-a.

Para subsanar el problema de la no divisibilidad se tiene el siguiente resulta- do, el cual de manera precisa establece la relaci´on que guardan dos enteros al ser dividido uno por el otro.

1.1.1 Teorema (Algoritmo de la divisi´on) Para cualesquiera a, b ∈ Z, b > 0 , existen ´unicos enteros r y q tales que a = bq + r, con 0 ≤ r < b.

Demostraci´on. Caso I. a ≥ 0. En este caso podemos aplicar inducci´on. Si a = 0 se tiene 0 = b · 0 + 0, de esta manera se puede suponer que a > 0. Si a = 1 se tienen dos subcasos: si b = 1 entonces 1 = 1·1+0. Si b > 1, entonces a = b · 0 + a. Supongamos a > 1 y apliquemos la hip´otesis inductiva, es decir, se cumple que a = bq + r, con 0 ≤ r < b. Entonces a + 1 = bq + 1 + r. Como r < b, entonces r + 1 ≤ b. Si r + 1 = b, se tiene a + 1 = (b + 1)q + 0. Si r + 1 < b, obtenemos a + 1 = bq + (r + 1), con 0 ≤ r + 1 < b. De cualquier forma se tiene a = bq + r, con 0 ≤ r < b como se afirm´o.

Caso II a < 0, entonces −a > 0. Del Caso I, −a = bq 1 + r 1 , 0 ≤ r 1 < b, de esto a = b(−q 1 ) + (−r 1 ). Si r 1 = 0 hemos terminado, si r 1 > 0 entonces 0 < b < b + r 1 y a = b(−q 1 − 1) + (b − r 1 ), con 0 < b − r 1 < b.

Unicidad. Supongamos a = bq + r = bq′^ + r′, entonces b(q − q′) = r′^ − r. Si r′^ > r, se tiene q−q′^ > 0, es decir, q−q′^ ≥ 1, de esta forma b(q−q′) = r′−r ≥ b y de esto ´ultimo, r′^ ≥ b + r, ⇒⇐. Si r > r′, entonces q′^ − q > 0 y nuevamente se tiene una contradicci´on, por lo que se debe tener r = r′^ y q − q′^ = 0.

1.1.1 Observaci´on El teorema anterior puede extenderse suponiendo b 6 =

1. Si b < 0 entonces −b > 0 y por el teorema concluimos que a = −bq + r = b(−q) + r, con 0 ≤ r < −b.

1.1.2 Definici´on Un entero p ∈ N{ 1 } es primo, si los ´unicos divisores positivos de p son 1 y p.

1.1. Algunas propiedades de los enteros 4

1.1.2 Corolario Si mcd(a, c) = 1 y c | ab, entonces c | b.

Demostraci´on. Ya que mcd(a, c) = 1, entonces del Corolario 1.1.1, existen a 0 , c 0 ∈ Z tales que 1 = aa 0 + cc 0. Multiplicando esta ecuaci´on por b se tiene b = baa 0 +bcc 0. Por hip´otesis ab = cx para alg´un x, entonces b = cxa 0 +cbc 0 = c(xa 0 + bc 0 ), es decir, c | b.

1.1.3 Corolario Si p es primo y p - a, entonces mcd(a, p) = 1.

Demostraci´on. Ya que p es primo, entonces los ´unicos divisores positivos de p son 1 y p. Como p - a entonces mcd(a, p) = 1.

1.1.4 Corolario Si p es primo y p | ab, entonces p divide a alguno de a o b.

Demostraci´on. Si p - a entonces del Corolario 1.1.3, mcd(a, p) = 1. Del Coro- lario 1.1.2 se obtiene el resultado con p = c.

1.1.5 Corolario Sean a y b enteros primos relativos que dividen a c, en- tonces ab | c.

Demostraci´on. Puesto que mcd(a, b) = 1, entonces existen enteros a 0 y b 0 tales que 1 = aa 0 +bb 0. Multiplicando por c ambos miembros de esta ecuaci´on se tiene c = caa 0 + cbb 0. Por hip´otesis, a y b dividen a c, es decir, existen enteros x e y tales que c = ax y c = by. De todo esto se tiene c = caa 0 +cbb 0 = byaa 0 + axbb 0 = ab(ya 0 + xb 0 ), probando que ab divide a c.

1.1.3 Teorema (Teorema Fundamental de la Aritm´etica). Da- do cualquier entero a /∈ {± 1 , 0 }, a tiene una representaci´on ´unica (excepto por orden y signo) como producto de primos: a = ±pe 11 · · · pe rr , con pi 6 = pj si i 6 = j, y ei ≥ 1 para todo i = 1, 2 ,... , r.

Demostraci´on. Es suficiente demostrar el teorema para a > 1.

Veamos la existencia de la representaci´on de a como producto de primos. Si a = 2, no hay nada que probar, entonces se puede suponer que el resultado se cumple para a > 2. Si a + 1 es primo, hemos terminado. Si a + 1 = bc, con 1 < b, c < a + 1, por la hip´otesis inductiva, b y c tienen una factorizaci´on en primos, por lo tanto a + 1 tambi´en.

Veamos la unicidad. Supongamos que a = pe 11 · · · pe rr = qa 1 1 · · · qa s scon pi y qj primos. De la ecuaci´on anterior se tiene pi | qa 11 · · · q sa s, entonces de una generalizaci´on obvia del

1.1. Algunas propiedades de los enteros 5

Corolario 1.1.4, pi | qj para alguna j y de aqu´ı pi = qj. Despu´es de volver a enumerar, si es necesario, se puede suponer i = j = 1, y e 1 ≥ a 1 , de esta manera pe 11 −a^1 pe 22 · · · pe 1 r = q 2 a 2 · · · qa s s. Continuando con este argumento se muestra que s = r, ei = ai y pi = qi, para todo i.

1.1.2. El Algoritmo Euclidiano

Euclides, en sus Elementos, indica un algoritmo para encontrar el mcd de a y b. Este algoritmo se basa en el algoritmo de la divisi´on, es por eso que algunas veces sus nombres se usan como sin´onimos. El algoritmo de la divisi´on dice lo siguiente:

Dados a, b, ∈ Z con al menos uno diferente de cero, digamos b 6 = 0, entonces existen q 1 , r 1 , ∈ Z tales que a = bq 1 + r 1 , con 0 ≤ r 1 < b, si b > 0 , ´o 0 ≤ r 1 < −b, si b < 0.

Sin perder generalidad podemos suponer b > 0, entonces de la ecuaci´on a = bq 1 + r 1 se tiene: d | a y d | b ⇐⇒ d | b y d | r 1 por lo que mcd(a, b) = mcd(b, r 1 ). Si r 1 6 = 0, aplicando el algoritmo de la divisi´on a b y r 1

se tiene que existen q 2 y r 2 tales que b = r 1 q 2 + r 2. Argumentando como antes se tiene que mcd(a, b) = mcd(b, r 1 ) = mcd(r 1 , r 2 ). Una aplicaci´on sucesiva del algoritmo de la divisi´on produce las siguientes ecuaciones y condiciones.

a = bq 1 + r 1 0 ≤ r 1 < b b = r 1 q 2 + r 2 0 ≤ r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 0 ≤ r 3 < r 2 .. .

rn− 2 = rn− 1 qn + rn 0 ≤ rn < rn− 1.

Entonces se ha constru´ıdo una sucesi´on decreciente de enteros no negativos

rn < · · · < r 2 < r 1 , de esta forma necesariamente rn = 0, para alg´un n. De esto y lo observado antes se tiene

mcd(a, b) = mcd(b, r 1 ) = · · · = mcd(rn− 2 , rn− 1 ) = rn− 1 6 = 0,

Lo que proporciona un m´etodo para calcular el m´aximo com´un divisor de dos enteros, conocido como algoritmo de Euclides.

1.1. Algunas propiedades de los enteros 7

1.1.2 Ejemplo Encuentre mcd(47, 5) = 47x + 5y.

[ 47 1 0 5 0 1

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

De esto se tiene mcd(47, 5) = 1 = 47(−2) + 5(19).

1.1.3. Los Enteros M´odulo n

Hay varias historias sobre la invenci´on del juego de ajedrez. Una de las m´as conocidas es la que se refiere a un Rey, y se cree que ocurri´o hace por lo menos dos mil a˜nos. La historia va m´as o menos como sigue. El soberano conoci´o del maravilloso invento y qued´o tan satisfecho con las cualidades intelectuales del juego de ajedrez que mand´o traer al inventor y le dijo que pidiera lo que quisiera a cambi´o de su invento. El inventor pidi´o que por el primer cuadro del tablero le diera un grano de trigo, dos por el segundo; cuatro por el tercero; ocho por el cuarto y as´ı sucesivamente. El Rey le replic´o que por qu´e su petici´on era tan modesta a la vez que le invit´o a pedir algo m´as sustantivo. El inventor contest´o que ´el consideraba buena paga su petici´on. El monarca orden´o que se cumpliera de inmediato el deseo del inventor del juego de ajedrez. Al cabo del tiempo, vino uno de sus s´ubditos a informar que las bodegas del reino se estaban quedando vac´ıas y no se hab´ıa satisfecho el compromiso con el inventor. Si el inventor hubiese sido un poco cruel con el Rey le hubiese dicho que sab´ıa algo m´as respecto a la cantidad de granos que iba a recibir: al dividir tal cantidad por tres, deja residuo 0. Ayude al soberano a entender lo que est´a pasando con tan singular petici´on. El enunciado sobre el residuo que deja la cantidad de granos de trigo al ser dividida por tres, es un ejemplo que se puede abordar con la idea de congruencia en los n´umeros enteros. Esta fue desarrollada por Gauss,´^3 y es tal su importancia en el estudio de propiedades aritm´eticas de los enteros, que se

(^3) Karl Friedrich Gauss (1777-1855) matem´atico alem´an. A los 19 a˜nos demostr´o que el

pol´ıgono regular de 17 lados se puede construir con regla y comp´as. Se dice que este logro lo motiv´o a dedicarse al estudio de las matem´aticas. Otros de sus grandes logros en su juventud fue la demostraci´on del teorema fundamental del ´algebra y la publicaci´on de su obra Disquisitiones Arithmeticae (1801). La siguiente es una de sus frases c´elebres. “Si otros reflexionaran sobre las verdades matem´aticas, tan profunda y continuamente como lo he hecho, descubrir´ıan lo mismo que yo”.

1.1. Algunas propiedades de los enteros 8

ha convertido en una parte esencial de la teor´ıa de n´umeros. A continuaci´on presentamos algunas de sus propiedades b´asicas.

Sean a, b y n n´umeros enteros, con n > 0. Se define la siguiente relaci´on entre a y b:

a es congruente con b m´odulo n, si n|a − b.

Lo anterior se denota por a ≡ b (m´od n). Se obtiene directamente de la definici´on de congruencia m´odulo n, que dos enteros son congruentes m´odulo n si y s´olo si al dividirlos por n se obtiene el mismo residuo. Dado un entero a, denotaremos por [a]n al conjunto de todos los enteros que son congruentes con a m´odulo n, es decir,

[a]n := {x ∈ Z | a ≡ x (m´od n)}.

N´otese que dado a ∈ Z y dividi´endolo por n, existe r ∈ Z tal que 0 ≤ r < n y a = qn + r, de lo que se tiene

[a]n = [r]n := {x ∈ Z : x = nq + r, q ∈ Z} = nZ + r.

Al conjunto {[r]n | 0 ≤ r < n} se le llama: Un conjunto reducido de clases residuales m´odulo n ´o simplemente clases m´odulo n. El t´ermino reducido se debe a que al tomar r y s tales que 0 ≤ r, s < n, se tiene [r]n 6 = [s]n, mientras que si no se impone la condici´on que tienen r y s de ser menores que n, bien puede ocurrir que a 6 = b y [a]n = [b]n. Las siguientes son algunas de las propiedades b´asicas de las clases residuales.

1. Si [a]n 6 = [b]n, entonces [a]n

[b]n = ∅.

2. Z =

n⋃− 1

r=

[r]n, la uni´on es de conjuntos disjuntos.

3. Denotando por Zn ´o Z/nZ al conjunto de clases m´odulo n, se tiene lo siguiente para cada par de elementos. Si [a]n = [a 1 ]n y [b]n = [b 1 ]n, entonces [a + b]n = [a 1 + b 1 ]n. En efecto, las hip´otesis garantizan que a = nq+a 1 y b = nq 1 +b 1 , de esto se concluye a−b = (q−q 1 )n+(a 1 −b 1 ), equivalentemente, [a + b]n = [a 1 + b 1 ]n. Con lo mostrado antes se puede definir una operaci´on en el conjunto de clases m´odulo n, llamada suma y dada por [a]n + [b]n := [a + b]n. La operaci´on suma en Zn satisface las mismas propiedades que la suma de enteros.

1.1. Algunas propiedades de los enteros 10

4. Haga lo mismo que en el caso anterior para F∗ 7 , F∗ 11 y F∗ 13.

La teor´ıa de los enteros m´odulo n tiene varias aplicaciones pr´acticas en otras disciplinas. Por ejemplo en criptograf´ıa y teor´ıa de c´odigos ([3], Cap´ıtulo 4). Otra aplicaci´on de la teor´ıa de enteros m´odulo n ocurre en la teor´ıa de ma- trices. Sea A = (aij ) una matriz n × n con entradas enteras. Supongamos que aii ≡ 1 (m´od 2) para todo i = 1,... , n y aij ≡ 0 (m´od 2) para todo i > j. Entonces |A| ≡ 1 (m´od 2), en particular A no es singular. Discusi´on. Tomando congruencia en las entradas de la matriz A, se tiene que la matriz resultante es triangular con unos en la diagonal. El resultado se obtiene notando que calcular el determinante conmuta con tomar congruen- cia en las entradas de la matriz. Las hip´otesis anteriores pudieran ser muy restrictivas. El siguiente ejemplo ilustra como se pueden debilitar. Sea

A =

entonces tomando congruencias y calculando el determinante se tiene |A| ≡ 1 (m´od 2), por lo que A es no singular.

1.1.4. Ejercicios

1. Demuestre que 4n^2 + 4 no es divisible por 19 para todo n ∈ Z. ¿Se cumple lo mismo para todo primo de la forma 4k + 3?
2. Sean a, b y c enteros positivos tales que a^2 + b^2 = c^2. Demuestre que 60 divide a abc.
3. Sea n > 1 entero. Demuestre que 2^2 n − 1 tiene al menos n factores primos diferentes.
4. Sean a y p enteros con p primo. Demuestre que ap^ ≡ a (m´od p).
5. Demuestre que 7 divide a 3^2 n+1^ + 2n+2^ para todo n entero no negativo.
6. Demuestre que n^13 − n es divisible por 2, 3 , 5 , 7 y 13.

1.2. Generalidades sobre grupos 11

7. Sea f (x) un polinomio en Z[x]. Suponga que f (0) ≡ f (1) ≡ 1 (m´od 2). Demuestre que f (x) no tiene ra´ıces enteras. Generalice el problema an- terior a: Suponga que f (x) ∈ Z[x] y para un k > 0 entero, f (x) satisfa- ce f (i) 6 ≡ 0 (m´od k), para todo i = 0, 1 ,... k − 1. ¿Puede tener f (x) ra´ıces enteras?

1.2. Generalidades sobre grupos

En esta secci´on se inicia la discusi´on concerniente a la teor´ıa de grupos. Damos inicio con la siguiente:

1.2.1 Definici´on Un grupo^4 es una pareja (G, ◦), con G un conjunto no vac´ıo, ◦ una funci´on de G × G → G llamada operaci´on binaria y denotada por ◦(x, y) := x ◦ y, la cual satisface:

(i) La operaci´on ◦ es asociativa, es decir, x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z para todos x, y, z ∈ G.

(ii) Existe e ∈ G tal que e◦x = x, para todo x ∈ G (neutro por la izquierda).

(iii) Dado x ∈ G, existe x′^ ∈ G tal que x′^ ◦ x = e (inverso por la izquierda).

En la definici´on anterior no se requiere que e y x′^ sean ´unicos, sin embargo m´as adelante probaremos que estos elementos son, en efecto, ´unicos. En lo que sigue, la operaci´on “◦”la denotaremos simplemente por x ◦ y = xy, (caso multiplicativo) ´o x ◦ y = x + y (caso aditivo). La notaci´on aditiva, por tradici´on, se usar´a cuando x ◦ y = y ◦ x, para todos x, y ∈ G. En este caso diremos que el grupo G es abeliano.^5

Ejemplos de grupos

1.2.1 Ejemplo (a) (Z, +) es un grupo con la adici´on usual de enteros.

(^4) De acuerdo a H. Wussing, [[24], p´aginas 247-248] la primera formulaci´on del concepto

de grupo, que tiene gran similitud con la actual, se encuentra en el trabajo de H. Weber: “Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie”. Math. Ann. 43 (1893), 521-549, p´agina 522. (^5) Este t´ermino se da en honor del matem´atico noruego H. Abel (1802-1829), quien fue el

primero en trabajar, de manera sistem´atica, con este tipo de grupos al abordar el problema de la solubilidad por radicales de ecuaciones polinomiales.

1.2. Generalidades sobre grupos 13

Demostraci´on. Primero mostraremos que g′g = e implica gg′^ = e. Supon- gamos g′g = e, entonces (gg′)(gg′) = g(g′g)g′^ = geg′^ = gg′, invocando el Teorema 1.2.1 concluimos que gg′^ = e. Si g ∈ G, sea g′^ ∈ G tal que g′g = e, entonces ge = g(g′g) = (gg′)g = eg = g. Con esto hemos probado que eg = ge = g para cualquier g ∈ G. Supongamos que existe e′^ tal que e′g = g, para todo g ∈ G, entonces en particular e′e = e. Como e tambi´en es una identidad izquierda y conmuta con todo g ∈ G se tiene, ee′^ = e′e; esto y la ecuaci´on anterior lleva a e = e′. De la definici´on de grupo, sea g′^ ∈ G tal que g′g = e. Si existe otro a ∈ G tal que ag = e, entonces ae = ea = a. Por otro lado, ae = ag′g = agg′^ = eg′^ = g′, de estas ecuaciones se concluye que a = g′.

El resultado anterior permite definir la identidad de un grupo y el inverso de cada elemento de G. El inverso de un elemento g ∈ G se denotar´a por g−^1.

1.2.2 Observaci´on Si G es un grupo, entonces las siguientes igualdades tienen lugar.

1. (g−^1 )−^1 = g.
2. (xy)−^1 = y−^1 x−^1.

Sea G un grupo y g ∈ G, definimos por inducci´on las potencias de g como sigue: g^2 := gg, supongamos que se ha definido gn−^1 , por inducci´on se define gn^ := ggn−^1 para n > 1. Si n < 0, entonces m = −n > 0 y definimos gn^ := (g−^1 )m, finalmente, g^0 := e. Con las definiciones anteriores se tiene: (verificarlas)

i) (gn)m^ = gnm^ ∀ g ∈ G, y ∀ n, m ∈ Z.

ii) gngm^ = gn+m^ ∀ n, m ∈ Z.

1.2.2 Definici´on Dado un grupo G y g ∈ G, se define el orden de g como el m´ınimo entero positivo n tal que gn^ = e, si tal entero existe, de otra forma se dice que g tiene orden infinito. El orden de g se denotar´a por |g| = n.

Cuando se estudia una estructura algebraica, es de gran importancia con- siderar los subconjuntos que heredan la misma estructura, pues en muchos casos la estructura original se determina en t´erminos de las subestructuras. En nuestro caso, estamos interesados en considerar aquellos subconjuntos no

1.2. Generalidades sobre grupos 14

vac´ıos de un grupo G que satisfacen las mismas propiedades que ´este, cuando la operaci´on se restringe a estos subconjuntos. Estos subconjuntos reciben un nombre, son llamados subgrupos. La siguiente definici´on precisa lo anterior.

1.2.3 Definici´on Sea G un grupo, H ⊆ G, H 6 = ∅. Se dice que H es un subgrupo de G si la operaci´on de G restringida a H hace de ´este un grupo.

Si H es subgrupo de G, se usar´a la notaci´on H ≤ G y se lee “H es subgrupo de G”. En el contexto de grupos, no hay lugar a confundir la notaci´on anterior con la relaci´on de orden en un conjunto.

1.2.3 Observaci´on N´otese que la definici´on de subgrupo implica e ∈ H, con e la identidad de G.

1.2.3 Teorema Sea G un grupo, H ⊆ G, H 6 = ∅. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.

(i) H es un subgrupo de G.

(ii) (a) ∀ x, y ∈ H, xy ∈ H, (b) ∀ x ∈ H, x−^1 ∈ H.

(iii) Para todos x, y ∈ H se tiene xy−^1 ∈ H.

Demostraci´on. (i) =⇒ (ii) Es claro, pues al ser H un subgrupo se deben tener satisfechas las condiciones (a) y (b). (ii) =⇒ (iii) Dados x, y ∈ H, (b) implica x, y−^1 ∈ H. La conclusi´on se obtiene de la parte (a). (iii) =⇒ (i). Primeramente notemos que al ser H no vac´ıo, existe un x ∈ H y de esto se concluye, tomando x = y, que e = xx−^1 ∈ H. Ahora tomando y = x y x = e se obtiene x−^1 = ex−^1 ∈ H. Solo falta demostrar que H es cerrado bajo la operaci´on definida en G. Sean x, y ∈ H. Por lo probado, z = y−^1 ∈ H. Aplicando la hip´otesis a x y a z se tiene que xz−^1 = xy ∈ H.

1.2.1 Ejercicio Sea G = GL(n, R), el grupo de matrices n × n, no singula- res, con entradas en R. H = {A ∈ G | A tiene entradas en Z y det(A) = ± 1 }. Demuestre que H ≤ G.