Demostraciones por inducción matemática y el último teorema de Fermat, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Demostraciones por inducción matemática y el último teorema de Fermat y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Introducción al álgebra superior

Conjuntos de números Inducción

matemática.

Objetivo: el alumno resolverá problemas de suma y producto de enteros, divisibilidad y números primos mediante el uso de demostraciones por el método de inducción matemática.

Instrucciones. Demuestre por inducción matemática las siguientes proposiciones.

1. Para 𝒒 ≠ 𝟏 , 𝟏 + 𝒒 + ⋯ + 𝒒𝒏−𝟏^ =

𝒒𝒏−𝟏 𝒒−𝟏

Verificando para 𝑛 = 1:

1 =

𝑞(1)^ − 1

Concluimos que es verdadera.

Suponiendo que es cierta para 𝑛 = 𝑘

1 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞𝑘−1^ =

𝑞𝑘^ − 1

Se demostrará que se cumple también para 𝑛 = 𝑘 + 1

1 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞𝑘−1^ + 𝑞(𝑘+1)−1^ =

𝑞𝑘+1^ − 1

Trabajando con el primer miembro de la ecuación y suponiendo que se cumple para 𝑛 = 𝑘:

(1 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞𝑘−1) + 𝑞(𝑘+1)−1^ =

𝑞𝑘^ − 1

𝑞𝑘^ − 1

+ 𝑞(𝑘+1)−1^ =

𝑞𝑘^ − 1

+ 𝑞𝑘^ =

𝑞𝑘^ − 1 + 𝑞𝑘(𝑞 − 1)

𝑞𝑘^ − 1 + 𝑞𝑘(𝑞 − 1)

𝑞𝑘^ − 1 + 𝑞𝑘+1^ − 𝑞𝑘

𝑞𝑘+1^ − 1

Esta última expresión asegura que la propiedad se cumple para 𝑛 = 𝑘 + 1, lo que la propiedad es cierta para cualquier número natural.

3. Si 𝒏 es un número impar, 𝟕𝒏^ + 𝟏 es divisible por 𝟖

Si 𝑛 es un número impar, entonces 𝑛 = 2𝑖 − 1 y 7 𝑛^ + 1 = 72𝑖−1^ + 1

Verificando para 𝑖 = 1: 7 2𝑖−1^ + 1 = 72(1)−1^ + 1 = 7 + 1 = 8

Como 8 es divisible por 8 , concluimos que es verdadera.

Suponiendo que 7 2𝑖+1^ + 1 también es divisible por 8, tenemos que

7 2𝑖+1^ + 1 = 72𝑖+(2−1)^ + 1 = 7^2 (72𝑖−1) + 1 + 7^2 − 7^2 =

72 (72𝑖−1^ + 1) − 7^2 + 1 = 7^2 (72𝑖−1^ + 1) − 49 + 1 = 7^2 (72𝑖−1^ + 1) − 48

Ambos términos son divisibles entre de 8, tanto 72 (72𝑖−1) por tener el factor (72𝑖−1), como el número 48 que es 48 = 6 × 8.

Luego se concluye que si 𝑛 es un número impar, 7 𝑛^ + 1 es divisible por 8

4. El número de diagonales en un polígono convexo es igual a 𝒏(𝒏−𝟑)𝟐 (documente su resultado)

Tabla de exploración de datos (elaboración propia) Número de lados (vértices) n^3 4 5 6 7 Número de diagonales Dn^0 2 5 9 14 Diferencia de diagonales^2 3 4 5

Como apoyo a la prueba de inducción se tomó en cuenta la sugerencia obtenida de los ejercicios de repaso sobre el tema de Inducción matemática del Instituto de Matemáticas de la UNAM cuya fuente se incluye en el apartado final.

En un polígono de 𝑛 vértices o lados, el número de lados + diagonales (segmentos) que se pueden trazar es: del primer vértice que consideremos parten 𝑛 − 1 segmentos (a todos los vértices menos a él mismo); del siguiente uno menos (excluyendo a los ya contados) 𝑛 − 2, del siguiente 𝑛 − 3 y del último 1. Si consideramos que de cada vértice parten 𝑛 − 1 segmentos (lados o diagonales) y hay 𝑛 vértices, el número total es lados + diagonales 𝑛 + 𝐷𝑛 = 𝑛(𝑛−1) 2 (se dividió entre 2 para no contar dos veces).

Para determinar el número de diagonales restamos 𝑛 a la expresión: 𝐷 = 𝑛(𝑛−1) 2 – 𝑛 = 𝑛

(^2) −𝑛−2𝑛 2 =^

𝑛^2 −3𝑛 2 =^

𝑛(𝑛−3) 2 para todo natural 𝑛 ≥ 3.

Verificando para un triángulo de 𝑛 = 3

𝑛(𝑛−3) 2 =^

3(3−3) 2 = 0^ diagonales

Concluyendo que es verdadera.

Para 𝑛 = 𝑘

𝐷𝑘 =

Para 𝑛 = 𝑘 + 1

Oleas (2008) propone que si a un polígono regular se le aumenta un vértice se obtiene un polígono de 𝑘 + 1 lados, por lo que aumenta el número de lados en 1 y el de diagonales en (𝑘 − 2) + 1 (ver tabla inicial), por lo tanto:

𝑘^2 − 3𝑘 + 2𝑘 − 2

𝑘^2 − 𝑘 − 2

Lo que es válido para todo natural 𝑘 > 2

5. Realice una reflexión de aproximadamente 200 palabras acerca de lo que se conoce como el último teorema de Fermat. Cite sus fuentes consultadas como se ha requerido para el curso.

La reflexión está dirigida a través de cinco preguntas:

1. ¿Qué es un teorema?
2. ¿Quién fue Fermat?
3. ¿Cuál es el último Teorema de Fermat?
4. ¿Quiénes han contribuido a la demostración del teorema de Fermat?
5. ¿Quién demostró el teorema de Fermat y cómo lo hizo?
6. ¿Qué es un teorema? Un teorema es una proposición que para que sea evidente necesita una demostración; es decir, una vez que ha sido correctamente demostrado, su veracidad queda establecida para siempre.
7. ¿Quién fue Fermat? Pierre de Fermat fue un matemático Francés, hay quienes lo consideran el padre de la teoría de números moderna y en fue en este tema que a través de su último teorema le dio fama universal. Hace más de 300 años registró, con respecto a su teorema, en un ejemplar de la Aritmética de Diofanto “Poseo una demostración en verdad maravillosa para esta afirmación que no cabe en este estrecho margen”.
8. ¿Cuál es el último teorema de Fermat?